三角形边长与面积间的几个不等式

广东省中山纪念中学 (528454) 邓启龙

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,p为半周长,由海伦公式知

首先给出本文要用到的引理.

接下来给出三角形的边长与面积之间的不等式.

1.三角形的三边长的和、积、平方和与面积之间的不等式链

结论1给出三角形的周长,三边长的积,平方和与面积之间的不等式.由结论1可得:周长(三边长的积,平方和)为定值的三角形中,正三角形的面积最大;面积为定值的三角形中,正三角形的周长(三边长的积,平方和)最小.

2.三角形的三边长的线性平方和与面积之间的不等式

结论2x,y,z>0,xa2+yb2+zc2≥

3.三角形的三边长的高次代数式与面积之间的不等式链

三角形的三边长的高次代数式与面积之间的不等式,可通过降次后利用结论1和结论2得到.下面给出三角形的三边长的三次代数式与面积之间的不等式链.

下面结合例题说明结论中的不等式在三角形中的应用.

例1 △ABC的三边长分别为a,b,c,若a2+2b2+c2=40,求△ABC面积的最大值.

(1)求a2b+b2c+c2a的最小值;

(2)求a4+b4+c4的最小值.

(2)由均值不等式和结论1得a4+b4+c4≥

(1)求ab+bc+ca的最小值和a3+b3+c3的最小值;

(2)若ab+bc+ca=12,求a3+b3+c3的值.

(2)若ab+bc+ca=12,由(1)可得,此时a=b=c=2,得a3+b3+c3=24.

本文利用均值不等式,柯西不等式以及排序不等式,得到了三角形的边长与面积之间的不等式链.利用这些丰富的不等式,可以有效解决有关三角形的边长与面积的最值问题,为解决此类问题提供了简单快捷的方法.