从一题多解到多题一解<br/>——以一类翻折求空间两直线夹角范围问题为例

从一题多解到多题一解
——以一类翻折求空间两直线夹角范围问题为例

2020-06-22浙江省杭州外国语学校310023

中学数学月刊 2020年6期

(浙江省杭州外国语学校 310023)

刘炜 (浙江特殊教育职业学院 310023)

最新版的高中数学新课标中要求教师在教学中要提升学生的数学学科核心素养，即引导学生能从数学的角度看问题,培养学生有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力，强调高中数学课程要以学生发展为本，落实立德树人的根本任务，培养和提高学生的数学核心素养.在数学教学中，“一题多解”是教师常用的方法，通过多角度、多层次地对一道题目进行分析，使学生将数学新旧知识融会贯通，对提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力同样起着重要作用. 但是笔者发现，在实际教学中有的教师纯粹为了一题多解而多解，多解的目的还只是单纯为了这道题目能够解决，没有实现从关注知识本身到关注学生的思维方式转变，让人有“只见树木不见森林”之感.本文以一类翻折求空间两直线夹角范围问题为例，谈谈如何站在更高的角度实现从一题多解到多题一解，从而提高学生的数学素养，达到学科育人的目的.

图1

说明沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，在这个过程中，二面角D′-CA-B的平面角是一个变量，可以寻求直线AC与BD′所成角的余弦值与这个二面角平面角之间的关系，因此需要先作出二面角D′-CA-B的平面角.

许多学生会无从下手，不知道如何寻找直线与直线所成角的余弦的最大值.事实上本题也可建立空间直角坐标系，利用空间向量来解决.

图2

解法2取线段AC的中点O，以OB所在直线为x轴，以OA所在直线为x轴，以平面ABCD的垂线为z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系.

例1虽然是用两种解法解决了，属于一题多解，但是还没有从本质上弄清这道题目的本质.事实上，作DO⊥AC,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，形成了一个以圆O为底，分别以AD，CD为母线的两个圆锥，其中点D′在圆O上运动.作BE∥AC,则直线AC与BD′所成角也就是直线BE与BD′所成角,即是∠D′BE．当点D′在圆O上运动到点N时，直线BE与BD′所成角最小，此时的余弦值最大,此时所成角是∠NBE.问题就转化成了求圆锥旋转轴与动直线所成角的问题.接下来，我们就一起看这一类可以转化为与圆锥有关的动直线夹角的问题.

1 圆锥旋转轴与动直线所成角

先在上面分析的基础上，求解例1.

图3

解法3作OF⊥BE，观察图象知平面ABEC为圆锥的一个轴截面，点A，B，F，E，C，O，M，N，D都在这个轴截面上．

根据辩证唯物论的基本要求，客观分析我国现阶段农业生产的重要资源条件和现实需求，发现水资源条件、种植资源条件、劳动力资源条件与现有的水资源开发利用方式和经济发展方式已经越来越不相适应，现实的灌溉物质条件和发展需求已经悄然发生了改变，这些先天的物质条件或者改变了的物质条件从来没有像现在这样严重影响着农业生产的发展，进而也极大地影响着灌溉方式的选择，只有客观认识这些影响灌溉的重要物质条件，并以此为基础自觉能动地选择适宜的灌溉方式，才能实现科学的、可持续的发展方式。