指向“放大版”思考的数学慢教育学习——以“反比例函数的图象与性质”第二课时学习为例*

朱桂凤

(江苏省连云港市凤凰学校 222006)

在慢教育教学法范畴，“放大思考”是实现“过程目标”到“目标过程”的点火器，能让学生知道知识“是什么”“如何是”和“为何是”[1]，进而促进“学会学习”．“放大版”思考包括：放大版经历、放大版体验和放大版表达，是“三教”[2](教思考、教体验、教表达)研究的升级版，指向“做的过程”“想的过程”和“说的过程”，促进概念的同化迁移、顺应迁移和重组迁移及其产生式形成．

“放大版”思考的本质就是放大知识的获得过程、保持过程和迁移过程，是“学会学习”的变量因素，有如海德格尔的看法：“真正的老师让人学习的东西只有学习”．因此，“放大思考”正合慢教育认知目标过程的“目的性”，研究意义可见一斑．

本文是以笔者执教的2019年度“一师一优课”为承担载体，在EN5(希沃白板5)行为的全程参与下，通过“漫溯长篙”行为来“放大思考”的过程，让每个学生的思维抵达“目标过程”(将目标转化为思考过程)，彰显“学会学习”的价值取向．

1 慢教育“学习要素”及其使用说明

(1)学习对象的选择

八年级“类”实验班学生，具有一定的自主研修、信息整合以及过程共生等同频共振能力．

(2)学习内容的说明

苏科版《数学》八年级下册“11.2反比例函数的图象与性质”第2课时，是“数与代数”领域的关键内容，具有承前启后的思维价值，是刻画现实世界的重要模型．反比例函数图象的性质可以通过类比正比例函数图象、一次函数图象的性质获得，是学习“二次函数图象性质”的一个必备基础，也是后续学习高中维度的指数函数、对数函数、幂函数图象性质的先行组织．就这一认识来说，学习不止于“形而下”的器识(反比例函数图象的基本性质)，更在于“形而上”的思想(数学抽象、数学建模、数学非完全运演、数学直观、数学运算等核心素养)．

(3)学习目标的确立及其目标解析

如图1，前一个学习目标属于知识技能范畴(数学器识)，后一个属于方法论范畴(数学思想)．学习重点是反比例函数图象性质的获得、保持与迁移过程，学习难点是反比例函数建模思想的同化、顺应与迁移，难点突破需要在经历中表象、体验中认识、表达中重组．

图1

(4)学习工具的选择及其先行组织

图2

2 慢教育“学习过程”及其目标达成

(1)“放大版”经历，指向“做的过程”，有助于概念的同化迁移

“放大版经历”就是基于学生的学习现实，让学生经历特定的数学活动，获得一些感性认识和数学“共相”，让学生在做的过程中理解数学、在思考的过程中同化概念、在使用概念中将客观经验转化为实践理性．正如奥苏泊尔所说:“如果我不得不将所有的教育学原理还原为一句话的话，那我将说影响学习唯一重要的因素是学生已经知道了什么，根据学生原有知识状况进行教学”．[3]在慢教育课堂中，基于学生知道什么、能思考什么以及充分学习的需要，进行问题创设，让学生在做中合作共生、在用中同化迁移，就是放大思考的常见表现．

图3是基于图2“知识链接块”的需要而生，有助于学生将感性认识上升为理性实践.图4是同化迁移的基本方式，即让学生将获得的认知经验应用到本质特征相同的一类事物中，起到举一反三的作用．

图3

图4

放大版经历的学习过程如下：

生：图象是曲线，x≠0，y≠0；k≠8时，图象在第一、第三象限内，y随x的增大而减小；k=-8时，图象在第二、第四象限，y随x的增大而增大．

师：“y随x的增大而减小”“y随x的增大而增大”这样的描述你认同吗？为什么？

学生在借助课本的条件下达到思维共识：“在每一个象限内”，反比例函数的图象单调递增或单调递减．

教师基于特殊到一般认识的需要，展示图3，让学生在理解再认识的基础上任意写出一个反比例函数关系式，并直接画出草图(不通过列表、描点和连线)．大部分学生都能按要求写出关系式、画出确定条件的函数图象.就展示过程及其现象来说，不同层次的学生基本建立了概念表象．

为了达成同化迁移目标，出示图4．大部分学生都能基于分类建模的需要，给出理解支持的正确答案.这反映出同化迁移在于“放大经历”和“做的悱愤”，同化在经历中发生，迁移在真做中实现.这就是“慢”的智慧．

使用说明“放大版”经历，是慢课堂的一个创造，应具有目的性、实践性和关联性．图3的呈现与解决是图2的目的和目标，旨在让学生在“经历的经历中”理解反比例函数图象性质的客观存在性和合情合理性．图3是同化迁移的实践状态；图2和图4是思维关联的半开放状态，是概念结构形成的通用技术．慢课堂之所以“有质量”，就在于让学生充分经历知识结构的同化过程，形成认知结构产生式，有如法国布尔巴基(Bourbaki)的认识：数学不是研究数量的，而是研究结构的．

(2)“放大版”体验，指向“想的过程”，有助于概念的顺应迁移

在认知心理学范畴，体验是参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验．文[2]显示，通过在课堂上“教体验”，使得学生在具体的情境中感悟事物的本质，形成数学直觉或“数学共相”．数学直觉是体验数学活动的一种结果状态，包括想的过程体验、联系定位过程体验和顺应结构的过程体验，有助于学生在体验中获得数学猜想和基本思路，在猜想中实现认知结构的顺应迁移(新的科学概念的建立过程也是一种顺应的过程)，进而抵达过程目标(数学建模)．

毋容置疑，无论是体验过程、联系定位，还是顺应迁移，都应该采用连贯性(coherence)和一致性(consistency)来分析问题，是慢教育抵达课程目标(模型思想)的实现方式．基于这一认识，在慢教育思想指导下，放大版体验至少涵盖三个层面的意义：一是放大基本问题体验，有助于数学猜想；二是放大问题变式体验，有助于数学判断；三是放大知识迁移体验，有助于数学联系，进而在猜想、判断和联系中增长数学才干和数学潜能．

卢梭在《爱弥儿》一书中指出：学生看不到教育的发生，却在影响人的心灵，帮助人发挥其潜能，这才是天底下最好的教育．这里的“看不到”“影响心灵”“发挥潜能”都可以看作是“放大体验”的正结果，是慢教育的课堂智慧．

放大版体验的学习过程如下：

为了让学生形成问题解决套路和数学直觉，设置了“基本问题”和“诊断训练”两个“思维体验块”，前者见图5，体验过程指向“数学套路产生式”；后者见图6，体验过程指向“数学变式思想”．

图5

图6

针对图5，让学生在具体问题解决的体验中形成数学猜想，将具体体验转化为一般结论，促进问题解决产生式形成．为此，执教者提出了结构顺应问题：已知反比例函数图象上点的坐标，如何确定k值？反比例函数图象所在的象限及其单调性是由哪个要素决定的？如何判断已知点是否在函数图象上？坐标平面内关于原点对称的点坐标有何特点？

学生在联系、体验、猜想、抽象、概括的基础上，形成共同的解题套路：即k值是点的横坐标乘以点的纵坐标；k值的符号决定了函数图象所在的象限及其单调性；如果点的横纵坐标的乘积等于k值，说明点在图象上，如果不等于k值，说明不在图象上；坐标平面内关于原点对称的点的坐标互为相反数．这种由具体到一般的体验过程，促进数学直觉的选择，即反比例函数图象关于原点对称的思想的自然产生．

针对图6，在学生将基本问题的解决套路上升为一般结论后，大部分学生在顺应迁移的帮助下能较好地完成“诊断训练”体验块．个别“学会”能力倾向偏弱的学生，在充分体验中和“思维扶贫”的指导下也获得不同的认知体验，这就是慢教育的课堂精神．在具体学习体验中，为了让学生能够认识“反比例函数图象的轴对称性”，我增设了如下问题：“请在图象上找到点D(-3, -6)，由此你发现点A与点D有怎样的位置关系？请在图象上找出具有类似特征的几对点，你能得到怎样的数学猜想？”这种课堂即时生成为顺应迁移提供了连贯性和一致性条件，这就放大了“想的过程体验”，促进了概念结构的定位联系．

使用说明在使用“基本问题块”的时候，让学生在充分的“做与想”的联系定位中获得数学猜想，放大“是什么”和“为何是”的连贯性思想．针对“诊断训练块”，关注学生“个体体验→事实体验→客观体验”的过程，放大“如何是”和“是如何”的一致性思想．如果说图5是数学猜想的研究载体，那么图6就是数学判断的支撑载体，“基本问题→诊断训练”是顺应迁移的“思维点火器”，是放大体验的思维方式，是慢教育实现“想数学”的导航仪．

(3)“放大版”表达，指向“说的过程”，有助于概念的重组迁移

在学习心理学范畴，“表达”是“知识表征”的替代概念，是数学建模的外在表现形式．放大版表达是通过“说的过程”来实现的，是概念重组和知识迁移的心理前提．在慢教育课堂环境下，放大版思考包括三个层面的意义：第一，通过说解题路径和分析方法，实现模型的构建与结果的讨论；第二，通过说各级各类课堂发现、课中总结和课末小结，落实元认知(“为何是”或“知其所以然”)发展的过程性目标；第三，通过说数量关系、空间形式、知识关联及其关系性理解，落实模型的使用、解释及其拓展功能，实现知识的获得与保持，促进概念的重组和知识迁移．

图7

图8

心理学研究表明，人一般可以记住自己阅读的10%，自己听到的20%，自己看到的30%，自己看到和听到的50%，交谈时自己所说的70%．[4]而“交谈”是数学慢教育放大表达的重要实践形式，是分离属性、构建模型和重组迁移的必经思维之途．为了提高经验的增值性和扩大基本经验的使用范围，笔者在“反比例函数的图象与性质”这节课的末端设置了“链接思考”(图7)和“小结与思考”(图8)两个“说数学”命令．前者指向模型的使用、解释与拓展，促进知识的重组迁移；后者指向“元认知”监控(一般情况下通过“？”来表达)和多感觉整合效应(通过视觉表象、听觉表象和动觉表象的共振来表达)，有助于知识的深度保持与迁移，实现了“知其所以然”的目标过程．

针对图7，笔者采用“小组合唱”和“表达共振”的方式，让学生基于“说数学”，通过分析、话图、讨论、交流、反思、描述等长程表达，形成解题共识和知识迁移．在思考交流过程中，学生的思维表达流畅，数学判断准确、结论鲜明(图7)．这里笔者要强调的一个细节是，在用“函数”命令画图的时候，学生的思维受到严重的挫折，不知道如何删除定义域和值域小于零的函数图象分支．在多位学生思维共振和实践表达的条件下，通过“拖动隐去”的方式解决了不好解决的“话图”问题，这就是慢的机智．

使用说明图7指向模型应用与解释，图8指向“关系性理解”，反映经验的增值性．如果说“函数图象”是“直观经验带”，那么图7就是深度建模的表达载体，图8则是放大反思的行动路径.这种“一带一路”的慢教育思想，是学生形成良好建模的思维方式，需要放大表达成本，那就是“慢说”“慢思”“慢表达”．

3 慢教育“学习反刍”及其放大反思

(1)EN5行为，让“过程目标”落地，突出“慢”在“放大过程”的本体意义

狄金森说：“没有一艘船/能像一本书/也没有一匹马/能像一页跳动的诗行一样/把人带向远方．”EN5行为就是一本智慧之书，能让学生在“放大过程”中抵达过程目标(反比例函数图象的性质理解与把握)，实现知识的获得保持与迁移；“漫溯长篙”就是跳动的诗行，能让过程目标落地(数学建模)，走向慢教育远方(学会学习)．

(2)“放大版”，让“目标过程”生根，突出“慢”在“放大整合”的实体意义

南宋学者叶适说：“读书不知接统绪，虽多无益也．”如果把这里的“放大版”解释为“读思考之书”，那么放大整合可以理解为“接目标过程的统绪”，也就是将目标转为具体的认知过程，而每一个过程可以用“慢”来表达，这就是最好的学习.“慢”让学习目标生根、拔节、扬花，促进“学会学习”的充分性，突出“慢”在整合、“慢”在放大思考弹性空间．