整体把握教材：单元教学设计视角——以“圆锥曲线与方程”为例*

彭 锋 邓元洁 王承菊

(重庆市两江中学校 401120)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“17标准”)明确提出：普通高中数学课程的培养目标是进一步提升学生的综合素质，着力发展数学学科核心素养.[1]核心素养导向的课程设计采用跨章节、跨领域的主题，教学时需将教材中有关联的知识进行整合，形成新的教学单元，进而落实问题解决式的综合学习，对核心素养进行综合评价.而课堂教学是培养学生核心素养的主阵地，因此开展单元教学设计将成为今后一线教师教学转型的重要抓手.本文将阐述笔者对“单元教学设计”的理解，以“圆锥曲线与方程”的整体单元设计为例，结合“椭圆的简单几何性质”一节课的教学设计，为单元教学设计提供参考.

1 单元教学设计概述

所谓“单元教学设计”，吕世虎教授认为是以教材为基础，用系统论的方法对教材中“具有某种内在关联性”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的教学单元，在教学整体观的指导下将教学诸要素有序规划，以优化教学效果的教学设计.[2]其特征如下：(1)单元教学设计最本质的特征就是整体性.一个单元由一些具有相互联系的要素组成，这些要素是相互依存的，且每个要素都有自己独特的地位.例如，进行“圆锥曲线与方程”的单元教学设计时，不管是讲解椭圆、双曲线还是抛物线，它们都遵循定义、建系求标准方程、几何性质、考点的相似性，只要整体把握教学过程的相似性，重点讲解椭圆，其他两种圆锥曲线的学习就迎刃而解了.(2)单元教学设计要体现教学的循序渐进原则.学生接受知识的程度是由外到里、由易到难的，要充分考虑每节课之间的关联和顺序，体现教学内容的坡度，教学要有层次、有顺序地进行.(3)单元教学设计注重以学生为本.“17标准” 指出高中数学课程面向全体学生，实现人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展[1].单元教学设计，注重其层次结构，通过挖掘知识点之间的联系，让不同层次的学生学有所获.(4)单元教学设计具有创造性.教师可根据自己的学识和经验对教学内容和教学方式进行不同的诠释，其设计的伸缩性远远大于课时教学设计.

2 单元教学设计的基本思路

在文献[3]的基础上，笔者借助“17标准”将单元教学设计的基本思路分为六步，流程图如下：

对“圆锥曲线与方程”一章进行单元教学设计，首先得对六大要素(数学要素、课标要素、学情要素、教材要素、重难点要素、教学方式要素)进行分析.分析完各要素、对教学内容整体把握以后，编制教学目标、设计教学流程，将单元教学目标具体分配到每一课时，进行系统的单元教学设计.

3 单元教学设计

3.1 六要素分析

·数学要素分析 圆锥曲线，又叫二次曲线，是利用方程的系数来确定曲线形状，揭示数学中古老而又经典的问题.在大学数学课程中，以圆锥曲线为核心的解析几何是最基础的课程.圆锥曲线很重要，是因有两个重要的物理背景支撑着它的地位：一是宇宙中，许多天体的运动轨迹可以用圆锥曲线或近似地用圆锥曲线表示；另一个是大部分光学仪器都是利用圆锥曲线(面)的原理制作的.

在“17标准”规定的数学课程内容中，圆锥曲线与方程放在选择性必修课程主题二“几何与代数”中，是高考的内容.本单元在学习了直线、圆的几何特征并建立它们的标准方程后，进一步用代数方法认识圆锥曲线的性质及与直线的位置关系.体会运用解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想.

·课标要素分析 对比发现，《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称“03标准”)与“17标准”都把该内容放在选修中，二者都注重对该内容的应用，更重要的是让学生感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，都明确提出进一步体会数形结合的思想.但“17标准”对“曲线与方程”不单独给出，而是通过不同的情境，建立直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程，来体现“曲线”与“方程”的关系.另外“17标准”对抛物线的定义、几何图形和标准方程的要求降为了解，抛物线的有关性质也由“03标准”中的掌握降为了解，对圆锥曲线的应用也只是了解椭圆、抛物线即可.

表1 “03标准”与“17标准”对比说明

·学情要素分析 笔者所在的学校是重庆市重点高中，从历年数学高考成绩看，学生整体处于重庆市中等偏上水平，但学生反映该部分内容思维难度较大，学习兴趣不高.对大部分学生来说，学习该内容占用课后时间较长，但还是“吃不透”，对于三种圆锥曲线的定义及几何性质还是不能灵活运用；部分学生的学习习惯还未养成，在学习该部分内容时，怕算、怕思考、怕归纳、怕总结；该内容对学生运算水平要求较高，运算能力欠缺是导致解不出题或解答错误的重大原因.

·教材要素分析 教材是学生获取系统知识进行学习的主要材料，也是教师进行教学的主要依据.它是教学内容的载体，展现了课程标准规定的教学内容，它介绍了相关的数学背景，给学生创设了知识的问题情境，安排教师如何进行教学活动，给出该知识的合理结论并对此作出相应的解释.下面笔者就“圆锥曲线与方程”对人教A版与即将出版的新教材的编排目录进行对比，分析各自的特点.

表2 人教A版与新教材编排目录比较

从表2的内容编排来看，新教材对于“曲线与方程”没有单独设置小节；新教材删除了圆锥曲线的离心率与统一方程，这正符合“17标准”降低圆锥曲线学习难度的要求.

另外，人教A版共设置了八篇阅读材料，分别有信息技术应用、探究与发现、阅读与思考三类.新教材在这部分的设置上大同小异，只是在本章小结之前增加了文献阅读与数学写作，要求学生收集、阅读平面解析几何形成与发展的历史资料，论述平面解析几何的发展过程，学会撰写小论文.

·重难点分析 重点知识:经历从具体情境抽象出椭圆模型的过程，掌握它的定义、标准方程、几何图形及简单性质；了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.

难点知识:相对于直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系更难掌握，因此可通过画图直观地理解其几何性质，渗透数形结合思想.

·教学方式分析 “17标准”注重学生数学核心素养的培养，不但注重教学的结果，更注重教学的过程，倡导“以教师为主导，学生为主体”的指导思想.如今的教学要重点突出以“问题解决”为中心，提供给学生现实的问题情境材料或设计编选具有趣味性的问题，引导学生会思考、会想象和会猜测，去挖掘问题情境中的数量关系与空间形式，形成数学概念，产生数学命题，以数学思想方法为核心，揭示数学的规律.这样不仅使学生了解了知识的“发生过程”，而且“探究发现”“思考交流”等环节更是为课堂增添了不少色彩.另外“17标准”指出应充分发挥信息技术的作用，通过多媒体向学生演示曲线轨迹的形状变化是和方程参数的变化息息相关的.

笔者在之后的课时教学设计“椭圆的简单几何性质”中，充分突出以“问题解决”为中心的思想，整个设计围绕四个问题展开，并把课堂交给学生探究讨论、归纳总结.最后对学生所探究的结果进行点评，整堂课教师起着 “引导者”的作用.在多媒体辅助教学方面，运用了动态几何软件“超级画板”，培养了学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养，也培养了数学探究和动手操作的能力.

3.2 单元教学目标

理清六大要素分析后，制定了如下单元教学目标.

(1)知识与技能目标 会根据条件求椭圆、抛物线及双曲线的方程，在有关圆锥曲线性质的应用中，要强化学生的运算求解能力，提高学生分析和解决问题的能力；在思维能力方面，要引导学生善于使用函数与方程思想和数形结合思想来解决问题，特别是数形结合思想，它是解决圆锥曲线问题时必不可少的思想方法.

(2)过程与方法目标 重点是利用坐标法，根据椭圆定义，从图形的几何特征出发，建立适当的坐标系，研究建立椭圆的方程，再从方程出发结合图形来研究它们的几何性质及简单的应用. 另外“17标准”对双曲线、抛物线的要求相比椭圆有所降低，属于“了解”的范畴，仿照椭圆方程及性质的研究可以研究双曲线、抛物线的方程及相关性质.

(3)情感态度与价值观目标 主要让学生在了解圆锥曲线的实际背景过程中感受其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.在建立圆锥曲线方程的过程中感受从具体情境抽象出一般规律的思想和方法，进一步体会数形结合在解析几何中的作用与价值，经历“坐标法”使数学的“形”和“数”有机结合的过程，体会人类研究数学时所付出的艰辛劳动，以及数学为社会所做的贡献.

3.3 课时教学设计

本节是“圆锥曲线与方程”中“椭圆”第二节内容，主要学习椭圆的四种几何性质：范围、对称性、顶点及离心率，它是本章、也是解析几何部分的重要基础知识.椭圆是学习三种圆锥曲线的开始，之后双曲线和抛物线的学习需反复利用椭圆的学习方法，因此椭圆一节显得既基础又关键.本节内容也体现方程研究曲线性质，此种思想方法将贯穿这一章的学习. 具体教学过程见下.

·复习回顾

师：请回忆椭圆的定义及其标准方程.(教师用多媒体展示焦点在x轴和y轴上的椭圆图象)

生：MF1+MF2=2a,F1F2=2c.

教师用动态几何软件将椭圆的两个焦点拖到同一处，动态地为学生演示椭圆变成圆的过程.

设计意图本节课学习的内容是在椭圆标准方程及图象的基础上进行的，因此在学习新知识前先复习一下椭圆的标准方程及图象，使学生的记忆被唤醒，为新知识的习得做准备；复习椭圆的同时提醒椭圆与圆的联系，体现其知识的关联性，体现单元教学的整体思想.

·新课探究

师：我们如何来研究椭圆的几何性质呢？

生：从椭圆的图象，并借助椭圆的标准方程来研究.

问题1 椭圆的大小由什么确定？

教师在动态几何软件中画一个椭圆，并画出它的特征三角形.

设计意图在图象上观察比代数方法更直观.

师：观察椭圆图形并讨论，椭圆的大小由什么确定？

生：椭圆总被一个矩形“圈”在其中，矩形的长是椭圆的长轴长、宽是椭圆的短轴长，因此椭圆上的点的横坐标的范围是-a≤x≤a，纵坐标的范围是-b≤y≤b.

师：这只是我们在图象上看到的，能用代数方法证明吗？

学生思考讨论，并板演证明过程.

设计意图学生由图象观察出椭圆的范围，用代数方法只是验证结论是否准确.证明过程不繁杂，仅需对标准方程进行简单变形.板演能增强学生的参与意识,印象会更深刻.

教师对学生的证明过程讲评，强调椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.

问题2 椭圆是对称图形吗？

教师在动态几何软件中向学生演示椭圆绕x轴(图1)、y轴以及原点(图2)旋转.

图1 图2

生：由动画知,椭圆关于x轴、y轴都是对称的,坐标轴是其对称轴,原点是椭圆的对称中心.

设计意图学生观察椭圆的形状，会发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，再用动态几何软件中的动画功能向学生演示，让学生不仅“知其然”而且“知其所以然”.

师：这只是我们在图象上看到的，能用代数方法证明吗？(学生思考并讨论证明过程)

设计意图学生用“形”的方法理解了椭圆的对称性后，再用代数方法说明椭圆的对称性，向学生传递本章的重要思想：用代数方法解决几何问题.

问题3 椭圆上有哪些特殊点？

师：由直线方程画直线时，通常需要求出直线与x轴、y轴的交点坐标.类似地，思考如何求出椭圆与x轴、y轴的交点坐标？

学生思考讨论,并总结椭圆四个顶点的坐标.

设计意图椭圆的顶点比较容易得出，而且也容易理解，所以学生思考讨论后说出自己的想法，教师稍做总结即可.

生：除了顶点，焦点也是椭圆的特殊点.

师：对！椭圆的光学性质是从一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线过椭圆的另一个焦点，有兴趣的同学可以课后证明.

设计意图对于椭圆的光学性质，课本上并没有进行讲解，只在本章末尾的阅读材料中有所提及，因此证明过程交给课后.但焦点是椭圆很重要的特殊点，必须让学生明白其重要性，并为课后探究做铺垫.

问题4 椭圆的扁平程度与什么有关？

教师将全班分成两组：第一组在同一坐标系上画几个焦点相同、长轴不同的椭圆；第二组在同一坐标系上画几个长轴相同、焦点不同的椭圆.教师用动态几何软件进行展示，全班进行交流，最后讨论椭圆的扁平程度如何刻画.

图3 图4

生：c不变，a越小，椭圆越扁(图3)；a不变，c越小，椭圆越圆(图4).

设计意图离心率的概念比较抽象，如果单纯由教师讲解，学生可能理解不到位，因此把课堂交给学生，让学生自己去实验探究并得出结果，充分反应了“教师为主导，学生为主体”的思想.

师：这只是我们从图象上看到的，能用代数方法证明吗？

学生兴高采烈地进行回答.教师对学生的回答进行点评，并告诉学生椭圆的离心率可形象理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度，这正呼应了前面提到的椭圆与圆的关系.

设计意图整个探究的过程都是学生在展开，这样会让学生有一种成就感，觉得新知识是自己探究学会的而不是教师强加灌输的，可以避免学生的逆反心理.

·知识应用

例1求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、短轴长、离心率和顶点坐标，并画出其图象.

设计意图该题首要目的是向学生说明，解决此类问题先将已知方程化为标准方程，不仅是椭圆，之后要学习的双曲线、抛物线亦是如此.同时也强化了对椭圆的范围、对称性、顶点坐标及离心率的理解.

例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：

②经过点P(-6,0)和Q(0,8).

设计意图两题透射出圆锥曲线两种最基本的题型，都考查了椭圆的几何性质，需重点掌握.

设计意图让学生进一步加深对离心率刻画椭圆“扁平”程度的理解.

·课后探究

基于焦点的光学特征，课后全班学生分小组进行探究讨论，每组选一种实验探究.

课题：设计一个离心率适当的椭球镜.

问题1：将该椭球镜放置在太阳光底下，焦点处会出现什么情况？椭球镜会出现什么情况？

问题 2：在该椭球镜的两个焦点处装置小灯泡并使其发光，会出现什么情况？

问题 3：如果将上述实验中的椭球镜上下取一半，再左右取一半，其他不变，又会出现什么情况？

设计意图此探究正是教材阅读材料中的内容,它介绍数学知识产生的背景以及与数学知识有关的奇闻趣事，或是知识的实际应用和拓展，供学生在课余时间阅读.这些内容不但可以提高学生对学习该知识的兴趣，而且对学生掌握该知识的实际背景有一定帮助.

3.4 评价与反思

(1) 学生梳理知识，教师把知识块整理成流程图

(2)研究展望

师：椭圆的研究经验告诉我们，利用图象和方程来研究曲线的性质，是圆锥曲线性质研究的基本方法.后面完全可以类比椭圆的研究过程来研究双曲线和抛物线，比如基本性质、直线与圆锥曲线的位置关系、光学性质等.当然类比的同时可能又有不同之处，这需要我们之后的学习去慢慢挖掘.

4 结语

做好单元教学设计，对整体把握教学内容很有帮助.教师可进一步解读教材、挖掘教材，明确对哪部分内容该用几个课时、哪部分内容采取哪种教学方式，在教学时自然而然地为学生传递整体把握教材的思想，让学生知道该知识点与之前所学过的知识点或后续所要学习的知识点之间的联系.