例析与文化事物关联的数学文化题

童广鹏

(河南省民权县高级中学 476800)

按照数学文化题的取材进行分类，美术、音乐、电影、舞蹈、建筑、工艺品、符号、玩具等都与文化事物相关联.这些试题将数学文化与数学知识相结合，颇具匠心，与高考文化立意的理念吻合，兹举例说明.

1 与建筑关联的文化题

例1某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如 图1所示．

图1

(1)求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；

(2)车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：MP=(该 点P与桥顶间的水平距离)×(设计图纸上该点处的切线的斜率)，其中MP的单位：m．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力．它们的爬坡能力分别为 0.8 m，1.5 m，2.0 m，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1 m，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？

点评借助数学文化理念，在丈量和设计建筑时选择数学这种科学方法，更是改进建筑规划的手段．从本题可以看出，建筑师们利用数学知识，创造性地改变着建筑风格，改变着世界．

2 与玩具关联的文化题

例2鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来(图2)．若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为．(容器壁的厚度忽略不计)

图2 图3

点评鲁班锁的原理表现出了中国古代百姓的智慧，是榫与卯的有机结合结构，实际的鲁班锁6根方柱其实是这样的：它们的维度都是1×1×4，如图3所示．

3 与文化符号关联的高考题

例3(2019·全国Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成(图4)，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )．

图4

点评《周易》是一部被历代圣贤称为天人之学的文化经典，是古代汉民族思想、智慧的结晶，是“六经之首”、“三玄之冠”、中华民族传统文化及一切学术之源泉，被誉为“大道之源”，其探赜索隐、玄思宇宙的深奥哲学和象数图式，在世界文化史上也独树一帜．它贯通数理、阐发玄远，包罗万象，是民族的传统文化之一.从《周易》中，哲学家看到辩证思维，史学家看到历史兴衰，政治家看到治世方略，军事家可参悟兵法，企业家可归纳经营策略．尤其是《周易》古经所蕴含的人文精神，将会继续指导中华民族的发展，谱写新的辉章．本题将周易的“卦”这个符号引入高考题，其中的人文气息渗透不言而喻．

4 与美术关联的文化题

图5

A.165 cm B.175 cm

C.185 cm D.190 cm

点评维纳斯雕像创作于公元前100年左右，表现的是希腊神话中爱与美的女神阿佛洛狄忒(罗马神话中与之对应的女神是维纳斯)．1820年，该雕像被发现于希腊米洛斯岛(现代希腊语称作米洛)，故也被称作米洛的维纳斯．这座维纳斯雕像是举世公认的女性人体美的典范，这是因为她完全符合黄金分割的人体美比例关系．本题是计算维纳斯本人的身高，而不是雕像高度.根据“断臂维纳斯”所在卢浮宫官网上的数据，断臂维纳斯的身高为202 cm，要比答案高出近30 cm．

5 与工艺品关联的文化题

例5(2019·全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图6)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图7是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．

图6 图7

图8

点评独孤信的多面体煤精印是一个半正多面体，这枚印章高4.5 cm，宽4.3 cm，印面边长均为2 cm，重75.7 g，共26个印面，由18个正方形和8个三角形构成组印．在国外，半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．阿基米德发现了全部13个可能的所谓半正多面体．如将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．类似地，以正方体的各个顶角为圆心，以面之对角线之半为半径作弧截各边，每边得两交点；依交点于面上作与边平行的纵横呈井字形线，共有二十四个交点，即得四十八等边体之角顶，依各角顶削原体，即成四十八等边体．

6 与音乐关联的文化题

点评明朝中叶，皇族世子朱载堉发明了以珠算开方的办法求得律制上的等比数列，具体说来就是：用发音体的长度计算音高，假定黄钟正律为1尺，求出低八度的音高弦长为2尺，然后将2开12次方得频率公比数1.059 463 094，该公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黄钟正好还原．朱载堉的十二平均律第一次解决了自由旋宫转调的千古难题，它的出现对于音乐体系的完善、音乐思维的发展和乐器演奏功能的提高等都具有极大的影响，是世界乐律学史上一个最重大的发明创造．它现在已是全世界音乐界应用最普遍的一种律制，西方把它作为“标准律制”，人们只要利用朱载堉的方法，甚至搬用他的数据结果，就可以制出所期待的任一种符合十二平均律的乐器．