探究一道极值点偏移问题*

江西省赣州市第三中学 (341000) 张晓辉 廖暑芃

一、考题呈现

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1

这是江西省红色七校2019年10月高三联考理22题，题面简洁，内容丰富，立意新颖，着重考察函数极值点偏移问题.题目以函数为背景，设问由浅入深，逐步推进，考察函数的单调性、最值及极值点偏移问题，体现了转化化归、数形结合等思想.问⑵解题入口宽，逻辑性强，淡化解题技巧，注重数学核心素养的考察，符合当前高考的命题方向.笔者对问⑵提出一些探究，供读者参考.

二、解法探究

思路一:构造一元差函数(原解)

证明：由(1)知02.

结合①②得x3-x1<4.

思路二:构造对称性一元差函数

证明：由(1)可得02.

评析:极值点偏移问题是近年各类考试中常见的一种题型，其基本的形式是x1+x2m或x1·x2m等.要证明x1+x2>2，只需证明x1与2-x2的关系即可.而x1与2-x2的关系可以通过f(x)的单调性判定，其思路可以视为双变量问题的减元构造，两个变量之间的关系是根据两函数值相等进行构造.构造对称性(一元)差函数是解决极值点偏移问题的通法，其一般步骤为：⑴通过函数f(x)的极值点x0构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x)或F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；⑵判断函数F(x)单调性得出f(x2)与f(2x0-x1)的大小关系；⑶根据f(x)单调性得到x2与2x0-x1的大小关系，从而得到结论.

思路三: 利用ln2≈0.69，75=16807>16384=214

评析:目标明确，思路清晰，对放缩的尺度要求极高，难度之大，让人望而生畏，极易半途而废.

思路四:齐次化设参

评析:用x1,x2构建目标函数，通过增量换元，构造出新的变元，将两个旧的变元都换成新的变元来表示，从而达到消元的目的.由此可见齐次化设参(差值或比值设参)是极值点偏移问题的又一解决策略.

思路五:对数平均不等式

证明：由(1)可得0

评析:运用对数平均不等式求解，是极值点偏移问题的有效解决方法之一.极值点偏移问题，多与指数或对数函数有关，转化的关键几步为：⑴根据f(x1)=f(x2)建立等式；⑵如果等式含有参数，通常先消参；如果等式中含有指数式，则往往先两边取对数，转化为对数式；⑶通过恒变换转化为对数平均数，再利用对数平均不等式进行放缩求解.