幂函数问题变式探究

◇ 湖北 冯 赟

在高中数学中，对幂函数的学习要求并不高，我们只需掌握它解析式的求法、图象与性质的基本应用即可.本文从一个例题进行推广与探究.

1 引例探究

引例已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，求m 的取值，使得

(1)f(x)是幂函数；

(2)f(x)是幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数.

分析(1)抓住幂函数的定义：形如y＝xα(α 是常数)的函数是幂函数.

(2)抓住幂函数的性质：当指数α＞0时，幂函数y＝xα(α 是常数)是(0，＋∞)上的增函数.

解(1)因为f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或－1.

(2)若f(x)是幂函数，且又是(0，＋∞)上的增函数，则所以m＝－1.

研究幂函数应从解析式入手，再考查它的图象特征，即抓住幂函数的基本性质.

2 变式训练

变式1幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( ).

设幂函数的解析式为f(x)＝xα，则4α＝2，解得所以故选C.

变式2当0＜x＜1 时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是.

图1为函数f(x)，g(x)，h(x)的图象，由此可知0＜x＜1时，h(x)＞g(x)＞f(x).

图1

当幂函数的底数相同时，幂函数的大小比较问题，往往可采用图象法求解.

变式3已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表1，则不等式f(|x|)≤2的解集是( ).

表1

变式4已知幂函数经过点试确定m 的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a 的取值范围.

本题通过解不等式f(2－a)＞f(a－1)求参数a，依然利用了幂函数的单调性，但有个易错点容易被忽视，即忽视函数的定义域，遗漏2－a≥0和a－1≥0这两个条件.

总之，解幂函数问题必须关注幂函数的定义、图象与性质.由于幂函数y＝xα中常数α 的变化，函数图象也有变化，一般只关注第一象限的图象，由α 的正负确定它的单调性和图象，由常数α 的特征来确定函数的定义域和奇偶性.因此研究幂函数归根结底是研究指数α 的变化与函数图象之间的变化.既要抓住图象的共同特征，即都过点(1，1)，又要关注常数α 的特性.我们需特别关注以下几点：

1)形如y＝xα(α 为常数)才是幂函数，而函数f(x)＝3x5不是幂函数；

2)画幂函数图象必须先关注定义域，幂函数的定义域不都是实数集R，它还可能是正数集，如f(x)＝还可能是正数集与负数集的并集，如f(x)＝x－2，幂函数不一定都具有奇偶性；

3)幂函数的单调性主要用于比较数值大小与解相关不等式，解题时需注意数形结合；

4)幂函数的图象在第一象限一定出现，而第四象限一定没有.

图2

链接练习

1.图2 是函数y＝xm/n(m，n∈N*，m，n 互质)的图象，则( ).

2.y＝(x－1)α＋1(α＞0)的图象恒过定点.

3.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则)的值等于.

4.若函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝.

链接练习参考答案