不可数集上定义的可数补空间的拓扑性质

黄 瑞

点集拓扑是拓扑学的入门课程，是学生眼中“破次元”难度的课程，这门课程具有高度的抽象性和逻辑性，简单来说就是“不靠计算靠思维”. 教材的安排一般是先给出概念，紧接着是一系列的定理或推论及其证明过程，因此学生对点集拓扑的印象就是枯燥无趣，味同嚼蜡.“ 实例”是点集拓扑教学中的“调味剂”，而通常点集拓扑教材中出现的实例少之又少，主要包括实数空间、实数下限拓扑空间、实数右手拓扑空间、平庸空间、离散空间、有限补空间和可数补空间等，文献［1-6］研究了上述拓扑空间的拓扑性质，文献［7-10］研究了一些较复杂的拓扑空间的拓扑性质. 可数补空间是本科阶段点集拓扑教学过程中的一个重要研究对象和教学实例，本文将系统地研究可数补空间的诸多拓扑性质，并给出什么样的子集是可数补空间中的连通子集、道路连通子集、局部道路连通子集和紧致子集，什么样的序列是可数补空间中的收敛序列等. 需要说明的是文中所有的概念、符号都可见文献［11］，文中不再一一说明.

1 预备知识

定义1［11］X是一个集合，Γ={U⊂X|U'是X中的可数集}⋃{∅}，则称Γ是X的可数补拓扑，称(X,Γ) 为可数补空间.

由定义知，若X是一个不可数集，此时可数补空间X中的开集是∅，X，U'，闭集是∅，X，U，其中U是X中的非空可数子集. 易见此时可数补空间X中既开又闭的子集只有∅和X，从而得到不可数集上定义的可数补空间是连通空间. 若X是一个可数集，此时可数补空间X退化成了一个离散空间，而离散空间的拓扑性质比较简单，故本文讨论的是不可数集上定义的可数补空间的拓扑性质. 值得注意的是可数集包含有限集，故集合X上的可数补拓扑是X上的有限补拓扑的加细［12］，研究了同一集合在粗细拓扑下拓扑性质的比较，从而得到不可数集上的有限补空间和可数补空间的拓扑性质之间的关系.

定 义2［11］设X是一个拓扑空间，若对于∀x∈X和x的任意邻域x，存在x的一个道路连通邻域x使得V⊂U，则称拓扑空间X是局部道路连通空间. 若X的子集Y作成的子空间是局部道路连通空间，则称Y是拓扑空间X的局部道路连通子集.

引理1 设U是可数补空间(X,Γ) 中的任意点x的任意邻域，其中X是不可数集，则U是x的开邻域.

证明U是可数补空间(X,Γ) 中x的邻域，则存在非空开集V满足x∈V⊂U，从而U' ⊂V'（可数集），故U'也是可数集，从而U'是闭集，故U是x的开邻域.

引理2 设A是可数补空间(X,Γ) 中的子集，其中X是不可数集，则

（1）若A是不可数集，则d(A) ==X；

（2）若A是可数集，则d(A) = ∅，=A.

证明（1）假设存在x0∈X，x0∉d(A)，则存在x0的邻域U0满足U0⋂(A- {x0}) = ∅，由引理1 知U0是可数补空间(X,Γ) 中的非空开集，从而A- {x0} ⊂U0'（可数集），这与A是不可数集矛盾，故d(A) =Aˉ=X.

（2）任意x∈X,(A- {x})'是x的开邻域，满足(A- {x})' ⋂(A- {x}) = ∅，即x∉d(A)，故d(A) = ∅，再由可数集A是闭集，直接得到=A.

顺便指出，利用A∘=A',∂(A) =Aˉ⋂A'-和引理2 可得A是不可数集时，

A是可数集时，A∘= ∅，∂(A) =A.

引理3 设U，V是可数补空间(X,Γ) 中的非空开集，其中X是不可数集，则U⋂V≠∅.

证明 若U，V中有一个是X，结论显然成立.

下设U，V都不是X，则可设U=X-U0，V=X-V0，其中U0,V0是(X,Γ) 中的非空可数集，U ⋂V =X- (U0⋃V0) 是不可数集，结论成立.

事实上，不可数集上的可数补空间中的非空开集与不可数子集的交也是非空的.

引理4 设(Y,Γ|Y) 是可数补空间(X,Γ) 的子空间，其中X是不可数集，则

（1）Y是X的可数子集时，(Y,Γ|Y) 是离散空间；

（2）Y是X的不可数子集时，(Y,Γ|Y) 是可数补空间.

证明（1）Y是X的可数子集时，(Y,Γ|Y) 是(X,Γ) 的闭子空间，设A是(Y,Γ|Y)的任意子集，则可 数 集A是(X,Γ) 中的闭集，从 而A是 闭 子空间(Y,Γ|Y) 的闭集，故(Y,Γ|Y) 是离散空间.

（2）Y是X的不可数子集时，(Y,Γ|Y) 中的开集为∅,Y,(X-U) ⋂Y=Y-(U⋂Y)，其中U是(X,Γ) 中的非空可数集，从而U⋂Y是(Y,Γ|Y) 中的可数集，由定义1 知(Y,Γ|Y) 是不可数集上的可数补空间.

引理5 设x,y是可数补空间(X,Γ) 中的任意两个不同的点，其中X是不可数集，则在(X,Γ) 中不存在从x到y的道路.

证明 假设存在连续映射f:[ 0,1] →X，且f(0) =x,f(1) =y. 令A是[ 0,1] 中有理数的全体作成的集合，则f(A) 是X中的可数子集. 又f的值域f([ 0,1]) 是可数补空间(X,Γ) 中的连通子集，故f([ 0,1]) 必是X中的不可数子集，从而得到f(A) ⊆f([ 0,1]) ⊂X.

令X-f(A) =U，则U是(X,Γ) 中的开集，易见f-1(U) =f-1(X) -f-1(f(A)) ⊂[ 0,1]-A，即f-1(U) 是[ 0,1] 中无理数的全体作成的集合，故f-1(U) 不是[ 0,1] 中的开集，这 与f连 续矛盾，从而在(X,Γ) 中不存在从x到y的道路.

引理6 设Λ 是拓扑空间X的一个开覆盖，若存在A∈Λ，满足A'是X中的可数集，则Λ 必存在关于X的可数子覆盖.

证明 设x是可数集A' 中的任意一个点，则存在Ax∈Λ,x∈Ax.

令Λ∗= {A} ⋃{Ax∈Λ|x∈A',x∈Ax}，则Λ∗是Λ 关于X的可数子覆盖.

引理7 设{xi}i∈ℤ+是可数补空间(X,Γ) 中的任意序列，其中X是不可数集，则

（1）该序列不可能收敛到序列之外的点；

（2）令{xi}i∈ℤ+中的点作成的集合是A，易见(A- {xk})'是xk的开邻域，故存在M∈ℤ+，当i>M时，有xi∉A- {xk}，即xi=xk.

引理8 已知拓扑空间X不是紧致空间，Λ是拓扑空间X的任意开覆盖，则

（1）若Λ 是有限开覆盖，则存在X的有限开覆盖Ω 是Λ 的加细；

（2）若Λ 是无限开覆盖，则不存在X的有限开覆盖Ω 是Λ 的加细.

证明（1）只需取Ω = Λ 即可.

（2）假设存在X的有限开覆盖Ω ={B1,B2,…,Bn} 是Λ 的加细，则任意的Bi∈Ω，存在Ai∈Λ，使得Bi⊂Ai,i= 1,2,…,n.

令 Λ∗= {Ai∈Λ|Bi⊂Ai,i= 1,2,…,n} ，则Λ∗是Λ 的有限子覆盖，故拓扑空间X的任意开覆盖都存在有限的子覆盖，这与拓扑空间X不是紧致空间矛盾，结论得证.

2 主要结论

2.1 连通性

定理1 不可数集上的可数补空间是连通空间，且它的连通子集是空集，单点集和不可数子集.

证明 设拓扑空间X是不可数集上定义的可数补空间，由定义1 知可数补空间X中的开集∅，X，U'，闭集是∅，X，U，其中U是X中的非空可数子集，故拓扑空间X中既开又闭的子集只有∅和X，从而可数补空间X是连通空间. 由引理4 知可数补空间X中的不可数子集作成的子空间是不可数集上的可数补空间，包含多于一个点的可数子集作成的子空间是离散空间，故可数补空间X的连通子集是空集，单点集和不可数子集.

定理2 不可数集上的可数补空间是局部连通空间.

证明 由定理1 知不可数集上的可数补空间的每一个开集都是连通的，故不可数集上的可数补空间是局部连通空间.

定理3 不可数集上的可数补空间不是道路连通空间，且它的道路连通子集只有空集和单点集.

证明 设拓扑空间X是不可数集上定义的可数补空间，由引理5 知可数补空间X不是道路连通空间. 由引理4、引理5 知不可数子集和包含多于1 个点的可数子集都不是道路连通子集，故拓扑空间X的道路连通子集只有空集和单点集.

定理4 不可数集上的可数补空间不是局部道路连通空间，且它的局部道路连通子集是可数子集.

证明 设拓扑空间X是不可数集上定义的可数补空间，由引理1 和定理3 知可数补空间X中的任意一点都不存在道路连通的邻域，故不可数集上的可数补空间不是局部道路连通空间.

由引理4 和定理4 的上面的证明知可数补空间X中的不可数子集不是局部道路连通子集，可数子集作成的子空间离散空间是局部道路连通空间，从而得到可数补空间X的局部道路连通子集是可数子集.

2.2 可数性公理

定理5［11］不可数集上的可数补空间不是A1空间，从而也不是A2空间.

定理6 不可数集上的可数补空间是Lindelӧf 空间，但不是可分空间.

证明 由引理6 知不可数集上的可数补空间的任一开覆盖必定存在可数的子覆盖，故不可数集上的可数补空间是Lindelӧf 空间. 再由引理2 知不可数集上的可数补空间的稠密子集只能是不可数集，因此不可数集上的可数补空间不是可分空间.

2.3 分离性公理

定理7 不可数集上的可数补空间是T0，T1空间，但不是T2，T3，T3.5，T4，也不是正则空间、正规空间、完全正则空间.

证明 设拓扑空间X是不可数集上定义的可数补空间，由定义1 知可数补空间X的每一个有限集都是闭集，故可数补空间X是T1空间，从而也是T0空间.

由引理3 知可数补空间X不满足定理中其他的分离性公理.

2.4 紧性

定理8 不可数集上的可数补空间不是列紧空间.

证明 由引理2（2）知不可数集上的可数补空间中存在着无限可数子集没有聚点，因此不是列紧空间.

定理9 不可数集上的可数补空间不是序列紧致空间.

证明 由引理7 知在不可数集上的可数补空间中，若序列中的点两两互不相同，则该序列不存在收敛的子列，因此不可数集上的可数补空间不是序列紧致空间.

定理10 不可数集上的可数补空间不是可数紧致空间，从而也不是紧致空间.

证明 设拓扑空间X是不可数集上定义的可数补空间，x1,x2,x3,…是可数补空间X中两两互不相同的点，令Ai= {xi,xi+1,xi+2,…},i=1,2,3,…，则Ai'是 可 数补 空 间X中 的开 集，且于 是{A1',A2',A3',…}是可数补空间X的一个可数的开覆盖，显然这个可数的开覆盖没有有限的子覆盖，故可数补空间X不是可数紧致空间，从而也不是紧致空间.

值得注意的是，由各种紧性之间的相互蕴含关系［13］和定理8 可直接得到定理9 和定理10 的结论.

定理11 不可数集上的可数补空间的紧致子集是有限集.

证明 设拓扑空间X是不可数集上定义的可数补空间，由引理4 和定理10 知可数补空间X的不可数子集不是紧致子集. 又可数补空间X的可数子集作成的子空间是离散空间，而只有包含有限个点的离散空间才是紧致空间，故可数补空间X的紧致子集是有限集.

定理12 不可数集上的可数补空间不是局部紧致空间.

证明 由引理1 和定理11 知不可数集上的可数补空间中的任意点都不存在紧致的邻域，因此不可数集上的可数补空间不是局部紧致空间.

定理13 不可数集上的可数补空间不是仿紧致空间.

证明 设拓扑空间X是不可数集上定义的可数补空间，Λ 是拓扑空间X的任意开覆盖，由引理1，引理3 知可数补空间X中的任一点的任一邻域都与Λ 中的非空开集有非空的交，即可数补空间X的局部有限开覆盖只能是可数补空间X的有限开覆盖. 再由定理10和引理8（2）知可数补空间X的无限开覆盖不存在有限开覆盖是它的加细，从而可数补空间X的无限开覆盖不存在局部有限的开覆盖是它的加细，故可数补空间X不是仿紧致空间.

2.5 可数补空间与有限积空间和商空间

定 理14 设(X1,Γ1),(X2,Γ2) 是可数补空间，(X,Γ) 是它们的积空间，则

（1）若X1,X2是可数集，则积空间X是离散空间；

（2）若X1,X2是不可数集，则积空间X不是可数补空间；

（3）若X1,X2中有且只有一个是不可数集，则积空间X不是可数补空间.

证明（1）X1,X2是可数集时，由定义1 知(X1,Γ1),(X2,Γ2) 是离散 空 间，故积空 间(X,Γ)也是离散空间.

（2）设A1,A2分 别 是(X1,Γ1),(X2,Γ2) 中 的非空可数子集，则由积空间的定义知(X1-A1)×(X2-A2) =X-A1×X2-A1'×A2=X- [(A1×X2) ⋃(A1'×A2)] 是积空间X中的开 集，但(A1× X2) ⋃(A1'×A2) 是X中的不可数集，故积空间X不是可数补空间.

（3）不妨设X1是可数集，X2是不可数集，则(X1,Γ1) 是离散空间. 设A1,A2分别是(X1,Γ1),(X2,Γ2) 中的非空真子集和非空可数子集，则由积空间的定义知

A1× (X2-A2) =X-A1'×X2-A1×A2=X- [(A1'×X2) ⋃(A1×A2)] 是积空间X中的开集，但(X1,Γ1) 是X中的不可数集，故积空间X不是可数补空间.

定理15 设(X,Γ) 是可数补空间，则

（1）若X是可数集，则(X,Γ) 的任意商空间都是离散空间；

（2）若X是不可数集，则(X,Γ) 的商空间未必是可数补空间.

证明（1）X是可数集时，由定义1 知(X,Γ)是离散空间，故(X,Γ) 的任意商空间都是离散空间.

3 结语

通过对不可数集上的可数补空间的邻域、子空间、道路、序列收敛和开覆盖等问题的讨论，文章系统地研究了不可数集上定义的可数补空间的拓扑性质，包括诸多连通性质、有关可数性的公理、分离性公理、诸多紧致性质. 另外，文中还讨论了可数补空间的子空间、有限积空间和商空间. 顺便指出不可数集上的可数补空间不是可度量化的拓扑空间，至于此拓扑空间的其他性质仍需进一步研究.