激活思维 创新思考 追求高效——例谈高考数学选择题和填空题速解策略

(江苏省邳州市第二中学 221300)

纵观近年高考数学选择题和填空题，一个明显的特征是在重视考查“双基”的同时，能够把多样的数学思想方法置于平凡、简洁的数学问题之中，绝大多数题目都可以用通性通法直接求解，但也有许多题目需要激活思维、创新思考，挖掘其特殊内涵，才能够又快又准地得到答案，从而为后续的答题赢得宝贵时间．本文以全国各地高考数学试卷中比较典型的选择题和填空题为例，谈谈这两大题型的速解策略．

1 特殊化思维策略

一般性寓于特殊性之中，特殊问题又往往比一般性的问题简单易解.因此，我们面对一个抽象或复杂的数学问题时，不妨先考虑其特例，这就是数学中常说的特殊化思维策略．“特殊化思维”是高考数学选择题、填空题的一种常用解题策略，其实质是把一般情形转化为特殊情形，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，实现快速、准确求解的目的．用特殊化思维策略解高考数学选择题和填空题有如下几种常用的方法.

1.1 取特殊数值

例1(2007·江苏卷)若对于任意的实数x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为( )．

A．3 B．6 C．9 D．12

分析 可对实数x取四个具体数值，代入已知等式中得到方程组，即可求出a2的值；也可以先对等式两边求导，减少参数，再对x取特殊值求出a2．

解法1当x分别取2,1,0,-1时，得a0=8，a1-a2+a3=7，a1-2a2+4a3=4，a1-3a2+9a3=3．从而解得a2=6，选B．

解法2等式两端对x求导，得3x2=a1+2a2(x- 2) + 3a3(x- 2)2．再一次求导，得6x=2a2+6a3(x-2)．令x= 2，得2a2= 12，a2= 6，选B．

点评求导数、取特值、建方程是解本题比较简捷的方法．本题也可以将等式右边展开整理，然后对照等式两边的系数得到方程组求解，这是解本题的一般性思路，但此思路运算较繁琐．

1.2 选特殊函数

例2(2007·江西卷)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为( )．

分析 已知的是一个抽象函数，若直接计算比较复杂、思维量较大，我们可以选择一个满足题设的具体函数，然后根据导数的几何意义来求解．

点评本题考查函数的基本性质、求导运算和导数的几何意义．通过一个符合题设的特殊函数，使问题变得简单、具体，容易求解．

1.3 用特殊方程

分析 如果按照已知直接运算，由于含有参数，所以会很麻烦.不妨取一个具体的双曲线(特例)来解决．

点评本题主要考查双曲线和抛物线的定义，以及能利用相关的几何知识解决问题的能力．

1.4 设特殊数列

A．2 B．3 C．4 D．5

分析 根据已知的比例式，我们可以选定满足比例式的特殊例子来研究问题．

点评本题主要考查等差数列的定义和有关性质，掌握通项与前n项之间的关系是解题的关键．

1.5 作特殊图形

分析 最后一个条件告诉我们线段垂直的关系，再由前面两个条件(线段长度关系)，我们很容易作出符合条件的特殊图形，通过这个特殊图形进行计算就很简单了．

点评本题通过已知条件也能够推出图形应该是我们所作的特殊图形，但是推导很麻烦，而作特殊图形的方法能很轻松地计算出结果，体现了特殊化这一思想方法的特有功效．

1.6 寻特殊点

图3

分析 显然本题中无论顶点B在椭圆的什么位置，只要与A,C构成三角形，那么所求式子的值一定为定值．因此可以对动点B取一个特殊位置(如取椭圆与y轴交点)来计算．

点评利用动点B的一个特殊位置使问题易于思考，过程简捷，运算量小．本题如果用常规方法求解，需要利用正弦定理将比值化成三角形边长的比，再利用椭圆的定义、性质求出结果，这种方法思路复杂、运算量大．

1.7 找极端位置

例7(2007·浙江卷)设m为实数，若{(x,y)|x-2y+5≥0,3-x≥0,mx+y≥0}⊆{(x,y)|x2+y2≤25，则m的取值范围是__________．

图4

分析 如图4，已知的区域是圆x2+y2=25内一个动态三角形，这个三角形区域的范围是由动直线mx+y=0决定的.因此我们可以找出这条动直线运动变化的两个极端位置，求出对应的m值，即可写得其取值范围．

点评通过图形找出动直线运动的极端位置，求出动直线到达极端位置(或趋近极端位置)时参变量的值，从而写出参变量的取值范围．极端位置法是探求参变量取值范围常用的一种快捷方法．

2 数形结合策略

“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”以形助数，给抽象的问题以形象化的原型，从而给人们以形象思维的启示；反过来，以数助形，则给直观问题以数理推证和精确刻划．数形结合思想实际上就是把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来，相互转化，实现形象思维和抽象思维的优势互补．一方面，借助于图形的性质使许多抽象概念和关系直观而形象，以利于探索解题途径；另一方面，几何问题代数化，通过数理推证、数量刻划，获得一般化结论．

2.1 以形助数

例8(2007·山东卷)与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是__________．

分析 根据题意，我们可以作出直线和圆的图形.观察图形可知，直线与圆都关于直线y=x对称，于是不难得出直线y=x与直线和圆的两个交点构成的线段长就是所求圆的直径．

图5

点评根据已知条件作出图形，能够很直观地看出未知与已知之间的关系，减少了思维障碍．

2.2 以数辅形

例9(2007·全国卷Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________．

分析题设是一个动三角形，增加了求解的困难，如果用传统的立体几何方法求解，难度很大，需要有较强的空间想象能力和运算能力．我们可以建立坐标系，设出某些点的坐标，运用图形中的几何关系和向量之间的联系，将几何问题转化为代数问题加以解决，既简单又快捷．

图6

点评对几何中的问题，通过建立空间直角坐标系，把几何关系转化为数的运算，通过数的运算来解决几何问题．这种把几何问题代数化去解决的数形结合思维策略是“以数辅形”的经典范例．

2.3 作出图象

例12(2007·江苏卷)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)=3x-1，则有( )．

图7

分析 根据已知条件作出函数的大致图象，再根据图象的特征作出判断．

解将函数y=3x(x≥1)的图象向下平移1个单位得函数f(x)=3x-1(x≥1)的图象，再根据图象关于x=1对称，即可画出函数f(x)的全部图象(图7)．从图象中容易看出，应选B．

点评从已知条件出发作出函数图象草图，观察比较纵坐标，使问题轻松地获得解决，体现了图象的妙用和“以形助数”的强大威力．