如何求解圆中的最值问题

福建省福安市第一中学 (355000) 张 忠

圆是最为理想化的平面几何图形，与圆有关的最值问题，可抓住圆的几何特征，利用圆心和半径协助解决，也可以运用代数中求最值的方法解决，下面举例分析.

一、利用圆的性质

例1 已知M是圆(x-2)2+(y-1)2=1上的任一点，N是圆(x+1)2+(y+2)2=9上的任一点，求线段|MN|的最小值和最大值.

解析：由题意，M与N都是动点，但两圆的位置是固定的，即两圆的连心的长是定值，又圆的半径是定值，所以线段|MN|的最小值即为两圆的连心的长减去两半径的长；最小值即为两圆的连心的长加上两半径的长.

评注：欲求线段|MN|的最值，由于M与N都是动点，必须找到两点的极限位置，根据圆的几何特征可知，动点M、N与两圆心在一直线上才能满足题意.

例2 已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积最小值为.

评注：由四边形的面积最小问题转化为两点间距离最小问题，又进一步转化为圆心到直线的距离.

二、运用二次函数

例3 求经过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点且面积最小的圆的方程.

评注：运用圆系方程就可避免二元二次方程组的求解.本题还可以通过分析圆的性质，即以公共弦为直径的圆面积最小，故而所求圆的圆心在弦所在的直线上，将圆心坐标代入直线方程可求出λ解题.

图1

评注：解题中，通过设圆心O到直线l的距离为d，用d表示△ABO的面积S，考察此式的特点，构造二次函数求得最大值.

三、运用基本不等式

图2

评注：本题中，理解“直线平分圆的周长“十分重要，是能否解题的关键，同样，“直线平分圆的面积、弦所对的圆心角为120°”等条件需要从圆的几何性质去思考.