有穷平坦维数的同调转换刻画

熊涛

(西华师范大学数学与信息学院,四川南充 637002)

1 引言

本文规定,R恒指有单位元的交换环.对R-模N,fdRN(resp.pdRN)代表N的平坦(resp.投射)维数.用Fn表示平坦维数不超过n的R-模簇,用w.gl.dim(R)表示R的弱整体维数.对于未解释的概念和符号,参考文献[1,2].

文献[3]引入的FFD(R)维数受到了广泛关注.例如,文献[4,推论5.3]表明,一个Noether环R,总有FFD(R)≤dim(R)≤FFD(R)+1成立,这里dim(R)是R的Krull维数;特别地,如果R是局部环,则FFD(R)=dim(R)当且仅当R是Cohen-Macaulay环.

称R是chain环是指其理想按包含关系所构成的格是全序的,R称为arithmetical是指对R的每个极大理想m,Rm是chain环.R称为半凝聚环是指对任何一对内射模E,F,HomR(E,F)是某个平坦模的子模.文献[5,定理1]证明了对每个交换的arithmetical环R,总有FFD(R)≤2成立.更确切地说,当R为局部IF(locally IF)环时,FFD(R)=0成立;当R是局部半凝聚(locally semicoherent)环但不是局部IF环时,都有FFD(R)=1,这里环R称为IF环是指每个内射R-模是平坦模,(见文献[6]).文献[5,定理2]证明了当R既是IF环又是chain环时,则FFD(R)=0;当R是非半凝聚的chain环时,都有FFD(R)=2.

在经典同调理论中,环R的整体维数是所有模的投射维数(或者内射维数)的上确界;弱整体维数w.gl.dim(R)是模的平坦维数的上确界.在相对同调理论中,环R的Gorenstein整体维数也是所有模的Gorenstein投射维数的上确界,或者Gorenstein内射维数的上确界;Gorenstein弱整体维数是所有模的Gorenstein平坦维数的上确界.

然而,环的有穷平坦维数FFD(R)不是像经典同调理论和相对同调理论那样,建立在整个R-模范畴上,而是建立在平坦维数有限的子范畴上.对任给一个模M,在判定其平坦维数是否有限时,存在技术上的困难.本文借助文献[7]中提出的n-无挠模,建立了整个R-模范畴上的n-无挠分解,任何模的n-无挠维数,以及环R的n-无挠弱整体维数w.T Fn.D(R).证明了环R有FFD(R)≤n当且仅当w.T Fn+1.D(R)≤n,通过这个结果,将对FFD(R)的计算转换成了对w.T Fn+1.D(R)的计算.

2 环的有穷平坦维数

定义2.1对R-模M,用tfndRM表示这样的最小整数m≥0,存在正合列0→Dm→Dm−1→···→D1→D0→M→0,这里每个Di是n-无挠模.如果这样的整数m不存在,则记tfndRM=∞.相应地,环R的n-无挠弱整体维数w.T Fn.D(R)定义为sup{tfndRM|M是R-模}.

作为余挠模的深层次发展,文献[8]在整环上引入War field-余挠模的概念.设R是整环,R-模U称为War field-余挠模是指对任何无挠R-模D,都有文献[9]证明了整环上每个挠的War field-余挠模,简称UT-模,内射维数不超过1.对非负整数n,本文在任意环上引入n-War field余挠模.R-模U称为n-War field余挠模是指对任何n-无挠R-模D,恒有成立.显然,0-War field余挠模就是内射模.由文献[8,引理2.3]可知,整环上的无挠模是1-无挠模,从而整环上的War field余挠模就是1-War field余挠模.

下文中,对R-模M,其特征模HomZ(M,Q/Z)记为M+.现在来刻画模的n-无挠维数.

定理2.2对R-模M及非负整数m,以下陈述等价

(1)tfndRM≤m;

(2)对任何R-模N∈Fn,

(3)对任何n-War field余挠R-模U,恒有成立.

进而,对任何n≥0,任何R-模M,恒有tfndRM≤n成立.从而,w.T Fn.D(R)≤n对任何环R都成立.

证 (2)⇔(1)⇒(3).显然.

现在来刻画环的w.T Fn.D(R)维数.

定理2.3对环R及非负整数m≤n,以下陈述等价

(1)w.T Fn.D(R)≤m;

(2)Fm=Fn;

(3)对R的任何理想I,tfndRR/I≤m成立.换言之,如果M是循环R-模,tfndRM≤m成立;

(4)对R的任何有限生成理想I,tfndRR/I≤m;

(5)如果M是有限生成R-模,tfndRM≤m成立;

(6)如果M是有限表现R-模,tfndRM≤m成立;

(7)如果U是n-War field余挠R-模,idRU≤m成立.

证由定理2.2可得(7)⇒(1)⇔(2),而(1)⇒(5)⇒(3)⇒(4)与(5)⇒(6)⇒(4)是显然的.

(4)⇒(1)设m1=w.T Fn.D(R).则存在R-模M满足tfndRM=m1,同时存在模N∈Fn满足记s=fdRN.则m1≤s≤n.从而存在R的有限生成理想I满足因此m≥tfndRR/I≥s≥m1.

(3)⇒(7)设I是R的理想.则由假设,tfndRR/I≤m成立.由定理2.2可得.因此idRU≤m.

现在借助w.T Fn.D(R),来刻画FFD(R).

定理2.4对环R,以下各条等价

(1)FFD(R)≤n;

(2)w.T Fn+1.D(R)≤n;

(3)FFD(R)=w.T Fn.D(R).

证(1)⇒(2)设N∈Fn+1是任意R-模.由假设,fdRN≤n成立.因此由定理2.3可得w.T Fn+1.D(R)≤n.

(2)⇒(1)设N是R-模满足fdRN=s<∞.不失一般性,可设s=n+1.则由定理2.3,fdRN≤n成立.从而FFD(R)≤n.

(3)⇒(1)运用定理2.3即可.

(1)⇒(3)设FFD(R)=k<∞.对任何模N∈Fn,则fdRN≤k.因此对任何R-模M,都有成立.故由定理2.3,w.T Fn.D(R)≤FFD(R)成立.现在仍设w.T Fn.D(R)=k,N是R-模满足fdRN<∞.则由假设fdRN≤n成立.故对任何R-模M,由定理2.3可得因此fdRN≤k.从而FFD(R)≤k.

对R-模M,记满足对任何有限表现模F,都有成立的最小非负整数n为FP-idRM.如果这样的n不存在,则记FP-idRM=∞.一个凝聚环R称为n-FC环是指FP-idRR≤n.由文献[10,命题4.2.4],有

命题2.5设R是n-FC环,则FFD(R)=n.

推论2.6对环R,以下陈述等价

(1)FFD(R)≤1;

(2)2-无挠R-模的子模是2-无挠模;

(3)平坦R-模的子模是2-无挠模;

(4)对任何R-模N∈F2,都有fdRN≤1;

(5)R的每个(有限生成)理想I是2-无挠模.

推论2.7FFD(R)=0当且仅当F1=F0,当且仅当每个R-模是1-无挠模.

文献[5,定理1&定理2]表明,对局部IF环或者chain IF环R,恒有FFD(R)=0.事实上,可以将这个结果推广到任意IF环上.

命题2.8设R是IF环,则FFD(R)=0成立.因此一个IF环R或者是VN正则环,或者w.gl.dim(R)=∞.

证设M∈F1是任意R-模,且设0→F1→F0→M→0是正合列,这里F0,F1是平坦模.则也是正合的,且是内射模.由假设,R是IF环,故是平坦模.从而M+是平坦模.如此则M++也是平坦的.注意R是凝聚环,可由文献[11]推出M是平坦模.从而由推论2.7有FFD(R)=0.

对于一个完全环R,由文献[12]及文献[13,定理2.2]可知,FFD(R)=0成立.但是满足FFD(R)=0的环,却未必是IF环,也未必是完全环.现在给出一个满足FFD(R)=0,但它既不是完全环,也不是IF环的例子.

例2.9设xi是有理数域 Q 的未定元. 取T=Q[x1,···,xn,···],m=(x1,···,xn,···).则R1=T/m2是以m/m2为唯一极大理想的局部环.由于对任何,其零化子因此R1不是凝聚环,从而也就不是IF环.设R2是非Neother的IF环.则由文献[6,定理3.2],R2不是完全环.构造环R=R1×R2.显然,FFD(R)=0成立.但R既不是完全环,也不是IF环.

3 有穷平坦维数的换环定理

文献[7]中称R-模C是n-余挠模是指对任何R-模N∈Fn,都有.下文中,用Cn与T Fn分别表示n-余挠R-模簇与n-无挠R-模簇.现设A是一个R-模簇.其左,右正交类分别是A⊥={B|对所有A∈A,都有和⊥A={B|对所有A∈A,都有.对两个R-模簇A和B,模簇对(A,B)称为一个余挠理论,或者余挠对文献[1]是指A⊥=B和A=⊥B同时满足.文献[14]表明(Fn,Cn)是余挠理论.

定理3.1对任意R-模M和N,存在正合列0→A→F→M→0与0→N→W→B→0,这里F,B∈Fn,A,W∈Cn.

证运用文献[14,引理1.11&定理2.8]和文献[15,引理2.1.1&引理2.1.2]即可.

对任何n≥1及任何环,总有T Fn−1.但一般情况下,却未必有T Fn−1=T Fn.现在举一个环的例子,满足对任何n≥1,都有T Fn−1.

从而 cok(φ0πφ)cok(φ0), 且 fdRcok(φ0πφ)≤n. 设B是-模,且A是B的子模,满足则由平坦维数的换环定理,有fdRB/A≤n.对任何同态f:A→Eu,考察如下交换图

注意,E是n-余挠R-模,则存在同态g:B→E满足f=gh.由于对任何x∈B,均有ux=0,则g(ux)=ug(x)=0且Im(g)⊆Eu.所以Eu是(n−1)-余挠-模.注意到则存在同态g:B→Eu满足gφ0πφ=φ.因此gφ0π是同构,π是单同态.故A0=0,即C=Eu.从而由定理2.2,k:=tfndRA≥m+1成立.假如k>m+1,由上面的证明过程可知,存在n-余挠模E且fdRE≤n保证成立.这与的事实是矛盾的.这说明tfndRA=m+1.从而w.T Fn.D(R)≥m+1成立.

(2)记n=FFD(R).由定理2.4,w.T Fn+1.D(R)≤n成立.由(1),w.T Fn.成立.从而再由定理2.4可得

定理3.4设R是整环,则FFD(R)≤1当且仅当对每个非单位元06u∈R,都有FFD(R/(u))=0.

证设0是R的任何理想,记M=R/I.任取0,由于uM=0,则M是-模.记=R/(u).由假设,FFD(R/(u))=0成立.运用定理2.4,可得w.T F1.D(R/(u))=FFD(R/(u))=0.则也成立.由定理3.3,tf2dRM≤1.由定理2.3可得w.T F2.D(R)≤1.再次运用定理2.4,FFD(R)≤1成立.运用定理3.3,另一个方向是显然的.

命题 3.5设x1,x2,···,xm是R上的未定元,这里m≥1.则FFD(R[x1,···,xm])=FFD(R)+m.

证只需证FFD(R[x1])=FFD(R)+1.设FFD(R)=s,N是R[x1]-模满足fdR[x1]N≤s+2.考察文献[2,引理9.29]中出现过的正合列0→N[x1]→N[x1]→N→0,有fdRN≤fdR[x1]N≤1+fdR[x1]N[x1]=1+fdRN,从而fdRN≤s+2<∞.因此fdR[x1]N≤s+1.则由定理2.3可得w.T Fs+2.D(R[x1])≤s+1.运用定理2.4,FFD(R[x1])≤s+1成立.另一方面,由于从而由定理3.3,成立.至此,有FFD(R[x1])=FFD(R)+1.

定理3.6设S是R的乘法封闭集.则FFD(RS)≤FFD(R).

证不失一般性,设m=FFD(R)<∞.设N是RS-模,且fdRSN<∞,从而fdRN=fdRSN<∞,有fdRSN≤m.从而有FFD(RS)≤m.

命题3.7设R是环,Max(R)(resp.Spec(R))是R的极大(resp.素)理想的集合.则FFD(R)=sup{FFD(Rm)|m∈Max(R)}=sup{FFD(Rp)|p∈Spec(R)}

证只需证FFD(R)=sup{FFD(Rm)|m∈Max(R)},另一个断语类似可得.不失一般性,设t=FFD(R)<∞,s=sup{FFD(Rm)|m∈Max(R)}<∞.对任何m∈Max(R),由定理3.6,FFD(Rm)≤t成立.所以有s≤t.另一方面,设N是R-模满足k=fdRN<∞.则存在正合列0→Fk→Fk−1→···→F1→F0→N→0,这里每个Fi是平坦模.对任何m∈Max(R),序列0→(Fk)m→(Fk−1)m→···→(F1)m→(F0)m→Nm→0是正合的,且每个(Fi)m是平坦Rm-模.则由假设,fdRmNm≤s成立.则fdRN=sup{fdRmNm|m∈Max(R)}≤s.故t=FFD(R)≤s.因此s=t,即FFD(R)=sup{FFD(Rm)|m∈Max(R)}.

4 凝聚环的有穷平坦维数

凝聚环R的弱整体维数w.gl.dim(R)一直备受学者们关注.本节中,将研究凝聚环的有穷平坦维数.

定义4.1R-模Q称为n-投射模是指对任何内射维数不超过n的模H,都有

自然地,任何R-模都是0-投射模;投射R-模都是n-投射模,这里n≥1.

引理4.2(1)当n≥1时,每个n-投射模是n-无挠模;

(2)设R是凝聚环.当n≥1时,每个有限生成的n-无挠R-模是n-投射模.

证(1)设M是n-投射模,N是R-模且满足fdRN≤n.则存在正合列0→Fn→Fn−1→···→F0→N→0,这里F0,···,Fn−1,Fn是平坦R-模.从而也是正合列,每个是内射模.从而idRN+≤n.由文献[16,定理4.6.9],成立.从而.故M是n-无挠模.(2)设M是有限生成的n-无挠模,N是R-模且满足idRN≤n.则存在正合列0→N→E0→···→En−1→En→0,这里每个Ei是内射R-模.从而也是正合列,且由文献[10,定理2.2.13],每个是平坦模.从而fdRN+≤n.再由文献[10,定理2.2.13],成立.从而故M是n-投射模.

为了刻画FFD(R)≤2的凝聚环,先做如下定义.

定义4.3设M是R-模.M的n-投射维数m≥0,记为n-pdRM≤m,是指存在这样的最小整数m,满足序列0→Qm→Qm−1→Qm−2→···→Q0→M→0是正合列,这里每个Qi是n-投射模.如果这样的m不存在,则记n-pdRM=∞.

引理4.4设R是凝聚环.对任何整数n≥1,都有

(1)若M是有限生成R-模,则n-pdRM=tfndRM;

(2)w.T Fn.D(R)=sup{n-pdRM|M是有限表现模}.

证(1)设tfndRM=k.从而有正合列0→Fk→Fk−1→···→F1→F0→M→0,其中F0,F1,···,Fk−1是有限生成投射模.注意Fk是M的第k−1个合冲.则Fk是n-无挠模.由于R是凝聚环,有Fk是有限表现的.因此由引理4.2,Fk是n-投射模.于是有n-pdRM≤tfndRM.再由引理4.2,n-pdRM≥tfndRM成立.故n-pdRM=tfndRM.

(2)由(1)即得.

定理4.5设R是凝聚环.对任何整数n≥0,以下等价

(1)FFD(R)≤n;(2)对每个有限生成R-模M,都有(n+1)-pdRM≤n;(3)对R的任何有限生成理想I,都有(n+1)-pdRR/I≤n.

证(1)⇔(2)由定理2.4和引理4.4即可得证.

(2)⇒(3)显然.

(3)⇒(1)设I是R的有限生成理想.则R/I是有限表现模.由条件,(n+1)-pdRR/I≤n成立.运用引理4.4,tfn+1dRR/I=(n+1)-pdRR/I≤n成立.由此运用定理2.3可得w.T Fn+1.D(R)≤n.故由定理2.4,FFD(R)≤n成立.

命题4.6设R是凝聚环.对任何整数n≥0,都有

(1)如果FFD(R)=n,则对任何有限表现自反R-模M都有(n+1)-pdRM≤n−2;

(2)如果FFD(R)≤2,则任何有限生成自反R-模M都是3-投射模.

证(1)运用文献[16,定理5.1.4],M∗是有限表现的.设F1→F0→M∗→0是正合列,其中F1,F0是有限生成自由模.考虑正合列,其中也是有限生成自由模,X是同态的上核.注意,X是也是有限表现模.由定理4.5可得(n+1)-pdRX≤n,有(n+1)-pdRM≤n−2.

(2)由(1)即得.

定理4.7设R是凝聚环,则以下各条等价

(1)FFD(R)≤2;(2)设M是有限表现R-模,则M∗是有限生成3-投射模;(3)对投射模P的任意有限生成子模M,则tf3dRM≤1;(4)对R的任意有限生成理想I,则tf3dRI≤1.

证 (1)⇒(2)设M是有限表现R-模.则存在正合列F1→F0→M→0,这里F0,F1是有限生成自由R-模.则也是正合列,这里由条件,FFD(R)≤2成立,则由定理2.4可得w.T F3.D(R)≤2.故tf3dRC≤2.注意,均是有限生成投射模,故M∗是3-无挠模.注意,R是凝聚环,从而M∗是有限表现模.由引理4.2,M∗是有限生成3-投射模.

(2)⇒(1)设M是任意R-模.则这里每个Mi是M的有限表现子模,对每个Mi,存在有限生成自由模Fi0,Fi1满足序列是正合列.记Ki=ker(Fi1→Fi0).注意是正合列,这里从而C是有限表现模.由条件,C∗是有限生成3-投射模.由文献[17,引理3]可得K∼=C∗是有限生成3-投射模.故由引理4.4可得tf3dRMi=3-pdRMi≤2.故对任何R-模N满足fdRN≤3,由定理2.2有再由定理2.2可得tf3dRM≤2.故w.T F3.D(R)≤2.则由定理2.4可得FFD(R)≤2.

(1)⇔(3)⇔(4)运用定理4.5和引理4.4即可.

正如人们把满足w.gl.dim(R)≤1的凝聚环R称为半遗传环,在文献[18]中把满足G-w.gl.dim(R)≤1的凝聚环R称为G-半遗传环一样,现在将满足FFD(R)≤1的凝聚环R称为 finitistic半遗传环,并且遵循把半遗传整环称为Prfer整环,G-半遗传整环称为G-Prfer整环(见文献[19])的习惯,也将 finitistic半遗传整环称为 finitistic Prfer整环.知道环R是半遗传环当且仅当投射模的有限生成子模是投射模当且仅当R的每个有限生成理想是投射理想.自然地,要问,对于 finitistic半遗传环,是否也有对应的表述？对此,有以下定理.

定理4.8对环R,以下陈述等价

(1)R是 finitistic半遗传环;

(2)R的每个有限生成理想是有限表现的2-投射模;

(3)投射模的每个有限生成子模是有限表现的2-投射模;

(4)R是凝聚环,且平坦模的子模是2-无挠模;

(5)R是凝聚环,且对每个有限表现模M,都有2-pdRM≤1;

(6)R是凝聚环,且对每个有限表现模M,都有tf2dRM≤1.

证运用推论2.6可得(1)⇒(4),运用引理4.2可得(4)⇒(3),运用引理4.4可得(5)⇔(6),而(3)⇒(5)⇒(2)是显然的.现只证(2)⇒(1).设I是R的任何有限生成理想.由假设,I是2-投射模,从而tf2dRR/I≤1.由定理2.3,w.T F2.D(R)≤1成立.再由定理2.4可得FFD(R)≤1.注意,由条件,I是有限表现的,故是凝聚环.从而R是 finitistic半遗传环.

设R是交换环.称R-模M是无挠模是指对x∈M及非零因子非单位a∈R,能由ax=0推出x=0.注意,平坦模是无挠模.众所周知,整环R是Prfer整环(即w.gl.dim(R)≤1)当且仅当无挠R-模是平坦模.对于满足FFD(R)≤1的整环R上的无挠模,有如下定理

定理4.9对整环R,以下陈述等价

(1)FFD(R)≤1;(2)如果A是无挠R-模满足fdRA<∞,则A是平坦模;(3)如果A是无挠R-模满足fdRA≤1,则A是平坦模.

证(1)⇒(2)记K=Q/R,这里Q是R的商域.由于A是无挠模,存在正合列这里每个KiK.由于B是平坦R-模且fdRA<∞,故fdRC<∞.由条件,FFD(R)≤1,故fdRC≤1.所以A是平坦模.

(2)⇒(3)显然.

(3)⇒(1)设N是R-模满足fdRN≤2.则存在正合列0→A→F→N→0,这里F是平坦模,且fdRA≤1.注意,A是无挠R-模.由条件,A是平坦模,即fdRN≤1.因此由推论2.6,FFD(R)≤1成立.

知道,整环R是Prfer整环当且仅当有限生成无挠R-模是投射模.对于finitistic Prfer整环,有如下定理.

定理4.10对凝聚整环R,以下陈述等价

(1)R是finitistic Prfer整环;(2)每个无挠R-模是2-无挠模;(3)每个有限生成无挠R-模是2-投射模.

证(1)⇒(2)设D是无挠R-模.则由文献[8,引理2.3],D是1-无挠模.运用定理2.4与定理2.3可得D是2-无挠模.

(2)⇒(1)设I是R的理想.从而I是无挠R-模.由条件,I是2-无挠的.由推论2.6可得FFD(R)≤1.

(2)⇒(3)设M是有限生成无挠R-模,自然也是无挠模.由条件,M是2-无挠模.注意,R是凝聚整环,运用引理4.2,M是2-投射模.

(3)⇒(2)设M是无挠R-模.则,这里每个Mi是M的有限生成子模,自然也是无挠R-模.由条件,Mi是2-投射模.由引理4.2可知Mi是2-无挠模.故对任何R-模N满足fdRN≤2,有故M是2-无挠模.

正如所有满足w.gl.dim(R)≤1的环R不一定是凝聚环一样,满足FFD(R)≤1的环R也未必是凝聚环.

例4.11设C是复数域,X是C的未定元.构造环R=Q+XC[X].则由文献文献[20],文献[21,命题3.2]及文献[22,命题6]及文献[23,定理4.11]可知FFD(R)≤1成立,但R不是凝聚环.

设R是整环,商域是K.设F(R)是R的所有非零分式理想的集合,f(R)是F(R)中所有有限生成元的集合.对任何06I∈F(R),其逆I−1定义为{x∈K|xI⊆R}.理想I∈f(R)称为GV-理想是指I−1=R.记GV(R)={I∈f(R)|I是R的GV-理想}.在文献[24]中,整环R称为DW-整环是指GV(R)={R}.众所周知,Prfer整环是DW-整环.

命题4.12设R是finitistic Prfer整环.则R是DW-整环.

证设0是R的有限生成真理想.取0,记T=R/(a).由定理3.4,FFD(T)=0成立.则I=J/(a)是T的有限生成真理想.记I=(b1,···,bn),这里b1,···,bn∈T. 如果 ann(I)=0,则同态映射f:T→Ts,f(r)=(b1r,···,bnr),r∈T是单射.从而序列是正合列,且cok(f)是有限表现模.注意,fdTcok(f)≤1且FFD(T)=0,则cok(f)是投射模,且则:T/I→Ts/ITs也是单射.由Im(f)⊆ITs可得到=0与I=T.显然这是一个矛盾.因此ann(I)0.从而存在元素b∈R−(a)满足I(b+(a))=0,故Jb⊆(a).则与成立.因此GV(R)={R},即R是DW-整环.

现在来研究满足FFD(R)=0的整环.设R是整环.对内射R-模E,E自然是可除模,即对非单位元0,都有E=aE.从而乘法同态a:E→E是满的,且序列是正合列.确切地,乘法同态a是同构当且仅当E是a-无挠的.

定理4.13对整环R,以下陈述等价

(1)R是域;(2)每个War field余挠模是内射模;(3)每个UT模是内射模;(4)FFD(R)=0.

证(1)⇒(4)与(2)⇒(3)是显然的.在定理2.4中取n=0可得(4)⇒(2).现证(3)⇒(1).假如R不是域.则存在挠的内射R-模0.从而也存在非单位元06a∈R满足E不是a-无挠的.则Ea0.由如下行是正合列的交换图

可得EaHomR(R/(a),E).设X是任何无挠R-模.取正合列0→A→P→X→0,这里P是投射模.注意,fdRR/(a)≤1成立,则由文献[8,引理2.3]可得正合列从而序列0→HomR(X/aX,E)∼=HomR(X,Ea)→HomR(P/aP,E)∼=HomR(P,Ea)→HomR(A/aA,E)∼=HomR(A,Ea)→0是正合列.故由正合列可得.因此Ea是War field-余挠模.从而Ea是UT-模.由条件,Ea是内射模.另一方面,由于aEa=0,可得Ea不是a-可除的.故Ea不是可除模,自然也不是内射模.这显然是个矛盾.故R是域.

试举几个例子来结束本文.首先,凝聚环R也未必有FFD(R)≤1.

例4.14构造环R=Z[x],这里Z是整数集,x是Z上的未定元.显然,R是凝聚环.如果FFD(R)≤1,则由定理3.4可得FFD(R/xR)=0.而Z.故由定理4.13可知Z是域.这显然是个矛盾.所以FFD(R)>1.

虽然对所有环R,均有FFD(R)≤w.gl.dim(R).但一般情况下,FFD(R)=w.gl.dim(R)未必成立.

例4.15设D是Prfer整环,其商域是L,F是L的扩域满足[F:L]=∞.设是F上的形式幂级数环,且设构造如下两个Milnor方图

环R满足FFD(R)<∞.却未必有w.gl.dim(R)<∞.

例4.16设C(X,Y)是多项式环C[X,Y]的商域,Z是C(X,Y)上的未定元.取其极大理想m=(Z).构造环R1=C[X,Y]+ZC(X,Y)[Z]m.再构造环R2=Z4,这里Z是整数环.则R2是完全环,且w.gl.dim(R2)=∞.构造环R=R1×R2.则FFD(R)=2成立.由文献[13,例4.6],w.gl.dim(R)=∞.

即使环R有w.gl.dim(R)=∞,也未必有FFD(R)<∞.

例4.17设,这里x是有理数域Q上的未定元,m=(x)是Q[x]的极大理想.则FFD(R)=1成立.设T=R[y1,y2,···],这里y1,y2,···是R上的未定元.由命题3.5,FFD(T)=∞.自然也有w.gl.dim(T)=∞.