例谈高考抛物线解答题的解题方法与策略

2020-06-22江苏省锡山高级中学214174

中学数学月刊 2020年6期

(江苏省锡山高级中学 214174)

纵观近年来高考解析几何解答题考查的内容，不难发现，全国卷椭圆与抛物线交替考查，而江苏卷(文、理合卷)一直考查椭圆(偶尔考查圆)，已形成定势．从2021年起江苏高考数学将参加全国统一命题考试,不再单独命题．这就意味着江苏高考数学解析几何解答题一直连续考查椭圆的定势将结束．从2021年起参加高考的考生，对于解析几何解答题，不能再单一青睐椭圆，应将抛物线与椭圆并重．本文以近五年高考题为例，分类例析高考解析几何解答题对抛物线的考查，揭示解题方法与策略，供大家在教学中参考．

1 近五年来全国卷及江苏卷解析几何解答题考查内容的统计与分析

1.1 近五年来全国卷及江苏卷解析几何解答题考查内容的统计

20152016201720182019全国卷Ⅰ抛物线圆与椭圆文:抛物线理:椭圆椭圆抛物线全国卷Ⅱ椭圆椭圆抛物线椭圆抛物线全国卷Ⅲ—抛物线抛物线椭圆抛物线江苏卷椭圆圆椭圆椭圆椭圆

1.2 近五年来全国卷及江苏卷解析几何解答题考查内容的分析

从统计情况看，近五年来全国六种(实际可算三种)试卷考查椭圆7次、抛物线8次，呈现抛物线与椭圆交替考查的态势．如2018年，三种试卷全考椭圆，2019年全考抛物线．江苏卷(文理合卷)五年中，一次考查圆，其余全是考查椭圆．

2 解析几何解答题考查抛物线内容的分类例析

近五年来全国卷考查抛物线的试题主要考查抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线的位置关系的综合应用．试题考查的问题主要有以下几个方面：弦长问题、定点与面积问题、最值或参数范围问题、轨迹问题、探索性问题、抛物线与圆的综合问题．下面以近年高考试题为例，分类例析解答抛物线问题的常用方法与策略．

2.1 弦长问题

(1)若AF+BF=4，求l的方程；

评注本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用．涉及平面向量、弦长的求解方法．解题策略是将已知条件转化为坐标关系，联立方程组，利用根与系数的关系构造等量关系．抛物线焦点弦的问题常常可利用抛物线的定义．

2.2 定点与面积问题

(1)证明：直线AB过定点；

2.3 最值或范围问题

图1

例3(2019浙江卷)如图1，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG, △CQG的面积分别为S1,S2．

(1)求p的值及抛物线的准线方程；

2.4 轨迹与证明问题

例4(2016全国卷Ⅲ)已知抛物线C:y2=2x的焦点为点F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点．

(1)若点F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

评注本题主要考查抛物线的几何性质、两条直线的位置关系等基础知识，同时考查逻辑推理能力和运算能力．解答证明问题的一般策略是用代数的方法证明几何量之间的关系；轨迹问题常用直接法，即建系、设点、列式、化简、验证．如本题第(2)问，求轨迹中要验证AB与x轴垂直时的情况，完善轨迹方程．

2.5 探索性问题

(1)当k=0时，分别求抛物线C在点M和N处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由．

(2)存在符合题意的点，证明如下.

评注本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系及逻辑推理能力．探索性问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立即存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．第(2)题是探究条件问题，其解题策略是先假设点P存在，求出点P(0,-a)，再验证结论成立，从而肯定点P存在．