发现数学之路——以测量建筑物高度为例

胡永强

(江苏省苏州高新区阳山实验初级中学校 215151)

苏科版初中数学教材九年级下册安排了一次数学活动：测量建筑物的高度．在这次活动之前，学生已经学过了勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等数学知识．这是一次综合实践活动，旨在让学生运用所学过的数学知识解决生活中的实际问题．这个过程可以提高学生综合运用知识的能力，让学生真正经历学以致用的过程，感悟数学知识有着广泛的应用价值．下面我就这次活动的组织情况及活动后的一些思考记录如下，与大家交流．

1 组织流程

1.1 分设小组

班内共有48人，笔者将学生按照组内异质、组间同质的原则分成6人小组，共8个小组．每组选定一位数学素养和组织协调能力相对较高的学生做组长，负责本组一切事务，包括组员的任务分工、方案制订与实施、测量报告的撰写与汇报等．

1.2 分配任务

笔者事先在校园内选取一些建筑物：电线杆、国旗杆、图书楼、艺术楼，作为被测对象，其中电线杆、图书楼的底部可以直接到达，国旗杆、艺术楼的底部不能直接到达．将这些测量对象按照民主集中制分配给各个小组，每两个小组测量同一对象，这也为后期数据比较埋下伏笔．

1.3 讨论方案

凡事预则立，不预则废．若想较好地完成这次测量任务，必须先组织学生制定具体方案．由于这次测量活动安排在初三下学期，学生已经学完了初中几何的全部内容，所以能够选择的方案很多．在各小组长的带领下，全组讨论制定具体方案．

1.4 制作工具

图1

各小组根据自己拟定的方案，准备测量工具，如皮尺、标杆、测角仪等．最难准备的是测角仪，小组员们查阅相关资料后，用量角器和标杆制作出了简易测角仪，如图1．学生们还借来了砝码用于制作铅垂线，这根线既保证标杆垂直于地平线，又为读出仰角提供了极大方便.

1.5 实地测量

各小组结合自身的测量方案，带上准备的测量工具，开始实地测量．小组成员既分工明确、各司其职，又相互协调、相互配合，最终获取各自所需数据并完成计算，得出被测物体的高度．

1.6 交流互鉴

为了总结经验、分享成果，在各个小组完成自己的测量任务后，笔者组织了一次交流活动．每个小组分享自己的测量方案、过程、结果，大家相互鉴赏，取长补短．在这场头脑风暴式的交流活动中，各小组成员各抒己见，有许多精彩的课堂生成．如两个测量同一物体的小组，将他们所得的数据作误差比较，他们还自发地一起探究缩小误差的方法：保证测杆垂直于地面、在三点共线时读取仰角、多测几次取平均值等．

2 思考感悟

2.1 走发现之路、创数学奇迹

著名数学家弗莱登塔尔在他的《作为教育任务的数学》一书中提出“发现数学、创造数学”的理念，旨在提醒数学教师不要直接将知识讲授给学生，而要带领学生重走数学知识的发现之路，让学生在发现中体会创造所带来的乐趣．这样长期坚持，学生对数学学习会越来越有兴趣，各方面的素养也会越来越高，从而使学生进入学习数学的良性循环之中．

这次测量活动是笔者组织带领学生进行的一次真实的发现活动.笔者欣喜地发现学生们的学习积极性被调动起来了，他们在讨论方案、制作工具、实地测量、交流讨论等环节中都表现出极大的热情，他们的主动性、创造性等也都得到了非常好的舒展和体现．我们有理由相信只要解放学生，给他们创造机会，学生就会有无限的发展可能与空间，也会创造出我们意想不到的奇迹．

2.2 学生有机会，历史会再现

测量活动是一个非常古老的数学话题，几乎所有文明古国的文献中都有相关记载．比如古希腊泰勒斯利用平行投影测量金字塔的高度；印度数学家阿耶波多在其主要著作《阿耶波多历数书》中记述了用两个标杆的影子来计算物体高度的方法.类似地，我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记述了用“重差术”测量海岛高度的方法．

在这次测量活动中，学生们设计的测量方案中囊括了上述文献中记述的所有方法，如图2、图3，可见只要给学生机会，历史就会再现．这也告诫数学教师，在组织教学活动时如果重视学生的学习主体地位，教学中多给学生创造机会，发挥学生的学习主动性，那么人类认识数学的漫长历史过程，也一定会在学生的认识过程中浓缩出现，这也是人类认识事物的历史规律．

图2 图3

2.3 教师多阅读，教学有艺方

前不久，笔者参加了华师大汪晓勤教授领衔的HPM研修班的学习，主持人通过微信小程序推送了与之相关的许多素材，对笔者冲击最大的是有关“四分仪”的内容，如图4所示．

图4 费奈乌斯Protomathesis中的两种四分仪

运用四分仪，结合相似三角形的相关知识可以非常方便地测量、计算出物体的高度．四分仪在测量深度方面也同样实用,如图5、图6所示．

图5 利用四分仪测高 图6 利用四分仪测深

图7

如图7，是一幅16世纪的德国版画，法国初中数学教科书将其作为相似三角形一章的章头图，从中可以读出许多测量工具、测量方案.此图的信息量极大，一张图几乎概括了与之相关的所有内容.试想学生在学习这一章之前看到就么美妙的图片，一定会对本章的学习充满期待，学习动力必定是充足的．在学完这一章后，学生再次阅读此图，一方面会对全章内容有一个整体把握，同时也会对古人充满无限的敬畏之情，对待数学学习也一定会心怀敬畏之心，必将会有一批有志青年要继续古人的数学研究之路．

由于笔者阅读量有限，未能在此次测量活动中组织学生了解和制作“四分仪”，从而失去了一次非常好的学习和实践的机会，现在想来心中充满悔意．因此，作为师者要把己立立人、己达达人牢记心间．一定要在教学之余抽出时间广泛涉猎数学史著作，开阔自己的视野，提升自身的业务素养．这样在进行教学设计时就会多一种思路，给学生的指导也更加游刃有余．这样一方面提升了自己，另一方面成就了的学生．