思维破局：从“一个数”走向“任意数”

刘晓萍

摘要：从考查数学史以及评估学习效果两个方面，都可以看出学生认识“用字母表示数”是一件困难的事情。利用历史上智力突破的路径和学生理解的水平层次，助力学生思维破局：从“一个数”走向“任意数”。分四个环节设计教学活动：突出“代”，凸显“系”，解析“值”，感悟“变”。以此实现“用字母表示数”的教育价值：培养符号意识，启蒙代数思维。

关键词：用字母表示数 认知困难 符号意识 代数思维

“用字母表示数”是小学阶段代数初步知识的起始，也是初中数学两大核心内容——“方程”与“函数”的开篇，标志着从算术学习到代数学习的转向。张奠宙教授曾经指出，一线教师对“用字母表示数”的教与学大多没有深究，所以引导大家探讨：“当下，‘用字母表示数这一内容的教学中存在的困惑与难点是什么？这个内容到底要教什么？怎么教？”“为什么要教学‘用字母表示数，其教育价值在哪里？它背后蕴含着怎样的数学思想方法？”笔者尝试对其做一番探讨。

一、认知困难

首先尝试回答“这一内容的教学中存在的困惑与难点是什么？”的问题。我们可以从以下两个方面解读。

（一）基于数学史的考查

在数学发展的初期，人们已经有了用字母表示数的需求，可是，人们始终用文字来解决待定的问题。我们称之为“修辞代数”阶段。例如，《莱因德纸草书》（约公元前17世纪）的第31题：“一堆东西先加上它的23，再加上它的17以及它的12，其结果是33，这堆东西是多少？”题目中的“一堆东西”，古埃及人用一个象形文字来注释。再如，古希腊的欧几里得（公元前3世纪）由于不会使用2a1+2a2+2a3+…+2an=2（a1+a2+a3+…+an）的样式，所以，证明《几何原本》中的命题21“如果将几个偶数相加，那么它们的和是偶数”时，只好用极其冗长繁杂的原始定义加上几何语言来循环说明。

3—16世纪，从古希腊丢番图的《算术》一书开始，数学家们用相应词语的缩写字母表示未知数。但是，他们使用符号表示的是具体的某个量，而不是一般的某些量。至此，数学发展到了“简略代数”时期。我国宋朝数学家李冶，在算筹旁注上“元”表示未知数，注上“太”表示常数，也属于“简略代数”的范畴。

1591年，法国数学家韦达在其著作《分析论》中使用了字母表示任意数或一类数，标志着“符号代数”的诞生。这样，《算术》中的问题就有了一般性的解答。例如：“已知两个数的和与差，这两个数分别是多少？”丢番图的解法是：“设两数之和为100，两数之差为40，较小的数为ζ，那么较大的数是40+ζ，则有2ζ+40=100，求得ζ=30。”当然，这里的符号“ζ”可以换成今天的“x”。韦达的解法则是：“设两数之和为x，两数之差为y，较小的数为a，那么较大的数是a+y，则有2a+y=x，求得a=x-y2。同理，设较大的数为b，那么较小的数是b-y，则有2b-y=x，求得b=x+y2。”所以，韦达总结性地写道：“在这里，我们用一种技巧来帮助我们区别已给的量和所求的或未知的量。这就是一种永久性质的易于理解的符号体系。”

回眸上述“用字母表示数”的历史进程，可以发现，认识“用字母表示数”其实是一个艰难的过程。正如M.克莱因指出的：“在韦达、笛卡儿之前的数千年里，没有一个数学家认为字母可以表示任意数。”人类用了数千年的时间，才在智力上解决了抽象出来的数不够用的尴尬。而历史上数学家们遭遇的困难往往会再现在学生的学习过程中。

（二）基于学习效果的评估

汪晓勤和蒲淑萍通过问卷调查了上海市七年级的学生，结果表明学生对字母的认知能力基本上停留在“未知量”和“数的记号”的层次，而对字母可以表示“任意数”的意义存在认知障碍。虞琳娜调查了部分五六年级的学生，发现他们大多处于“理解用字母表示一个具体数字”的水平，几乎无法理解字母可以表示“任何数”。薛文叙通过课堂观察和当面谈话的方式，发现小学生学习了“用字母表示数”之后，虽然不难理解字母可用于表示一些明显的规律，但是，解题时仍然依赖于文字叙述的方式，并不理解字母可用于表示“一类量”。这些研究都表明学生理解用字母表示“任意数”或“一类量”，存在着很大的困难，即不能将字母理解为推广的数字，不能理解字母作为变量，仍然将字母看作特定的数字。

其次，学生对运算结果中保留字母感到不安。他们常常生出这样的疑惑：数字和字母怎么好相加呢？就算好相加，那么结果是多少呢？如果结果是3a+4，那不等于没有做吗？因为在学生以前的学习中，计算结果总是一个确定的值;哪怕有一个不确定的值，也只是用一个单独的字母（如a）或字母的倍数（如3a）表示。对此，考利斯在研究中指出：“在大多数小学生眼里，未知數相当于一个‘空盒子，在里面填上适当的数，使等号两边相等。一般只有到了十二三岁的样子，才能真正理解未知数可以像自然数一样参与运算。”

另外，许多一线教师的教学经验表明，学生进入初中后，式的运算和用方程描述数学问题一直困扰着他们，这也是他们对数学逐渐丧失信心的原因之一。

以上结论都暗合英国CSMS（Concept in Secondary Mathematics and Science，中学数学与科学中的概念）数学研究小组在20世纪70年代对初一学生调查的结果：（1）对于“a的3倍和4相加，和是多少？”，能够回答出“3a+4”的学生只有36%;（2）对于“若c+d=10，且c

分析以上研究成果，可以得出，学生对“用字母表示数”的理解，从表示“一个数”跨越到表示“任意数”，有着多个水平层次：水平1，一看到字母，就直接赋予它一个数字值;水平2，把字母看作特定的未知数，可以直接提取答案，其注意力集中在物理上变化的量;水平3，把字母看作广义的有着明显规律的数，可以取多个值;水平4，把含有字母的运算符号看作计算的值或特定的量予以推广;水平5，把字母看作变量，反映某种等价关系。

综上，对认识“用字母表示数”，将人类历史上共同面临的困难和学生学习过程中遭遇的障碍概括起来如下：（1）不适应字母的抽象性和形式化。由于“代数”经过了多级抽象，学生已经不能像掰手指那样去模拟符号操作了。（2）不能熟练地运用代数的符号表征系统和形式规则。在学习“用字母表示数”的过程中，学生要面临口语、阅读和书写三种挑战。（3）从算术思维过渡到代数思维涉及观念的转变。例如，学生会认为若3x=24，则x=4;再如，算术中“3+2”的结果是5，而代数中“x+2”本身就是最后的结果。（4）不理解代数的结构。要洞悉字母符号背后的结构，要将“过程”内化和压缩为“对象”，而学生习惯于在“过程”的层面操作具有一定特征的“对象”。

二、教学改进

接着尝试回答“这个内容到底要教什么？怎么教？”的问题。无疑，历史上每一次智力突破的路径，都是教师助力学生思维破局（从“一个数”走向“任意数”）的范式。结合上文得出的学生理解的水平层次，我们可以分以下四个环节设计教学活动：

（一）突出“代”

活动1：比记录。

教师口头报出：一个数的3倍加上7，和是13。学生以多种方式记录：（1）“一个数的3倍加上7，和是13”;（2）“一个数×3+7=13”;（3）“？×3+7=13”;（4）“（2）×3+7=13”。当教师把这些记录方式一起展示给学生时，学生一下子就感受到了记录水平的高低，从而自觉地用符号简化表达，同时积累符号可以代替特定的未知数的经验。

活动2：摆三角形。

教师引导学生用小棒摆出1个、2个、3个、4个三角形，写出1×3、2×3、3×3、4×3来表示需要几根小棒。教师追问：算式表示的意思一样吗？学生思考发现写出再多类似的算式，也只能表示其中的一种摆法，同时强烈地感受到这是一组有规律的算式。其中，小棒的根数随着三角形个数的变化而变化，而“3”是一个不变的数，这是一组关于“求几个3的和”的算式。教师继续追问：你可以用哪个算式表示用来摆三角形的小棒数呢？学生说着说着，就发现用自然数无法应答了，非用“a×3”的形式不可。这样，用字母代替不确定数的认知需求就被激发出来了。

至此，学生可谓实现了水平1、水平2层次的理解，其算术思维与代数思维实现了初步对接。同时，学生在活动1对“代”的解释中，领悟到一个具体的未知数可以通过试错甄别，但不如先用字母代替，再利用某种联系直接计算;在活动2非“代”不可的碰撞中，领悟到数说的是某一件事，而字母说的是任意一件事，它可以囊括数所说的某一件事。而且，经历了“代”与非“代”不可的数学思考，学生既适应了用字母表示的形式，又为用字母表示数的后续几个水平层次的理解积累了思维经验。

（二）凸显“系”

1. 延展活动2的情境：联想其他。

教师继续发问：“a×3”除了表示摆不确定的几个三角形需要几根小棒，你还能想到什么？把话语权还给学生后，他们的思维在彼此的交锋中就有了空间感：“1×3、2×3、3×3、4×3写不尽这个规律，可以用‘……表达照这样摆下去。而‘a×3不但可以表示照这样摆下去，还可以表示‘……之前的摆法。”“当a是6的时候，就意味着用去了18根小棒;当用去了30根小棒的时候，就意味着a是10。”“读读2×3、a×3这两个式子，它们本质上没有区别，是依据相同的数量关系而生成的式子。不过，就像第一位同学所说的那样，a×3概括了数量关系中所有的情况。也就有了第二位同学所说的正反两种情形：利用每个图形的小棒数量×图形个数=总的小棒数量，在知道图形个数时，正推，即由a=6知a×3=18;在知道总的小棒数量时，反推，即由a×3=30知a=10。”

2. 改变活动2的情境：摆正方形。

教师直接出示：摆（）个正方形用了（）根小棒。学生填空后，教师引导学生思考：为什么想到用字母表示？为什么刚才是乘3，而这里是乘4？让学生进一步认识用字母表示数的规则，适应字母的抽象性：在数量关系的支持下，可以舍去真实动作而在头脑中操作。同时，进一步感悟用字母表示数的价值，强化字母的普适性：用字母表示数后，依托数量关系更能洞察规律。

通过延展和改变活动2的情境，水平3层次的理解水到渠成。通过上述联系，学生超越了“数”的动作表征，用数量关系的“想”统一了数与代数，从而实现了卡帕特的观点——代数是算术推理的一般化。

（三）解析“值”

变式1：一堆小棒一共280根，用去（）根，还剩（）根。

学生若回答“用去a根，还剩b根”，则停留在水平2层次的理解上;若回答“用去a根，还剩280-a根”，则接近水平4层次的理解。教师要适时引导学生辨析两种答案，让学生理解前一种答案的缺陷是无法形成唯一性，必須有b+a=280即b=280-a，才符合题目的要求，进而认识到b与280-a意义的辩证性，从而达到水平4层次的理解。

变式2：如图1所示，为什么不同的问题中的

不同的量都可以用“280-c”这个式子来表示？

再次引发学生对“280-c”作为结果的思考，让学生体会到：在代数的世界里，含有字母的式子既表示运算关系，也表示运算后的值。

变式3：如果280-c=20，那么a+（280-c）的结果是多少？如果a=20，那么a+（280-c）的结果是多少？

一个新的表达方法意味着一种新的思维样态。当学生把“280-c”作为计算的值或特定的量予以推广时，就真切地领会了代数的基本特点：在表现形式上，属于基于符号的操作;在思维形式上，是一种基于规则的推理。

（四）感悟“变”

回到变式1，一堆小棒一共280根，用去a根，还剩280-a根。答案中的a可以换成c吗？学生依据现实场景，很容易理解用去的越多，剩下的就越少，剩下的总是等于280减用去的，而将a用c取代，数量关系依然相同。所以，“用去a根，还剩280-a根”与“用去c根，还剩280-c根”等价。

回到活动2，“a×3”概括了摆三角形的情形，这样的情形可否用b概括？显然，只有当b=a×3时，才可以用b概括。由此，可以引发学生思考：b=a×3表达的其实也是每个图形的小棒数量×图形个数=总的小棒数量，b的大小随着a的变动而变动，而且，b总是a的3倍，即b与a的商是定值3。

回到前知，长方形的面积公式是怎样简洁表达的？联系今天所学的，对这个公式有没有新的理解？这时，重新阐释长方形的面积公式S=a×b，静态的式子便在思考中呈现出动态的画面感：a一定，S随着b变大而变大、变小而变小;b一定，S随着a变大而变大、变小而变小;再复杂一点，S一定，a与b的大小变化呈相反趋势。

三次回到之前的学习内容，让学生加深理解字母符号是一般化的数，同时，感悟到字母符号可以表示变量，变量具有多种等价形式，从而达到水平5层次的理解，即突破对代数结构的认知困难。

当然，除了上述四个环节的教学活动之外，课堂上还应该适时地介绍数学史，让学生进一步体会到以多种方式表达数的好处，认识到用字母表示数的价值，在情感态度上对理性精神产生认同。

三、教育价值

在教学改进的考量中，自然就产生了对“为什么要教学‘用字母表示数，其教育价值在哪里？它背后蕴含着怎样的数学思想方法？”的顿悟。

（一）培养符号意识

“符号意识是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律，知道使用符号进行运算和推理，得到的结论具有一般性。”如果能运用正确的符号表现出自然的语言和资料，便可以有效地解决真实世界的许多问题。所以，培养符号意识，要让学生理解符号的使用是科学表达和逻辑思考的重要抓手。所以，教学过程中让学生使用数学符号，重点不是为了让他们记录所了解的事物，而是促使他们进一步建构自己的想法。符号意识的培养，终究是学生自己数学活动的产物。

学生在用字母符号进一步建构自己想法的同时，也悄然培养了抽象能力。对于学生来说，从具体事物的“量”抽象出“数”是认识上的一个飞跃，但现在确定的“数”无法计数了，亟须打破原有的识数路径，寻找新的概念介入，“代数”便应运而生了：字母通过“脑”来表示未知数、可变数、任意数。

（二）启蒙代数思维

我国著名数学家吴文俊教授说过：“对于鸡兔同笼之类的许多四则难题，若用代数方法来做，就会变得非常容易。尽管这些四则难题制造了许许多多的奇招、怪招，但是它们跑不远、走不远……所以四则难题用代数取而代之，是完全正确的，对于数学教育是非常重要的。”是的，算术方法是一题一法，而代数方法则是一种通法，其核心是一般化思想。在小学让学生接触一点代数初步知识，能够打破算术思维的定式，为中学系统学习代数知识做好必要的准备，避免思维方法上的脱节和不适应，有利于中小学数学学习的衔接。

学习“用字母表示数”时，学生能够感知：未知量可以作為操作对象;代数运算的目的不是像算术那样获得一个确定的数的结果，而是形成表达式。学生在更新观念的同时，可以丰盈代数思维。

总之，学习“用字母表示数”，因为抽象的升级，需要学生突破固有的认识与思维并获得“符号意识”与“代数思维”。于是，笔者遵循学生的学习心理，在学生的认知困顿处，以实物操作引发代数的需要，以表象操作关联字母符号是基于数量关系而来的，以符号操作分析字母可以作为结果，反映了字母作为变量其实表达了任意数的抽象扩展结构，从而沿着理解的水平层次，帮学生拾级而上，让学生跨越式地领会数学家们数千年的探索。

本文系江苏省教育科学“十三五”规划2018年度重点自筹课题“基于学科关键能力发展的数学核心内容教学设计研究”（编号：Bb/2018/02/07）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018.

[2] 汪晓勤，樊校.用字母表示数的历史[J].数学教学，2011（9）.

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[4] 张奠宙，孔凡哲，黄建弘，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2010.

[5] 吴文俊.数学教育现代化问题[C]//《21世纪中国数学教育展望》课题组.21世纪中国数学教育展望（第一辑）.北京：北京师范大学出版社，1993.

[6] 张奠宙，戴再平，唐瑞芬，等.数学教育研究导引[M].南京：江苏教育出版社，1994.