在“变”与“不变”中教学生学会思考——以“平面图形为背景的应用题研究”一课为例

王文杰 (江苏省苏州工业园区星海实验中学 215021)

在苏州市2019届高三数学二轮复习教学研讨会中笔者开设了题为“平面图形为背景的应用题研究”的公开课，获得专家与同行的一致好评.专家的指导和同行的鼓励促使笔者思考如何在高中数学课堂的“变”与“不变”中教学生学会思考、培育学科核心素养.现将这节课的教学过程及思考整理如下，供大家交流.

1 课堂重现

1.1 教学目标

这节课的教学目标如下：(1)了解应用题研究的一般方法；(2)学会从“几何”“代数”角度研究平面图形为背景的应用题；(3)掌握合理选择变量、优化研究问题的方法；(4)培养观察问题、分析问题、转化问题、优化问题的能力，提升数学核心素养．

这是高三二轮微专题应用题方向的一节复习课，教学目标的第一点是让学生把握应用题研究的共性方法，其次根据平面图形为背景的应用题的特点教会学生研究此类问题的策略及思考方式．

1.2 教学过程

·回顾好题，引出问题

图1

(1)已知修建道路PA,PB的单位造价分别为 2m元/km和m元/km，若两段道路的总造价相等，求此时点A,B之间的距离；

分析 (1)生1：建系→P(2,1)→B(3,3)→AB； 生2：设角→正弦定理.

总结:此类应用题的特征？研究角度？

师：此类应用题以平面图形为背景，特征明显．研究角度是代数角度与几何角度的选择，代数角度一般考虑“设斜率”“设点”“设直线”，几何角度一般考虑“设角”“设边”．本题第(1)问建议从代数角度求解，第(2)问建议从几何角度求解；合理选择角度，可优化研究问题．

设计意图以学生熟悉的问题入手，抓住学生的最近发展区，在学生做过的旧题中讲出新意，在学生对问题似是而非的模糊理解中指明解题路径．

·例题导析，探究问题

例2(2016届南京盐城高三一模)如图2，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图2中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？

(师生共同探究，教师板书)

图2 图3

图4

总结：本题你更喜欢哪种方法?为什么?

设计意图解法1从代数角度入手，解题入手简单，运算量稍大；解法2从几何角度考虑，需要发现几何特征，运算量稍小．

串讲 如图5，某人工景观湖外围有两条相互垂直的直线型公路l1,l2，且l1和l2交于点O．为了方便游客游览，计划在人工景观湖靠近点O的一侧修建一条连接公路与景观湖的直线型公路AB．景观湖的轮廓可以近似看成一个圆心为O′、半径为2百米的圆，且公路AB与圆O′相切，圆心O′到l1,l2的距离均为5百米，设∠OAB=θ，AB长为L百米．

(1)求L关于θ的函数解析式；

(2)当θ为何值时，公路AB的长度最短？

图5 图6

总结:本题的背景模型你熟悉吗?还有哪些相关问题?

激活 “直角走廊”问题→引入问题(图7)

图7

设计意图引题→例题→串讲→联想→激活→引题，在平面图形为背景的应用题研究中，虽然题目在变、问题研究角度在变、变量选择在变，但问题背景不变，题目本源不变，思考方式不变，培育的数学学科核心素养不变，在“变”中发现“不变”，让学生在“不变”中学会“变”．

·本课导思，策略问题

总结:平面图形为背景的应用题的研究策略有哪些？

(1)读；(2)列式；(3)选择；(4)优化；(5)规范.

2 教学反思

高中数学题目千千万万，研究的数学问题千变万化，困惑着学生也困惑着教师，如何在一题多变中发现“万变不离其宗”？笔者认为,数学问题研究的关键是在“变”中学会发现“不变”，在“不变”中学会应对“变”．

(1)数学问题外貌的“变”，知识点考查的“不变”

数学题目的很多变化是文字表述的不同，不同的表述增加了理解难度，但考查的知识点是一样的，考查的本质没有变．我们可以来看下面两个问题：

在教学实践中笔者发现：学生对于问题①的理解和掌握程度明显优于问题②，学生困惑于问题外貌的“变”，而未理解两个问题本质都是考查分段函数单调性这个知识点．数学问题研究的关键是“变”与“不变”，教师在教学中不仅要教会学生做题，更要教会学生从数学问题外貌的“变”中看透知识点考查的“不变”．

(2)知识点考查的“变”，问题研究角度的“不变”

高中数学问题研究涉及的知识点很多，例如向量的数量积问题、解析几何的定点定值问题等，包括本文中的课例“平面图形为背景的应用题研究”.虽然知识点考查在“变”，但问题研究角度是“不变”的：从代数角度或是几何角度考虑，从条件角度或是所求角度入手．数学问题研究的核心是教会学生思考，教师要引导学生从知识点考查的“变”中，发现思考问题研究角度的“不变”，做到“以不变应万变”．

(3)问题研究角度的“变”，研究思想的“不变”

数学问题研究的角度不同，如果说这也是一种“灵活多变”的话，那么问题研究的思想是“不变”的.例如“简单问题先处理”的思想、“转化研究问题”的思想、“优化研究问题”的思想等．分类讨论的问题贯穿高中数学问题研究的始终，明确讨论标准，“简单情况先讨论”就是“简单问题先处理”的思想的典型运用；数阵问题研究中，将数阵中的“数”排成一列即可转化为研究一个数列问题，而有些规律明显的“分段”数列问题也可以将其转化为数阵问题，这些都是转化研究问题的思想灵活运用；导数在函数研究的运用中，构造“差函数”还是“商函数”，如果是构造“商函数”，以谁为分母构造“商函数”，这些都是不断通过优化来研究问题的思想．数学问题研究的目的是培育学生的核心素养，数学问题研究的“变”是为了让学生形成研究数学问题的思维方式，做到“万变不离其宗”．