论数形结合思想在初中数学勾股定理教学中的渗透与应用

陈莲妹

摘 要：华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”在本文中，笔者以勾股定理的教学为例，探讨数形结合思想在初中数学教学中的渗透途径与应用策略。

关键词：数形结合; 初中数学; 勾股定理

中图分类号：G633.6            文献标识码：A      文章编号：1006-3315（2020）7-019-001

勾股定理是初等几何领域的重要定理，是数学家利用代数思想来表述和解决几何问题的伟大尝试。

一、以“课前导入”教学环节为平台渗透数形结合思想

好的课前导入不仅活跃课堂氛围，还能引发学生思考。在勾股定理教学中，教师采用故事导入与问题导入相结合的方式，实现数形结合思想的渗透。具体教学设计如下：

首先，教师在大屏幕上呈现著名的“毕达哥拉斯定理图片”，让学生观察图片中三个正方形的面积关系，以及三个正方形组成的三角形的三边关系。到目前为止，无论是正方形的面积还是三角形的三边在学生的头脑中都只是直观的印象，学生的思维停留在“图”的阶段;其次，教师大概讲述毕达哥斯拉通过观察朋友家的地砖图案发现了直角三角形三边之间特殊的数量关系的故事。在故事的启发下，学生的头脑中开始建立“图”与“数”的关系，萌生数形结合的想法;再次，教师要求学生再次观察图形，并尝试利用数量关系，论证三个正方形的面积关系。于是，学生开始尝试通过“数数法”或者“割补法”来建立两个小正方形与一个大正方形之间的面积关系式，并得出“两个小正方形的面积和等于大正方形面积”的结论。通过上述教学设计，教师引导学生在“形”中发现“数”的关系，再由“数”的关系判断“形”的类型，从而以课前导入环节为平台，实现数形结合思想的渗透与应用。

二、以“新知呈现”教学环节为平台渗透数形结合思想

在勾股定理的新知呈现环节，教师可以进行以下教学设计：

首先，在新情境中提出新问题。在课前导入环节，学生已经通过数形结合思想的运用，初步掌握了等腰直角三角形的三边关系。在此基础上，教师为学生呈现教材中的“网格图”，让学生分别计算网格图中三个正方形的面积。在计算大正方形面积的时候，学生会用到“割”和“补”两种方法。这种方法的本质在于通过图形的变化将未知的“数”变成已知的“数”，体现的是“以形求数”的思想;其次，在新问题中展开新思考。教师要求学生观察三个正方形组成的直角三角形的类型，并要求学生根据正方形面积的关系，总结直角三角形的三边关系。学生通过观察图形，判断这是一个普通的直角三角形。再通过分析正方形面积的关系式，对于自身观察的结果加以验证，并得出“两条直角边的平方和等于斜边的平方”的结论。教师利用大屏幕，对于网格图中的三个正方形的位置进行调整，又随机围成一个直角三角形，要求学生再次利用“割补法”求直角三角形的三边关系式，并由此推出勾股定理的公式。教师通过上述教学设计，巧妙地将数形结合思想融入到新知呈现环节，不仅引导学生通过自己的观察、思考、验证与反思实现新知识的体验与建构，体现了学生的主体地位，也使学生掌握了利用“数”与“形”的互相转换来解决问题和论证问题的方法，培养学生的数学思维。

三、以“习题讲练”教学环节为平台渗透数形结合思想

教学改革视域下的初中数学教学中倡导“讲练结合”的教学理念。例如在勾股定理的课堂练习中，有如下习题，教师可以通过该题的讲练，引导学生利用数形结合思想解决同类问题：学校的旗杆被台风折断了。通过丈量得知，旗杆折断的部位与地面的距离为9米，旗杆顶部掉落的位置距离旗杆底部12米，请问旗杆原本的高度是多少？

这是一道文字叙述题，如果学生将文字中的数量关系体现在图形当中，就能够很快发现，“旗杆底部到旗杆顶部掉落的位置”“旗杆断裂的位置到旗杆底部的位置”“旗杆断裂的位置到旗杆顶部掉落的位置”三条线围成的恰好是一个直角三角形，而运用“勾股定理”，则能够迅速求解出答案。可见，以“习题讲练”教学环节为平台渗透数形结合思想，是一种十分有效的方式。

四、以“课后实践”教学环节为平台渗透数形结合思想

在日常教学中，教师应该尽量为学生布置具有生活意义和实践价值的任务，在勾股定理的教学中，教师在生活中寻找到了契机，为学生布置了以下课后实践活动：

小明家有一个育苗棚，为了满足培育要求，现计划在育苗棚上覆盖一层塑料薄膜，已知：棚宽6米，棚高2.5米，棚长10米，请同学们行动起来，帮小明家算一算覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积是多少平方米。

学生们刚开始一筹莫展，棚这么大，要如何计算呢？此时，教师引导学生通过已知条件绘制出相应的示意图，从而寻求解决問题的思路。观察发现育苗棚的示意图是一个三棱柱，它的俯视图和正视图都是长方形，右视图是个直角三角形，其中a、b分别表示这个直角三角形的两条直角边长，c表示这个直角三角形的斜边长，即棚的斜坡长度，d表示正视图中棚的长度，其中棚宽a=6米，棚高b=2.5米，棚长d=10米，通过“棚宽”与“棚高”，运用勾股定理，可算出棚的斜坡长度c的值。再把斜坡长度c与棚长d相乘，即可计算出塑料薄膜的面积。教师通过这种方式，使学生发现勾股定理和“数形结合”在生活实践中的妙用。

综上所述，数学学习与实践中，“数”与“形”的结合与转换往往能够创造奇迹。因此，在初中数学教学中，教师应该尝试以“课前导入”、“新知呈现”、“习题讲练”和“课后实践”等教学环节为平台，实现数形结合思想的渗透与应用，不仅传授学生数学知识，更培养学生的数学思维，锻炼学生的数学实践能力，促进学生数学综合素养的发展。

参考文献：

[1]胡晓伟.贴近课堂主线，促进学生发现——“勾股定理（第1课时）”学程设计与反思[J]中学数学，2014（04）

[2]张海军.略谈《勾股定理》的教学设计[J]中学数学研究（华南师范大学版），2016（09）

[3]孙秀兰.数形结合思想在初中数学中的教学研究及案例分析——以人教版初中数学教材为例[D]伊犁师范学院，2018.

[4]李梦圆，赵泽峰.“数形结合百般好，隔离分家万事休”——在初中数学教学中活用数形结合思想[J]才智，2019（04）