数学实验教学支持体系的要素设计*

(江苏省苏州市教育科学研究院 215000)

数学实验课程作为“向实践学习的课程”，不止于为“教好数学”提供支撑，更在于为“学好数学”提供服务，促进核心素养培育从而提高人的生活品质．从认知心理学来说，数学实验教学支持体系是心理过程要素与心理过程要素关系的集合体系，较为复杂．这里主要从心理资源调用、信息资源识别以及工具资源选择等三个维度进行设计，具体涉及“实体性与情境性”“结果性与命题性”“符号化与探究性”的要素与要素之间的关系．

本文以“中心对称与中心对称图形”为研究载体，设计数学实验教学支持体系的若干要素，为数学实验教学提供实践导向和动力支持，突出核心素养培育特征，更好地实现新时期“立德树人”根本任务．

1 心理资源调用，为数学实验教学从实体性转向情境性提供支持

心理资源是知识、技能、态度以及价值观的总和，是关键能力和必备品格的内在支持条件，是心理素养抑或心理品质的替代概念．如举一反三、换位思考以及类比化归等思想方法，都是调用心理资源的基本方式，反映一个人内在的学习素养．有研究者基于这一认识，认为“核心素养可以界定为个体在特定情境中调动认知与非认知的心理资源，成功满足复杂需要的能力.”[1]

对数学实验教学来说，这里的“认知资源”主要包括客观的知识和精确的结论，“非认知资源”主要包括实验态度、实验情感以及数学的科学精神．

例如，在研究“中心对称与中心对称图形”起始概念时，可以类比“轴对称与轴对称图形”起始概念教学的实验流程，包括整体(轴对称图形)与局部(轴对称)的哲学关系．其间，类比研究的过程就是调用认知(概念、性质、图形变换等)与非认知(实验剪纸、数学的眼光看问题、“做数学”“说数学”“用数学”等智慧)的心理资源的过程．换句话说，心理资源调用的过程就是个体在面对复杂、不可预测情境时有效解决复杂问题的过程．像通过“做中学”，将实体性知识(概念等)转化为情境性知识，将客观性知识转化为主观性知识，将精确的结论转化为实践经验，这些都是数学实验调用心理资源的例子，有助于学生学好数学．

很显然，一个人如果不能将实体性知识转化为情境性知识，那么存储的知识是没有意义的，不会给成长带来帮助，也就无法将客观的知识转化为生活智慧．

例如，我们研究函数，不止于获得函数概念、图象性质以及变量思想，更在于用函数的变量思想解决问题，形成动态发展的眼光、换位思考的能力以及预期未来趋势的意识，这才是函数教育的本质．也就是说，通过“动手‘做’数学”和“数学地思考”，在调用心理资源的支持下，将实体性知识及时上升为问题解决的能力，知识才是生产力(这里有必要说明一下，培根的著名论断“知识就是力量”已众所周知，但殊不知知识只有转化为能力才是力量，这理应是“知识就是力量”的下一句)，客观知识才是数学智慧．只有这样，数学实验课堂才能成为学生“带得走的课堂”，也才能促进教师教好书、育好人．

心理资源的调用不仅意味着个体拥有这些构成性的资源，还意味着在特定的时间内，在一个复杂的情境中恰当地运用这些资源，并能使这些资源协调地结合起来．用中心对称知识来研究设计中国结、民间剪纸、汽车图标等实验操作活动，就是心理资源调用的常见例子．

为此，在数学实验教学中，心理资源调用至少要做好三个方面的实验教学支持工作：(1)用数学的眼光看生活，落地数学服务生活的目标；(2)用类比的眼光看数学，有助于将实体性知识上升为情境性知识；(3)用变量的眼光设计数学实验，有助于将客观的知识转化为实践能力．这样调用心理资源，能够有效地促进学生将知识化为能力，将经验化为素养，将实验转化为智慧．

上述“中心对称和中心对称图形”起始概念的教学就很好地遵循了初中学生的认知规律和知觉学习的心理规律，调用了旋转概念等客观知识、类比轴对称与轴对称图形以及调用“双鱼戏水”等传统文化知识，为数学实验教学提供了必要的支持．在数学与生活同行目标的导航下，实现将实体性知识，转化为情境性知识．进而在做中学、在做中思考的支持条件下，抽象出起始概念“中心对称”和“中心对称图形”．

这样引进课题，发展了学生的认知素养和心理认知水平．其具体实验操作过程设计如下：

首先，设置如图1的序列组合问题，将三角红旗绕旗杆的底端旋转成60°, 90°, 120°和180°的状态，让学生感知中心对称图形的本质就是特殊的旋转变换，进而从图1的第4个图抽象出中心对称与中心对称图形的初始概念(即一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称；把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形)．

图1

其次，类比“轴对称与轴对称图形”的概念关系，设置如图2的双鱼戏水剪纸观察活动，旨在让学生类比“轴对称与轴对称图形”的关系，建立“中心对称与中心对称图形”的关系(如果把成中心对称的两个图形看成一个整体，则就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成是两个图形，则就说这两个图形成中心对称)，从而形成对称关系的系统概念．

图2

最后，让学生举例说明：哪些常见的图形是中心对称图形？(如线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形和圆等.)旨在让学生将静态的知识转化为实践能力，发展学生举一反三的意识以及预思能力．

如果说“三角红旗的旋转”是用数学的眼光看生活，那么“双鱼戏水”活动则是用类比的眼光看数学，而举例说明就是将实体性知识转化为情境性知识的有效载体．这种调用心理资源的实验方式，一方面为学生“学好数学”提供了实验支持，另一方面发展了学生的数学素养和实践能力，这就是新时期数学实验的育人力量．

2 信息资源识别，为数学实验教学从“结果性”转向“命题性”提供支持

信息资源是个大概念，包括主体信息、问题信息、技术信息和环境信息等要素和相关要素关系特征，较为庞杂．这里主要从信息资源的“表征”维度进行研究，主要包括动作信息表征、图形信息表征、符号信息表征等三个认知阶段的信息资源的识别与系统加工，在“用中做”“用中思考”“用中批判”等素养行为的支持下，将“结果性知识”转化为“命题性知识”(过程性知识)，将“陈述性知识”转化为“程序性知识”，将“学术性知识”转化为“教育性知识”，落实知识的获得、保持与迁移目标，进而促进学生的成长、成人与成才．

在布鲁纳(Bruner)看来，“学生的认知是按动作表征、图形表征和符号表征的顺序发展的，从感知逐渐过渡到形象，最终完成知识的抽象．”[2]基于认知心理学，这里的“动作表征”可以理解为感知做数学，“图形表征”可以理解为直观地知觉数学，“符号表征”可以理解为数学抽象；基于信息加工学，动作表征就是动作系统信息加工(观察、折、剪、数、算等)，图形表征就是图象系统信息加工(画图、算图、说图)，符号表征就是符号系统信息加工(符号运动、符号意识、符号思想等代数思维).学生获得这些结构性知识，学生的数学智慧必然增长，其数学才干自然上升，这就是数学实验的优势和不可替代性，这也是数学实验行为前沿、理念前瞻的支持条件．

同时，自带设备模式BYOD(bring your own device)为随时随地地进行数学实验提供了技术支持，也为数学实验融入课堂创造了条件．[3]这就意味着，好的数学实验需要“信息技术+”的恰当支持(譬如，EN5技术、班级优化大师、以及画板技术、图形计算器等)，方能让信息资源的识别与加工有序进行，也才能让“结果性知识”(概念的描述)转化为“命题性知识”(概念的形成与使用)、陈述性概念转化为程序性知识运用，进而促进人的充分发展和深度认知冲突．这就是数学实验的理性价值和最高境界，也是数学实验育人的本质所在．

在美国哲学家罗蒂(Rorty)看来，“传统知识论在追求知识作为自然之境的过程中，忽略了知识作为一个命题结构(过程性知识)，即知识自身需要内蕴人与人、人与群体的辩护、确证．”[4]也就是说，实验教育的目的不是让学生加工出结果性概念，而是让学生通过“用数学”将结果性概念转为问题解决能力、实践智慧和生活能力．正如卢梭的观点，“爱弥儿的知识不多，我的目的不是教给他各种各样的知识，而是教他怎样在需要的时候取得知识，是教给他准确地估计知识的价值，是教给他爱真理胜于一切．”[5]

为此，在信息资源识别维度上，数学实验教学需要做好三方面的价值判断工作，方能将结果性知识转化为命题性知识，进而实现“过程”大于“结果”的课程建设目标．这三方面的工作是：(1)动作信息表征，将陈述性知识转化为程序性结构；(2)图形信息表征，将结果性知识转化为命题性能力；(3)符号信息表征，将学术性知识转化为教育性智慧，进而在实现“教好书”的同时“育好人”．

在教学“中心对称与中心对称图形”的性质时，就可以通过信息资源的识别与加工，让学生在“用图和算图”的过程中，将结果性知识转化为命题性知识，实现认知冲突和深度元认知冲突，建立概念与概念关系体系，以此驱动核心素养的外显和数学才干的增值．具体实验实施流程设计如下：

第一步，通过“画” 概念的思维方式，让学生在透明纸上画出四边形ABCD和点O，用大头针钉在点O处，把四边形ABCD绕点O旋转180°(图3)，旨在让学生通过动作加工，写出自己的发现(四边形ABCD绕点O旋转180°后，能与四边形A′B′C′D′重合)．这就是将结果性概念转化为动作程序加工的一个例子，有助于用以致学．

图3

第二步，通过“算” 概念图形加工的方式，让学生揭示每一对对应点与对称中心的关系(在图3中，成中心对称的两个图形里，对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分)，驱动图像加工机制的有效产生．这就是将结果性知识转化为命题性知识的一个样例，有助于学生形成良好的认知结构．

第三步，通过“用” 概念的思维方式，让学生在“旋转变换”思维的参与下，遵循特殊到一般思想(在图4中，前两个图是将直角三角形、等边三角形旋转180°构造的，表征轴对称图形关系；后两个图是变换得来的平行四边形和等边三角形组合图，鲜明地反映中心对称图形的基本性质)，输出“中心对称图形”的性质表达过程，突出概念和概念关系的教育性，有助于学生“学好数学”和“好学数学”．

图4

3 工具资源选择，为数学实验教学从“符号化”转向“探究性”提供支持

有学者明确指出，“要充分发挥数学的科学技术功能和文化教育功能”，并提出要恰当地操作好8个变量，即“数学的返璞归真教育、数学教学中的美育、数学的发现法教育、数学家的优秀品质教育和数学史志教育，数学中的演绎推理、合情推理和一般解题方法的教育”[6]．这里的“返璞归真”就是教书育人并重，“学科美育”就是德美同行，“发现”就是虚拟实验和实验创造，“品质教育”就是情怀价值观教育，“史志教育”就是文化传承和数学精神教育，“逻辑推理及其思想方法”教育就是“关键能力”和“必备品格”的教育培养．

基于上述认识，可以说，好的数学实验教育需要具有工具先行意识，需要进行工具资源的选择与支配，让认知与实验工具同行，让知识与信息技术并重．数学实验教育之所以能让学生兴趣满满，给数学课堂带来不一样的学习风景，让不同人获得不同的数学发展，就在于工具先行意识的统领，尤其是硬软件工具的配备，能有效地提高数学智慧．如果条件允许的话，可以让学生自带移动设备，让教室成为实验室．

随着校园“WiFi信号”的覆盖，学生可以在移动设备上运行数学软件，如几何画板、GeoGebra等都有利于师生的实验操作和互动探究．当然，工具资源的选择意味着，数学不是绝对真理的堆积，而是知行合一、共建共享，是在证伪与证实的交替中螺旋地向前发展．这就是数学实验的动力体系，也是数学实验朝向现代化的内部力量．

事实上，工具资源的选择起于符号运动，成于实验探究，终于核心素养的培育．查理德·罗蒂在《哲学和自然之境》[4]一书中指出，“知识不是观念或字词与对象之间的特殊关系的问题，而是对话问题，是社会实践问题”．显然，数学实验作为“向实践学习”的哲学，是对话哲学，也是实践哲学．对话意味着工具的选择与符号运动(数学关系)，实践意味着工具先行和关系探究．因此，工具资源的有序选择，是数学“符号化”转向“探究性”的支持条件．简单说，数学关系性理解离不开实验工具的选择和探究活动的支持．当然，从“工具选择”到“数学智慧”还有一定的认知心理距离．

为此，新时期开展数学实验教学，还需要手脑并用才能转识成智，才能成人成才．脑科学研究显示，人的大脑皮层负责高级认知和情绪情感活动，它由额叶、顶叶、枕叶和颞叶四个区域组成，分别有着不同的功能．额叶以躯体运动功能为主，顶叶以身体感觉功能为主，枕叶以视觉功能为主，颞叶以听觉功能为主，这些感觉区和运动区以工具资源选择为支配条件，在实验活动的参与下，使得“符号化关系”转向“探究性发现”，进而在知识创造的背后经历补偿与反思，肩负起教好书、育好人的历史重任．

在“中心对称与中心对称图形”的结课环节中，可以基于工具资源选择维度(班级优化大师等)，让学生手脑并用，在“说”数学、“玩”数学和“创造”数学中，将符号化数学转化为探究性数学．具体过程包括三个方面：

第一，让学生设计扇叶的运动变化过程(如图5，选择圆规工具资源，构造基本扇叶)，在旋转思维的帮助下，构造“中心对称图形”和“轴对称图形”，发展逆向思考能力和反问监控能力，实现“活动”与“思考”同频目标．

图5

第二，让学生选择英文字母，作为思维交流工具载体，落实探究性目标．其中，在图6中，第一组字母的共性是揭示轴对称图形特征，第二组字母的共性是反映中心对称图形特征，第三组字母的共性是既带有轴对称图形特征又带有中心对称图形特征．

图6

第三，在图7中，说出三角红旗构图(EN5信息技术环境)、“双鱼戏水”以及基本图形构图的对称性(正方形、圆、正六边形等)，在软件思维的帮助下让学生经历返璞归真教育和美育教育以及合情合理教育，让学生在数学地说中揭示生活本质，在回归概念中创造数学美和生活美．

图7

总之，让学生在手脑并用、“眼观六路，耳听八方”的数学活动中，提高数学情怀和生活智慧，这就是数学实验给数学教育带来的最大贡献．另外，为了增值数学实验的经验水平，笔者认为还需要通过问题解决提高学生的预学预思能力．可以追加思考：“在平行四边形、矩形、菱形、正方形以及等腰梯形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形又是中心对称图形？”这样，有助于学生“用以致学”，让学生在获得数学智慧的同时，不留痕迹地进行成人成才的教育．

从广义的视角来看，数学实验教学支持体系是指教学操作系统诸要素与支撑系统要素间的关联及其相互作用，包括外部支持体系和内部支持体系两个部分．这里主要是从外部支持体系的构建进行思考并设计的，旨在基于外部资源视角从心理调用、信息识别和工具选择三个维度进行设计，为数学实验教学提供支持，实现从“教好书”到“育好人”的目标转变．其实，从内部支持体系来看，还包括概念发生系统、思维还原系统、经验重构系统以及问题支架系统等的构建与设计，这些要素是实验教学支持系统内最活跃的因素，既可以促进学生认知经验的增值水平提升，又可以有效发展学生的心智技能和数学智慧．限于篇幅，另文研究．