深度分析相似三角形中“1的代换”

孙宇

【摘 要】 相似三角形的应用是初中阶段最重要的解题方法，不仅能简化过程，更能让学生体会到平面几何和代数之间转化的数学魅力，因此，相似三角形在应用的过程中会有很多种不同的“变形”，或者说技巧。其中，“1”的代换是近几年出现的一种比较新的变换技巧，虽然很早就出现，但是理解和运用起来却是让大部分同学望而生叹。无锡中考在2015年和2018年压轴题中出现了这种类型的转化。本篇文章就探讨一下在相似三角形的解答过程中，出现“1”的代换是怎样进行转化的，又是怎样应用的。

【关键词】 相似三角形;“1”的代换;转化

一、对“1”的代换的理解

“1”的代换，顾名思义，就是将题设中多余的“1”进行转化，使其变为更加简单的形式或者变成其他需要的形式。在进行转化的时候，我們就必须要理解这样的“1”是怎样出现在题设中的。如图1所示，在相似三角形（平面几何）中，线段AB上有一点C，因为A、B、C三点共线，则或者是。通过这两个式子，我们可以清晰地看出，题设中的“1”就是通过三点共线进行一些化简得到的。因此，要想将“1”转化，我们通常需要进行的就是移项通分或者分离常数。

二、经典试题的深度分析

例1：如图2，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M。

（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB。

（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形。

①问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围;如果不变，请说明理由。

②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围。

【分析理解】这一题是无锡2015年中考压轴题。第一问很容易出错，默认∠CPM=90°而不自知，再通过直角三角函数等“简便方法”来证明∠ONC=90°。正确的求解方法是过P点作OC的垂线PE，然后再进行求值，可以轻松解决。对第二问第①题，为了方便理解和计算，设OM=x，ON=y，则=。根据题设，我们可以很容易得到“A型”相似，即△NPQ∽△NCO，则===1-，而PQ=OQ=OM=x，OC=6，则=1-，等式两边同时除以x，就可以得到=。对第②题，由题得=·。如图3，分别作出辅助线，利用相似比等于高之比，可以得到==1-，则=1-，从而得到=（1-），0

三、综合分析

根据两道典型例题的分析和解答过程，“1”的代换本质就是利用三点共线的关系，我们需要对其合理、巧妙地进行通分或者分离常数。在相似三角形的综合性几何图形类题型的解答过程中，我们需要抓住“题眼”，对数据进行一些必要的处理，才能够找到一些明晰的思路，从而寻求到突破口。在解答综合性问题的过程中，要对数学思想方法进行激活与运用，不能过于关注“述”，而轻视“法”、忽略“道”，要理解题目中的本质结构，这样才能真正做到一通而百通。

【参考文献】

[1]董磊.数学思想方法的价值和意义[J].中学数学教学参考（中旬），2018（10）：46-48.

[2]包丽鸥.解法对比重在求“深”求“透”[J].中学数学教学参考（中旬），2018（6）：37.