完整Coriolis力与弱地形作用下的非齐次mKdV-Burgers方程

周兰锁,栾金凤,尹晓军,那仁满都拉

(1.内蒙古农业大学理学院,内蒙古呼和浩特 010018)

(2.内蒙古体育职业学院,内蒙古呼和浩特 010051)

1 引言

地球旋转对地球流体中波的产生有及其重要的作用,其中在大气海洋领域中它的作用也是显而易见.Rossby波同样与地球旋转是密不可分.国内外学者从不同角度出发对Rossby波的特性进行研究[1−5].大气千变万化,大气运动可以被一系列基本原始方程所描述,如有连续方程、运动方程、能量方程.自从Long开创性用KdV方程来描述较为理想状态正压流体中的Rossby波的振幅演变规律后[6].许多学者分析诱导与加强大气运动中Rossby波会受到beta效应、地形强迫、耗散和外源、基本流的切变效应、地形缓变效应以及行星波与天气波的相互作用等因素的影响[7−9].其中在分析Rossby波振幅特性的过程中,通常从准地砖位涡方程出发来进行研究.Dellar等[10]利用变分原理推导含有完整Coriolis力作用的准地转位涡方程.在2010年,他们[11]扩展了这项工作,并导出了具有完整Coriolis力的方程来描述无粘、不可压缩流体的多层流体背景下的Roosby波的流动.尹晓军从含有完整Coriolis力的准地转位涡方程出发[12],推导出了mKdV-Burgers方程,进一步阐述了Rossby波的振幅演变规律会受到地球旋转水平分量、beta效应以及强耗散三个因素的影响.杨红卫从基本方程出发,推到出分数阶BDO方程去描述Rossby波的振幅演变规律[13].关于完整Coriolis力相关报道,见文献[14−16].但是我们发现上述文献都没有讨论中高纬度Rossby波的波动形态,实际上极端的天气现象(气旋、反气旋、寒潮等)主要发生在中高纬度地区,极大的影响了人们的生活.另一方面,由于描述波的波动形态是一系列微分方程,因此寻找微分方程的解析解或者孤立波解近年来得到了迅速发展.如吕兴等应用双线性变换求解了(3+1)维非线性演变方程以及Boussinesq方程的各种精确解以及多孤立子解[17−18].再比如Jacobi椭圆函数展开法[19],同伦摄动法[20],Bcklund变换法[21]等.

本文主要对受到完整科里奥利力、地形效应、耗散和外源强迫共同作用的准地转位涡方程进行研究.首先对准地转位涡方程所表示的大尺度问题作了无量纲变换;然后把流函数分为基本流函数和扰动流函数两部分,在色散和非线性之间平衡的条件下,通过作时空伸缩变换和摄动展开法推导出弱地形作用下的非齐次mKdV-Burgers方程,阐述科里奥利力对方程齐次项系数产生影响,所得的弱地形效应影响到方程中强迫项;最后对得到的非齐次mKdV-Burgers方程应用简化的微分变化法和Maple数学软件进行了近似求解,并且对一种特定Rossby波的振幅进行图形模拟后发现,Rossby波的振幅随时间在逐渐增大,Rossby波的波峰与波谷出现的经度位置随时间没有明显改变.

2 非齐次mKdV-Burgers方程的推导过程

考虑含有完整科氏力以及带有耗散和外源的准地转位涡方程:

其中φ(x,y,t)表示总的流函数,x、y、t分别表示经度和纬度变量以及时间变量,和fH分别表示科里奥利力的垂直分量和水平分量,且f0和fH为常数,H表示垂直尺度,B(x,y)表示底地形函数,µ0∇2φ表示耗散,µ0表示耗散强度,Q表示外源.侧边界条件满足的刚壁条件

方程(2.2)中y=y1,y=y2分别表示地球南北方向的边界.

首先通过无量纲化方程(2.1)和(2.2)变为

把(2.5)式代入到方程(2.3)中得

把变换(2.7)式代入到(2.6)式得

为了讨论非线性长波,可作时空伸缩变换,即Gardner-Morikawa变换

其中X,T分别为经度和时间的缓变量,同时由变换(2.9)得

把变换(2.9)和(2.10)代入到方程(2.8)中得

把(2.12)式代入(2.11)式中得

通过后续(2.17),(2.21),(2.24)式分析得

从而底地形函数B(x,y)=ε3h(X,y),因为科氏参数ε¿1,所以底地形函数B(x,y)表示相对非常小的量,即为弱地形作用.进一步方程(2.13)可变为

下面采用摄动展开法.首先设扰动流函数有如下的小参数展开式

把方程(2.16)代入到方程(2.15)中,通过比较ε0的系数得

假设φ0具有下列形式的分离变量解

其中A(X,T)表示Rossby波的振幅,把方程(2.18)代入方程(2.17)中得Φ0满足

由于函数p(y)的未知性,所以从本征值问题(2.19)和(2.20)来确定本征函数Φ0和本征值c0的精确解是比较困难.为了确定Rossby波振幅A(X,T)的数学演化模型,继续比较ε的系数得

假设φ1具有下列形式的分离变量解

通过分析,还不能从方程(2.23)中确定Rossby波振幅的演化规律所满足的数学模型,需要提高精度,继续比较ε2的系数得

其中

把(2.18)和(2.22)式代入(2.25)式中,并利用(2.19)和(2.23)式得

利用本征函数的正交性和消奇异条件

可以得到Rossby波的振幅满足下列非齐次mKdV-Burgers方程

其中系数如下

3 求解非齐次mKdV-Burgers方程

下面采用简化的微分变化法求解方程(2.28).假设方程(2.28)具有如下形式的解

为书写简便,同时方程(2.28)的非齐次项记为g(X),即

把(3.1)和(3.2)式代入到(2.28)式得

分别比较(3.3)式中T0,T1,···,Tj−1,···前的系数得由此可得

把(3.4)、(3.5)和(3.6)式代入(3.1)式中,可得方程(2.28)的解

由(3.4)、(3.5)、(3.6)和(3.7)式得,当系数α、β、γ、A0和g(X)确定后,方程(2.28)的解也就确定了,即确定了Rossby波振幅的演化规律.由(3.1)和(3.7)式得A(X,T)的近似解[7]为

假设初始项A0(X)=msechX和非齐次项g(X)=sinnX,由递推关系(3.4)式和(3.5)式应用Maple数学软件得

把(3.9)和(3.10)式代入(3.8)式中,方程(2.28)的近似解就即可确定.从(3.4)、(3.5)式和(3.6)式体现出弱地形效应会对方程解的系数Aj(X),j∈N均会产生影响.进一步得出,在正压模式下底地形效应对Rossby波的振幅起主要作用.

依据初始项A0(X)=msechX和非齐次项g(X)=sinnX,通过(3.9)和(3.10)式方程(2.28)的近似解就可以完全确定.当α=0.5,β=1,γ=1,m=1,n=0.5时,方程(2.28)的近似解的图形如上.从图1和图2可以看出:这种模拟式Rossby波的振幅在随时间的改变而振幅逐渐在增大.波峰和波谷出现的经度位置随时间发生略微改变.

图1 Rossby波的振幅

图2 三个不同时刻的Rossby波的振幅

4 小结

本文从中高纬度含有完整Coriolis力的准地转位涡方程出发,利用时空伸缩变换,得到了描述Rossby波的振幅形态满足的非齐次mKdV-Burgers方程.在推导模型过程中,发现底地形函数B(x,y)=ε3h(X,y),因为这里考虑的是大尺度问题,即ε≪1时,所以底地形函数就表示弱地形效应.当底地形效应彻底消失的时候就是文献[12]的情形.最后对非齐次mKdV-Burgers方程利用简化的微分变换法做近似求解,对影响解的因素做出分析.

通过所得的分析结论,可以看出在理想状态正压模式下底地形效应对Rossby波振幅影响较大.在大气海洋学中,该结论为研究Rossby波在接近地球低层的振幅形态提供了理论依据.