高考试题中的数学文化内容类型研究——基于近5年高考试卷的量化分析*

(浙江师范大学教师教育学院 321004)

随着课程改革的推进，人们对数学文化的认识不断深化，越来越多的人认同“数学文化在数学与数学教育中起着重要作用”．由于数学文化独特的教育价值，自2003年起，无论是全国卷还是自主命题的地方卷都逐渐开始考查数学文化相关内容，2017年高考考试大纲更是增加了对数学文化考查的要求[1]．高考上接高等教育，下连基础教育，融入试题中的数学文化内容关系到人才的选拔与培养．为明晰当前高考试题中渗透了哪些数学文化，我们以近5年全国卷、北京卷、浙江卷、江苏卷、上海卷、天津卷等高考数学试题为文本对象进行统计分析与讨论，以期为试题编拟提供启示与建议．

1 分析框架

“数学文化”尚无明确的界定．一般来说狭义的“数学文化”是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义的“数学文化”还包括数学史、数学家、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系，等等[2]．考虑到可操作性，在过去的研究中，对于数学课程教材文本中的数学文化的研究多借鉴广义的数学文化界定．例如，汪晓勤为对各国高中教材中的数学文化内容进行梳理，将数学文化的内涵界定为数学史、数学与生活、数学与科学、数学与人文、数学与艺术、趣味数学六类[3]．王建磐等在此基础上，将数学教科书中的数学文化内容类型整合为数学史、数学与现实生活、数学与科学技术、数学与人文艺术等四个方面[4]．唐恒钧、张维忠对澳大利亚数学统一评估试题进行文化研究时，将数学文化内容类型分为数学史、数学与生活、数学与科技、数学与人文社会、数学游戏、数学与艺术体育等六类[5]．

基于对上述数学文化内涵的理解，本文将高考试题中的数学文化内容类型分为数学史、数学与生活、数学与科技、数学与人文艺术四类．为使分析更细致，借鉴祁平[6]与王建磐[4]的研究，对各类型进一步划分，具体界定不再赘述．由此，形成本文对高考试题中数学文化内容类型分析的框架(表1)．

表1 数学文化内容类型分析框架

2 研究设计

将全国卷、北京卷、浙江卷、江苏卷、上海卷、天津卷近5年的文理科高考数学试题作为文本分析对象，即2015—2019全国卷Ⅰ(文理)、2015—2019全国卷Ⅱ(文理)、2016—2019全国卷Ⅲ(文理)、2015—2019北京卷(文理)、2015—2016浙江卷(文理)、2017—2019浙江卷、2015—2019江苏卷、2015—2016上海卷(文理)、2017—2019上海卷、2015—2019天津(文理)，共67份试卷．其中，全国卷涉及的省份广，北京卷、浙江卷、江苏卷、上海卷、天津卷坚持自主命题，已逐渐形成自身的命题特色．对它们进行研究，有利于较为全面地明晰我国当前数学文化在高考试题中的命制情况，提高数学文化考题的命制质量．

在统计过程中，遵循以下操作标准：首先，以数学文化元素与高考试题的设置为共同的分析单元，即对试卷中出现不同的数学文化元素分别计数，同一数学文化元素出现在不同试卷中也分别计数．其次，当一道试题中包含若干小题，仍记为一道．第三，当试题同时符合多个类型的情况，选取最能体现试题特点的分类．比如2019年全国Ⅰ卷文理科题4出现了数学史料“黄金分割”，还论述到“断臂维纳斯”以及人体器官之间的比例，考虑到试题偏向“最美人体”，因而被视为“数学与人文艺术”类试题．

数据分析由两位数学教育研究者分别按照数学文化内容类型的分类说明，对近五年高考试题独立编码，对比分析结果，对其中不一致的条目通过讨论达成一致意见．

3 研究结果与讨论

近五年高考试卷中共出现168道数学文化试题，按照分析框架对四种内容类型出现的次数进行统计，具体结果如图1所示．

图1 数学文化内容类型分布

统计分析后得到，四种数学文化内容类型的基数分别为数学史15道，数学与生活120道，数学与科技17道，数学与人文艺术16道．数学与生活类试题所占比重最大，占比达71.43%．可见试题比较重视数学与生活的联系，强调学生在生活中解决问题的能力，同时也关注其余三种数学文化类型，其中数学史的相关试题出现得最少，为15道，仅占8.93%．

3.1 数学史

从统计数量看，与数学史相关的试题量最少，平均每年3道，这并未较好地落实高考数学文化命题的理念——考查我国古代优秀数学成果和数学史的内容．从试题涉及的具体史料内容来看，素材比较丰富，涉及古今中外的一些典型内容，如中国古代著作《九章算术》、乐律学经典“十二平均律”、著名数学家陈景润、希波克拉底月牙形等．史料主要以古代数学史料为主，将数学史进一步细化，统计结果如图2所示．

图2 数学史细化分布

数学史素材的选择偏向于数学名著.15道基于数学史的试题中有8道关于数学名著，而这8道试题，或是选自《九章算术》，或是选自《算法统宗》，或是选自《张邱建算经》，或是《周易》．其中出自《九章算术》的题最多，达到5题，超过半数．2015年全国卷Ⅰ理题6，结合《九章算术》中球体积、圆锥体积等立体几何知识，融合数学史与古代生活情境，让学生体会到从古至今数学都是来源于生活并且应用于生活．以数学名著为背景的试题弘扬了中国数学文化，有利于激发学生的兴趣，但选题范围比较狭窄．我国古代有非常多的数学著作，《九章算术》《算法统宗》《张邱建算经》《周易》只是其中的典型代表，此外，还有《数书九章》《孙子算经》《缉古算经》《海岛算经》《杨辉算法》等著作．很多中国古代著作的名字中带有“算”字，这在一定程度上体现出中国古代数学的重要特征——算法化倾向．因此，可以抓住“算法”这一核心命题，反映中国古人的智慧．同时，国外的一些著作、现代的一些著作中也有很多材料可以命题，取材的范围可以进一步扩大．

数学名题在数学发展、数学应用、数学教学等方面起着或起过重要作用，在数学史与数学教育史上有着举足轻重的作用．以数学名题为素材的试题仅有2016年全国理科卷Ⅱ题8和2016年全国文科卷Ⅱ题9两道(实为同一试题)．此题以秦九韶算法为背景，连接了古代与现代，把秦九韶思想与算法的程序框图结合起来进行再创造，值得借鉴．但试题并没有考查到秦九韶算法的根本，只要求学生理解程序框图求解，还有一定的改进空间．

有4道试题的选材出自数学家及其生平故事，出现的数学家有我国古代的刘徽(2017年浙江卷题11)、我国现代数学家陈景润(2018年全国理科卷Ⅱ题8)、古希腊数学家希波克拉底(2018年全国理科卷Ⅰ题10)、我国古代数学家祖暅(2019年浙江卷题4)．根据历史相似性原理，学生在很大程度上也会经历数学家相似的探索过程．因此，以数学家及其生平故事为背景进行命题，可以考查学生的思维，帮助学生认识数学的发展性，培养学生崇尚真理的精神．近5年试题中对数学家的选择偏向于我国，尤其是我国古代的数学家，这有利于激发学生的民族自豪感，但数学是数学家共同体的产物，外国的数学家，如毕达哥拉斯学派、欧拉、高斯、笛卡尔等也可以选择，这样有利于进一步促进中西方数学的交流与整合．另外，数学家的研究成果一般不是独立的，会与其他数学家的成果相联系，在编拟试题时可以考虑融入多位数学家及其研究成果，让题干更丰富，体会数学家继往开来不断探索解决问题的过程．

3.2 数学与生活

随着新课程改革的不断深入，国家对学生的数学文化素养、应用意识与创新能力等提出了更高的要求．反映学生生活、社会问题的试题已成为高考试题的重要组成部分．这些试题的数学素材丰富，既有投篮、考试、上学等个人生活问题，也有新农村建设、公司企业发展决策、交通方式等公共生活问题，具体数量如图3所示．

图3 数学与生活细化分布

在个人生活方面，试题情境比较单一，考查的难度不高，学生对于做什么和怎么做是比较明确的．比如2017年浙江卷题16要求学生回答：从6男2女共8名学生中挑选至少有一名女生的4人服务队，有多少种不同选法．

在公共生活方面，特别是近两年的高考命题把握时代的脉搏，设计出了一些情境鲜活、构思巧妙的好题．如2018年上海卷题19，抓住“人均通勤时间”这一真实又贴近生活的问题，给出了自驾通勤时间的模型，希望学生学会分析这一实际问题，根据所给分段函数，选择合适的交通方式，说明现实意义．试题引导学生从生活中发现数学，用建模思想、函数思想解决问题．

总体来说，以数学与生活为背景的试题素材较为丰富，特别地，以公共生活为背景的试题较为成熟，反映在既能很好地把握时代的脉搏，体现国家经济社会发展，又能从多方面考查学生的能力(阅读理解能力、数学分析能力、数学建模能力、理性思维等)．“数学回归生活”的理念已渗入到高考数学试题的编拟中，命题专家选择的内容是与学生生活紧密相关的，尝试唤醒学生对生活“真善美”的认识、理解和尊重．但是，部分试题要求学生解决的问题却不一定有实际意义，这与内容选取的不够真实与自然有一定关联．如何在文化内容选择与提出的问题之间架起桥梁，让文化内容真正发挥作用，让学生将所学的知识应用于日常生活，去解决历史的、当下的甚至是未来的实际问题，切实感受到数学广泛的应用性，提升科学文化素养，还有待于进一步研究．

3.3 数学与科学技术

数学是科技的基础，在人类的发展过程中发挥着越来越重要的作用．李大潜院士指出，数学技术可以转化为先进的生产力，高技术本质上是一种数学技术．[7]近年来，数学逐步从幕后走到台前，高考试题尝试以科技为背景命题，在168道试题中，以数学与科技为背景的试题共17道，具体数量如图4所示．

图4 数学与科技细化分布

不过，这17道题仅占数学文化试题总数量的10.12%，说明数学与科技的联系体现得还不够紧密，对前沿科学的关注有待提高．具体地，数学与科技内容兼顾生命科学、地球科学、物质科学等方面，其中生命科学所占的比例相对较高，说明试题较重视数学与生命科学的联系．

可喜的是，这些试题所反映的数学应用较好地联系当今科技发展的现状，体现时代性，而且这些试题要求学生解决的问题大多伴有非文本语言，需要学生在理解数学知识和思想的基础上解答，并且解答的问题在实际生活中具有一定的迁移性，能引发学生在数学观指导下的深度学习．如2017年全国卷Ⅱ理题18以现实生产中的“水产品”为入手点，反映了当前国家对海洋产业发展的重视，紧扣时代发展脉搏，突出科技在生产生活的应用；围绕新旧养殖方法的比较设计了逐步递进的三个小问题．受第二小题独立性检验的启发，学生可以在日常生活中对类似的实际问题作出判断．试题让学生感受数学对于科技发展重要作用的同时，考查了学生的数据处理能力、数学建模能力、数学抽象能力等，这是数学在新时代背景下对学生的要求．

3.4 数学与人文艺术

将数学与人文艺术相结合能够改变学生对数学严肃、严谨的刻板印象，增加数学学习的兴趣，为后期培养数学人才奠定基础．以数学与人文艺术为背景的试题共16道，这些试题改变了对传统单纯知识技能的考查，让学生体会到数学富有人文性的一面，涉及到的文化素材有人文、美术、音乐、建筑方面，内容不多并且各子类型分布不均衡，具体数量如图5所示．

图5 数学与人文艺术细化分布

数学与人文艺术相联系的试题很少，平均每年3道．美术类相对较多，共10道，人文类、音乐类、建筑类都为2道．

试题选择的数学文化素材大多较为经典.如2018年北京卷理题4选用的“十二平均律”是中国历史上将数学与音乐有机结合的典范，是中国乐律学引以为骄傲的成果．明代王子朱载堉通过艰苦的探究，提出“根号2开12次方”为“十二平均律”奠基．可以说，没有对数的科学理性的认识与应用，朱载堉很难创立十二平均律． 再如，2018年全国卷Ⅲ理题3给出榫卯的构件图，从中可以看到中国古人将几何与生产生活巧妙结合起来的智慧．这能使学生对中华民族的传统文化有进一步的认识，增强学生的民族自豪感，认可数学文化的价值，既表明了数学来源于生活，应用于生活，也反映了数学的美．

4 研究结论与启示

基于近5年高考数学试题中数学文化内容类型的分析，得出如下结论：

其一，数学文化试题数量不多，各内容类型分布不均衡．初步估计近5年高考数学试题总量达1 300道，而数学文化试题仅168道．这168道试题中，超过七成的试题来自数学与生活，可见，“数学史”“数学与科技”“数学与人文艺术”的相关文化内容不足．此现象的出现与可纳入试题中文化素材的多寡、难易等有关联．

其二，数学文化内容的素材不够丰富，各子类型分布不均衡．数学史内容取材主要围绕《九章算术》《算法统宗》《张邱建算经》《周易》等名著，数学名题、数学家等相关文化内容涉及较少．试题忽视数学与地球科学、人文、音乐、建筑等方面的联系，这些子类别下的试题数量仅各2道，各子类型分布不均衡．

最后，部分高考数学试题中数学文化内容的素材不够真实自然，缺乏时代性，主要体现在数学与个人生活类试题中．如2017浙江卷题16停留在挑选学生组成服务队的旧背景之中，这可能直接影响试题命制的质量．

基于以上研究结论，本文提出如下改进建议：

第一，适当均衡各数学文化内容.目前融入数学文化的高考试题中，超过七成来自数学与生活.事实上，数学不仅和生活息息相关，也和数学史、数学与科技、数学与人文艺术息息相关．在数学史方面，古今中外涌现了一大批优秀的数学家，数学家的研究结晶浓缩成专著和名题等流传下来，使得数学历久弥新．如刘徽为《九章算术》作注，对古代算数体系做了理论整理；李善兰创立了“尖锥法”、证明了费马小定理；祖冲之与祖暅合著《缀术》，对圆周率做出了杰出贡献；欧拉由“七桥问题”创立了图论，等等．在数学与科技方面，如数学家维纳通过研究滤波理论与火炮自动控制问题提供准确的数学模型使得火炮的命中率大大提高；再如Nagatani首先提出格子模型这一数学模型来研究道路车辆状况，为道路建设提供一定的理论基础，等等．在人文艺术方面，如雕塑绘画作品中通过黄金分割、对称等体现美；音乐作品中声波和函数相关联，正弦函数可以用来表达纯音；数字技术融入电影电视中，影视作品的高潮点、转换点与黄金分割紧密联系[8]，等等．数学已经融入到生活的各个角落、各个学科中，诸多领域的突破是以数学的进步和发展为基础的．数学文化的选材可以适当均衡，让学生充分体会到数学的重要性．

第二，围绕“立德树人”的根本任务，丰富数学文化素材．“数学文化”融入试题时可以以立德树人为立足点，从德智体美等方面选择命题素材，这不仅可以丰富数学文化内容，不断尝试唤醒学生对“真善美”的认识、尊重和理解，还可以促进学生科学文化素养、人文和审美素养的提升．具体地，在选择文化内容时可以从以下这些角度考虑．一是发挥数学特点，展现德育要求，如2019年全国卷

Ⅱ文科题5以“一带一路”为文化背景，引导学生关注社会经济；二是结合数学知识，展示数学之美，如2019年北京理科题8的心形线；三是创设合理情境、体现体美劳，如2019年全国卷Ⅲ题16，提供让学生利用3D打印技术制作模型的背景，引导学生尊重劳动、热爱劳动．试题编拟者可以借鉴这些真题继续研究，围绕“立德树人”的根本任务，丰富数学文化素材．另外，对内容的选择不应局限在中国，可以通过国外的一些内容引导学生立足中国、放眼世界．

第三，注重体现数学文化内容的时代性．处于快速发展的经济社会中，社会对于培养的人才要求也在改变，教育需要与时俱进，高考试题需要契合时代背景进行变化，不能停留在分卡片、投骰子、种花植树等旧背景中，而应该结合当前时代发展的热点问题命制素材新颖、设问巧妙的试题．在过去十年间，中国的科学技术迅速发展，广泛应用于人工智能、航空航天、天气预报、环境监测、医疗卫生等方面．这可以提供值得研究和转化的数学文化背景．尽管近两年真题中有过这方面的尝试，但仍有相当一部分试题停留在旧背景之中，因此，数学文化内容的选择可以进一步体现时代性．

总之，从内容类型的视角看高考试题中的数学文化还存在一些有待完善的问题，但总体上展现了多样的数学文化类型，较为丰富、新颖的数学文化内容．当然，对高考试题中数学文化的分析，不应局限于内容类型，在其他方面有何特点，值得进一步分析与讨论．