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Bokov不等式的高维推广与加强

2020-07-03江苏省盱眙中学211700

中学数学研究(江西) 2020年5期
关键词:欧氏四面体高维

江苏省盱眙中学 (211700) 王 尧

1.引言

1966年E.A.Bokov给出了如下的不等式:

我们把上式称为Bokov不等式.

事实上,在顶点集为{A1,A2,A3,A4}的四面体Ω中,设hi为顶点Ai(1≤i≤4)所对面上的高,r为内切球半径,不难得出

等号成立当且仅当四面体Ω为正四面体.

本文主要是将上述不等式推广到n维欧氏空间Rn中去,并对不等式作系数上的新的推广,同时再给出它们的加强形式.

2.预备知识

定义[4]设Ω为n维欧氏空间Rn中的单形,其顶点集为A={A1,A2,…,An+1},设P为n维欧氏空间Rn中的单形Ω所在空间中的任意一点,d1为点P到Ω的顶点Ai所对的界面的有向距离,又Ai所对界面上的高为hi(1≤i≤n+1),则点P的重心坐标为

3.主要结果及其证明

由Cauchy不等式[2]可得

推论1 在定理1的条件下,分别取n=2,n=3时,有

由拉格朗日恒等式[4]可得

推论2 在定理2的条件下,取λ=n,α=1,即为定理1结论.

再由Jensen不等式[3],则有

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