关于用导数研究零点问题的一点思考

摘 要：简单函数的零点问题通常可以通过函数零点的定义或二分法，也可以用数形结合的方法借助函数的图像，结合零点存在性定理判断零点的存在情况。用导数来研究零点问题，就是把函数问题转化为方程根的问题，再转化为两函数的曲线在该区间的交点问题，再用导数研究函数的性质，绘制出大致图像，运用数形结合的思想找出函数图像的交点个数，从而求解函数的零点问题。

关键词：函数;零点;求导;数形结合;交点

函数的零点问题就是研究函数与方程之间的内在关联，培养用函数的眼光看待问题的意识。简单函数的零点问题通常可以通过函数零点的定义或二分法，也可以用数形结合的方法借助函数的图像，结合零点存在性定理判断零点的存在情况。然而事实上，我们常遇到一些较复杂的函数，它们的零点无法求出，图像也无法轻易画出，这时就需要用导数来帮忙，否则就会很难解决所遇问题。

函数的零点问题由于其综合性强，难度大，对能力要求高，体现高考的选拔性，受到近几年来高考出题者的青睐，也是各高校选拔人才的关键压轴题，因此是非常值得关注和研究的重要问题。其综合性体现在与函数有关的许多问题如单调性问题，极值、最值问题、恒成立问题等相结合。用导数来解决函数零点问题的优势在于几乎可以训练到所有高中数学学习中的重要思想方法，如分类讨论，函数与方程，划归与转化，数形结合以及分离参数等数学方法技巧，同时对学生的直观想象素养、逻辑推理素养、数学抽象素养、数学运算素养等也有所提升，符合了新高考的指导方向。

复杂函数的零点问题形式虽多但主要有以下两种情况。

一、 利用导数来判断函数零点的个数

研究的函数在定义域上单调，此类函数的零点通常只有两种情况，要么为零个，要么为一个。

反思方法：研究在整个定义域上单调的函数时，有以下两步：第一步：对函数求导，验证该函数在定义域上的增减情况;第二步，结合零点存在性定理判断零点的存在情况。通常难点在于，在定义域中找到特殊的端点值，使之满足端点值异号。在找值时有一定技巧，要注意总结经验，如常找一些特殊值如0，-1或+1等，或由已知式子来构造。

二、 已知函数零点存在情况求解参数的值或取值范围

（一）已知函数零点存在情况求解参数的值

点评：方法1，在求导后，通过对导数的零点（极值点）的个数的分类讨论，确定函数的单调性并结合零点存在性定理，来确定零点的情况。特别在分类讨论时一定要不重不漏，逻辑连贯，并适时检查范围是否完整。方法2，分离变量，避免了分类讨论，并构造新函数，把函数的零点问题等价转化为曲线交点是否存在的问题，因此需借求导研究新函数的图像性质，体现直观想象的核心素养。特别，在解决图像问题时还用到了极限思想，使問题简洁了不少。此问题的解决看似就是一个函数零点含参问题，其实是由函数极值点，函数单调性，以及恒成立等问题等知识做为理论支撑的一个综合性问题。

函数的零点问题经常在第二问的解决时常需要用到第一问的结论，所以在解决此类问题时一定要结合第一问结论来解决。同时高考中用导数解决函数的零点问题通常都要涉及一些参数的分类讨论，在讨论的过程也是得分点，所以一定要重视分类讨论。该零点问题的解题步骤有以下三步：第一步，把函数零点存在问题转化为求方程根再把方程根的问题转化为两函数曲线交点的问题;第二步，用导数研究函数的性质如：单调性、极值等，画出大致图像;第三步，结合图像求解参数范围。在用导数研究函数零点问题中，常还会遇到一些困难如极值点无法求出等，这时还需要用到一些技巧如多次求导，特值找零点，设抽象根，等价转化，构造新函数等。在上述的例题中有些技巧也有所涉及，有了这些技巧就更加能够把这一类问题把握得更好。

综上所述，用导数研究函数的零点问题，其实是函数与方程，数形结合以及用函数的视角研究问题等思想的呈现。认真花时间来研究这个问题，不仅能帮助突破这一难点，有利于高考中取得佳绩，起到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果，从而提升对函数这一高中重要知识体系的认知水平，同时也有助于提升数学能力和素养，对解决和研究其他相关问题也非常有帮助。

参考文献：

[1]张汝波.利用导数解决函数零点问题探秘[J].新高考：高二数学，2014（12）：36-38.

[2]陈小双.一类零点问题的多角度尝试与探究[J].读写算，2018（6）：168.

作者简介：张柳，福建省三明市，泰宁县第一中学。