多种教学理论视角下的排列概念教学设计*

刘 艺 赵思林 (内江师范学院数学与信息科学学院 641110)

高 峥 (四川省成都市第七中学 610000)

教学的根本原理可以归结于一句话：教是为了学．数学教学以学生的意义学习、认知加工和知识内化为基本目标，其归宿是为了学生的学习．数学学习作为一种复杂的、交互的、动态的脑力活动，应遵循学习的规律和学习的理论．排列概念作为概念教学的一个难点，适宜整合多种教学理论，并应充分运用知识逻辑、教学逻辑、学习逻辑等规律．具体地说，运用知识逻辑要考虑排列蕴涵的两大数学观：一是数学模型观(排列的定义与排列数公式均是数学模型)，二是注意“元素”和“位置”的相对性；对于教学逻辑，在观照学生学情的前提下，排列概念的教学以APOS理论的四步程式为“教学路线”，排列数公式的发现以发现式教学法“激发创意”，教学全过程以问题串的方式“点燃思维”，教学目标以培养数学核心素养为“目标归宿”(图1)；对于学习逻辑，既要了解学生的学习需求、能力水平、认知风格，又要考虑认知冲突的设计、学习动机的激发、深度思维的参与，还要考虑学习材料(如问题、例题、练习等)的组织及呈现的时机和方式，此外，学习逻辑应体现主体参与、操作感知、意义建构、认知理解、知识迁移、形成图式等学习过程．

图1 排列概念的教学理念图

1 教学理论概述

1.1 APOS教学理论

杜宾斯基(Dubinsky)提出的APOS理论是数学概念教学的重要理论．该理论认为学生学习数学概念需要在已有知识、经验的基础上，经过四步程式，即操作(action)阶段、过程(process)阶段、对象(object)阶段、图式(schema)阶段[1]，主动建构新知识的意义，形成数学知识、数学技能和数学观念的图式．“排列”对高二学生来说是一个半旧半新的概念，学生处于似懂非懂的认知状态.似懂是指对“排列”概念的字面意义学生懂一点，非懂是指对“排列”严格定义中的“元素”“顺序”等概念并非真正地懂．因此，排列概念的教学可按照问题情境、抽象概括、提炼定义、公式推导等过程展开．此过程恰好与APOS理论的四步程式(操作→过程→对象→图式)构成一一对应．因此，排列概念的教学流程适合以APOS理论的四步程式为“教学路线”，这体现了“过程与方法”教学理念．

1.2 问题驱动教学理论

“问题是数学知识的心脏”，“问题是数学教学的心脏”，问题是“四能”教学的焦点，“四能”是学习目标的灵魂．数学知识需要问题来发动，数学教学需要问题来驱动，数学学习需要问题解决来行动．APOS理论的每一步都与问题密切相关．事实上，“操作→过程→对象→图式”中每一步的实施都可用“问题”来串联，这更有利于激活学生的持续思维和深度思维．问题驱动教学理论的本质就是问题串的教学．问题串有这样一些特点：指向一个目标抽丝剥茧式追问；各子问题之间符合知识间内在的逻辑联系；各子问题存在一定的思维空间，符合自主建构知识的情境[2]．问题串的活用有助于学生获得数学思维素养．

1.3 发现式教学理论

波利亚在《数学的发现》中指出：“学习任何东西的最好的途径是自己去发现．”[3]发现式教学是指学生在教师指导下成为数学知识“再创造”者的一种教学方法，即让学生通过观察、思考、讨论、归纳、猜想等方式，主动地去发现问题、提出猜想、证明猜想、获得知识、应用知识．排列数公式的发现可采用“试算→观察→归纳→猜想→证明”的方法，引导学生从问题1和问题2的特例计算中归纳并猜想出排列数公式，最后给予证明．

2 教学分析

(1)教学内容分析

排列在人教版A版《数学(选修2-3)》第1章第2节，内容相对独立，自成体系．本节紧接在两个基本计数原理之后，是学生学习概率统计的知识基础．

(2)教学目标

让学生经历问题情境、抽象概括、提炼定义、发现公式等过程，理解排列和排列数的概念，掌握排列数公式的推导，了解排列的数学观，能够解决一些实际问题，培养数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养．

(3)教学重点和难点

重点：排列的概念，排列数公式．

难点：排列的数学观，实际问题的建模．

3 教学过程

3.1 问题引入——操作阶段

此阶段让学生接触问题情境，感知、认识并抽象概括4个小题的共同特点．

问题1(1)北京、成都、上海之间的高铁(只考虑一个班次，且每个班次只计为1类车票)，问任意两个城市之间需要几类不同车票？

(2)从1,2,3这三个数字中任取出两个数字，可以组成几个没有重复数字的两位数？

(3)新学期我们班要从3个学生中，选拔一名班长和一名学习委员(不能兼任)，有几种选拔结果？

(4)现有班长、学委、体委3个空缺职务，2名学生来参选(一个职务只能有一人担任，且不能兼任)，有几种选拔结果？

说明：四个小组分别完成第(1)～(4)题，各小组派代表回答．

设计意图呈现的4个问题情境贴近学生经验，让学生获得对问题的感性认识．分组思考后，要求各组推选代表交流思路历程和结果，激发学习动机，刺激学生与问题对话，这符合学习逻辑．

3.2 抽象概括——过程阶段

从上一阶段引导学生会用数学抽象的眼光观察4个小题的共同特点，抽象出“元素”“顺序”“占位”等核心概念，形成表象，在此基础上得到排列的朴素概念．

问题1.1 问题1中的对象有哪些？各共有几个对象？取出来的对象是怎样安排的？

预设：学生、职位、城市、数字；各有3个对象；“选取出来的对象按照一定顺序排成一列”．

追问：怎样理解“顺序”？怎样把“顺序”直观地表示出来？

由此预设引出“元素”“占位”的概念．

问题1.2 用“元素”“占位”概念叙述问题1；问题1中4个小题的情境虽不同，但其背后的数学结构(即数学模型)是否相同？能否建立一个数学模型？

预设：数学模型,取元素，占位置．简化得：“取元，占位”．

问题1.3 在问题1中，(3)(4)的“元素”和“位置”分别是什么？

设计意图设置4个小题，让学生认识虽然问题的情境不同，但其数学的本质(结构/模型)相同． (1)通过抽象得到“元素”和“顺序”的概念，这里“顺序”的概念是从“取出来的元素按照一定顺序排成一列”里抽象出来的；(2)怎样比较简便地对“顺序”进行“操作”，或怎样直观地表征“顺序”？结合实例让学生理解体现“顺序”就是占“位置”；(3)综上可概括出排列的数学模型：“取元素，占位置”，简化得“取元，占位”，再简化得“取元占位”，这里经历的三次简化就是三次抽象；(4)问题1的4个小题都可以归结为“从3个不同元素中取出2个元素，然后把这2个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从3个不同元素中取出2个元素的一个排列”，这个叙述太长，可简化为“从3个元素取2个元素，然后让2个元素去占2个位置”，再简化为“从3个元素取2个去占位”，这里用了两次抽象．从知识逻辑来看，我们得到了排列的数学模型，即“取元占位”，这个“口诀”比排列的定义简单了很多，符合把“复杂知识讲简单”的教学逻辑，也符合“口诀易学”的学习逻辑； (5)问题1.3的作用在于让学生理解“元素”和“位置”的相对性，即在不同的情境下，“元素”和“位置”可以互换位置．对上述问题的分析与探究，可培养学生的数学抽象、数学模型等核心素养．

3.3 归纳推理——对象阶段

在问题1的基础上，对上一阶段得到的特殊情境下的概念进行一般化，就能得到形式化的定义及符号．让学生对“排列”这个“对象”变成一个明确的概念．

定义1：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)．当m

设计意图在“抽象概括——过程阶段”已经得到“从3个元素取2个去占位”的排列概念．只要把从数字3,2分别推广成n,m，即得排列的形式化定义．此阶段主要用了归纳推理、数学抽象，这可以培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养．

问题2举出几个生活中排列的例子．

问题3下列问题哪些是排列问题？并说明理由．

(1)从2,3,4,5中任取两个数相乘，可得到多少个不同的积？

(2)从2,3,4,5中任取两个数相除，可得到多少个不同的商？

(3)从集合{x,y,z}中任取两个数作成一个有序数对，可得到多少个不同的有序数对？

3.4 发现排列数公式——图式阶段

此阶段，让学生经历“特殊→一般→猜想”的发现过程，体会排列数公式的“再创造”．让学生将新知识纳入原有知识结构，形成新的认知结构(图式)．

让学生经历“从特殊到特殊，再到一般”的合情推理过程，得到猜想．

符号“!”读作“阶乘”．特别地，规定0!=1．

设计意图(1)对问题4采用发现法教学，让学生经历“特殊→一般→猜想”的发现过程，培养创新思维能力；(2)猜想的证明留作课后思考或作业，让学生带着问题走出教室．从知识逻辑来看，我们得到了排列数的数学模型，即排列数公式．排列数公式是排列数定义的进一步数学化，符合教学逻辑和学习逻辑．问题4的教学可培养学生的逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养．

3.5 回顾总结，交流答疑(略)

3.6 布置作业，练习巩固(略)

4 教学反思

(1)数学教学目标指向培养学生的数学核心素养

数学核心素养既是个体在长期的数学理解、应用、思维、发现(创造)等活动中反复修炼、自主生成的过程，也是个体对数学经验不断积累、反省、反证的自我体验过程．[4]数学教学重视数学观的教学是知识逻辑之应然，有助于学生获得数学思想素养，并把数学知识上升到数学观念的水平．运用APOS理论的四步程式，体现了“过程与方法”教学理念，学生可获得“四能”素养；运用发现教学理论可让学生经历“再创造”排列数公式的过程，有利于培养学生的创新意识；数学思维的鲜花永远生长在问题串的土壤上，问题串揭示了问题驱动教学理论的核心机制，问题串的活用有助于学生获得数学思维素养．因此，提炼排列的数学观、运用APOS理论、发现教学理论和问题驱动教学理论，都指向培养学生的数学核心素养．

(2)充分发挥数学问题的“心脏”功能

问题是知识逻辑、教学逻辑、学习逻辑的心脏．问题在实现“情境→问题→知识”的过程发挥着桥梁作用，基于问题与问题解决的教学是数学教学的基本理念，问题是体现学习逻辑、实现学习方式多样性的基本载体．借助问题串教学，让学生充分暴露思考过程和各种逻辑错误，并促进深度思考和批判性思维；通过问题解决，让学生提高分析问题、探究问题和解决问题的能力，并增加学习的获得感；通过追问，让学生拓展思维的广度、深度和厚度，并促成全脑思维．

(3)提倡“从数学知识到数学观念”的深度学习

数学观对数学知识具有“高观点”作用．提炼排列的数学观有助于学生获得数学思想素养，并有助于学生把数学知识上升到数学观念的水平.这节课凝练了两大数学观：一是数学模型观(排列是一种数学模型——取元占位，排列数也是一种数学模型——排列数公式)，分别源于对问题1中4个情境的数学化和对问题4中由特殊到一般的不完全归纳法；二是概念(即“元素”和“位置”)理解的相对观，正确理解“元素”和“位置”这两个核心概念，是理解排列概念的有效策略[5]．数学教学设计应充分运用知识逻辑、教学逻辑、学习逻辑的内在力量．在多种教学理论指导下，发掘排列概念的数学观，让学生通过典型案例进行意义建构，并对排列概念经历“从知识到观念”的深度学习过程．