基于案例与问题的解析几何教学思考

唐俊涛

(江苏省吴县中学 215151)

解析几何的本质是借助代数的方法研究几何问题，所以对学生运算能力要求较高，学生在学习过程中常常抱怨：“方法想想应该会，但是算算就害怕.”在平时课堂教学中，教师变身为“救火员”，将冗长的解答过程进行板书，学生机械式地摘抄.当学生轮到独立去完成运算时就难以招架，寻求不到出口.解析几何在学生脑海中自然就留下“繁琐的计算”“望而生畏”等印象.

佐藤学曾说过：“教育往往要在缓慢的过程中才能沉淀下一些有用的东西.”解析几何教学更是如此，思路的探寻并非一蹴而就，需要教师教得慢一点，学生学得缓一些，才能让解析几何教学扎实地向前推进，让学生不再畏惧解析几何这只“纸老虎”.笔者发现，在解析几何教学中应该突出概念教学，加深圆锥曲线的定义、方程及其性质的教学，对一些常见问题的通性通法需熟练掌握，这成为突破问题瓶颈的关键点.

1 问题与案例

下面就结合一些具体的问题将解析几何教学进行分类汇总.

1.1 突出基本量，找到解题的关键

解析几何是高中数学知识点中重要的一个板块，它的特点是数与形兼备.在数形结合的思想下，以坐标作为解题根本立足点，而对坐标的处理无非就是“设点”或“解点”.学生的受困点在于解题思路的获取、解题方法的选择、数学工具(参数方程、向量、极坐标)的应用等方面.如何准确找到基本量也就成为了解题的关键.

图1

处理此题不仅可通过设直线AB，还可直接设点A，B的坐标.这也是解析几何问题中学生务必关注的地方，需要学生数学感觉要好、选择切入点的能力要高，才能有效地避开大量运算，进而不断地提升学生思维.

处理这类问题，教师应俯下身来等学生，让学生参与解题过程，发现解题中的关键节点，这才有助于学生真正掌握解题思路.若教师将解题过程都铺设好，让学生按照既定路线前行，则学生表面是听懂了，但遇到问题时却又会“不知所措”.所以课堂并不是让学生听懂，不是让学生按设定好的方式去做，而是让学生学会独立去探究问题、感悟过程.

1.2 重视概念理解，把握解题“命脉”

解析几何的解题思路应该是学生自主构建、探究后获得的，并非是教师强行灌输后获得.虽然通过教师的点拨，解题往往会变得较为顺畅，但学生独自面对问题时就会无从下手，不能寻找到解决问题的“命脉”.教师急于求成，课堂上过多地重视解题数量，而对问题本质、概念本身讲解缺乏耐心，致使学生理解并不透彻.这种看似高效的课堂并不能帮助学生真正地提升思维.

案例2已知N为抛物线x2=4y上的任意一点，M为圆x2+(y-5)2=4上的一点，A(0,1),则2MN+MA的最小值为.

图2

本题就是阿氏圆的逆用.学生对阿氏圆并不陌生，但是对其应用却往往一知半解，更别说逆用了.因此，不能让铺天盖地的练习将原有的教学目标淡化.能力的提升、素养的形成并非是在题海中达成的.教学中，教师应立足教材，深挖概念、公式、定理形成的“来龙去脉”，让课堂的推进变得自然，让方法的选择不再显得“突兀”.这样学生不仅能够听懂，更能够熟练自然地掌握.

1.3 关注几何性质，简化繁琐运算

解析几何具备了代数、几何的双重身份，问题的表征往往以数的形式给出.若在一定条件下将“数”转化为“形”，从形的角度再分析，则会使原问题峰回路转，大大降低运算成本，达到意想不到的效果.

案例3(2013年江苏高考17题)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x-4.设圆的半径为1，圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

在解决解析几何问题时，如能突出图形的几何性质，一定能降低数学运算的要求.在教学中教师要让学生善于发掘问题中所蕴含的几何条件，将“数”化为“形”，一定程度上也加深了学生对数形结合的深入理解.

1.4 数学问题需要适当发散联想

在解题中学生常会遇到一些陌生问题，此类问题的切入点往往至关重要，教师需要引导学生思考问题的结构和问题的源头，对问题也要进行适当的联想.由数思形、由形想数，这样才能将学生思维层次提升，逐步深化.通过发散联想，最终将教学目标聚焦在学生素养能力的提升上.

图3

高三阶段练习多、难度大，学生往往把握不住问题切入点，对条件和问题的敏感性不够强，缺乏独立解题的主观能动性.所以启发联想是高三课堂需要重视的关键.教师需要从不同视角、不同高度，高屋建瓴地带领学生抓住问题的核心，理清问题的本质，找准解题的突破口，找出问题间的共性，使学生的思维、素养进一步地强化.

1.5 熟练掌握同类题型的通性通法

章建跃博士曾经说过：“通性”就是概念所反映的数学基本性质；“通法”就是概念所蕴含的数学思想方法.由此可见，“通性通法”就是要立足于数学概念的本质，利用概念、定理、公式等手段来解决具体问题的常见思路，它具备了一般性的思维规律.所以，“通性通法”不仅仅针对一道题，还可以用来解决一类问题.如果能掌握这类题型的解题方法，等下次遇到类似问题的时候，就可以省去盲目试探方法的时间，直击问题的核心.

(1)求椭圆的方程；

(2)点M(x0,y0)在圆x2+y2=b2上，且点M在第一象限内，过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点，问F2P+F2Q+PQ是否为定值？

图4

综上,F2P+F2Q+PQ=4.

实际教学中，教师应该让学生从多个解题思路中分类汇总、归纳总结出解题的通性通法,借助对典型问题的变换和拓展引申，让学生对问题深入地理解思考，拨开问题的表象，探究问题的实质，从而发现内在的联系，寻找出规律，触类旁通、举一反三.

1.6 关注相似图形间的共性及内在联系

椭圆与圆是一对孪生兄弟，相互之间有着很多共性.圆中所具备的结论，往往在椭圆中也有着很多类似的结论，如果能够发现其中的内在联系，那么在解决问题的过程中定会给我们带来许多便利.

图5

(1)求椭圆E的方程；

(2)直线l:y=-1交y轴于点M,过点M作直线l1交椭圆于点C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0), 过点M作直线l2交椭圆于点G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0),直线CH,GD分别交l于点P,Q,求证：MP=MQ.

由本题的图形不难发现，该题正是著名的圆中蝴蝶定理的变形.“蝴蝶定理”是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一,由图形像一只蝴蝶而因此得名.这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学爱好者研究，在考试中有各种变形.通过投影变换，我们可以将蝴蝶定理推广到圆锥曲线中.如果教师在教学中能多挖掘这类相似图形的问题，那么学生学习的兴趣也将被激发，学习的主动性也会进一步提升.兴趣是学好一门课最重要的保障，只要能保持良好的学习主动性和积极性，那么学好解析几何甚至学好数学都将变得并不是那么难.

2 教学过程中的注意点

教师在讲解问题时所想到的“思路”“技巧”，常常是事先做好了充分准备的.所以课堂上教师都能把问题讲得清清楚楚、明明白白，思路的探究过程似乎每一步都是非常地顺畅.学生上完课后似乎对该类问题理解得很透彻，但当他自己独立面对问题，需要自主选择解题思路时，却并非如此顺畅.那么在实际教学过程中教师又应关注哪些方面呢？

2.1 教学过程中体现“慢”的艺术

解析几何学习过程中学生抱怨的“难、烦”，其中一个重要因素就是教师讲授太快，学生得不到充分时间进行消化，思路的选择均是被告知的，不利于学生自己寻找问题突破口.解题思路是建立在对问题理解的基础上，而理解数学问题并非是被告知的，只有学生对问题真正领悟透彻了，数学思想方法才能植入学生的思维.

现阶段的数学教学中，教师往往是将数学解题方法、数学思想强行地告知学生，更多时候是针对某类问题总结了多种方法，让学生记忆，机械地套用.这样的教学缺少了学生参与的环节，忽视了教学的主体是学生.所以数学教学需要改变，让学生多点参与，少点被告知的结论，思想方法要多让学生自己感悟.例如，离心率问题是圆锥曲线中重要的一个量，它主要反映了椭圆“扁平”程度、双曲线的“张口”大小.研究圆锥曲线的离心率问题往往涉及圆锥曲线的定义、几何性质、位置关系，同时解决方案中也会夹杂函数、三角、向量以及不等式等知识，这就对学生的综合应用能力和探究优化解题方案提出了很高的要求.而这些能力的提高一定是在思考感悟过程中缓慢形成的.

2.2 教学过程起点要低，落点要高

“起点低”就是要充分考虑到学生现有的水平及认知能力，把学生实际情况作为出发点，将需要学生掌握的知识点呈现给学生，让他们能轻松地掌握这些内容，同时也让其有继续向下学习的信心和动力.不能以难题代替知识的掌握和巩固，这些难题会一次次打击学生学习的积极性，且让他们在心理上对所要学习的内容产生恐惧.长此以往还会让其产生厌学情绪，导致解析几何变成了“老大难”问题，甚至对数学学习也缺乏自信心.

“高落点”是在解决好上述基本概念的基础上，要让学生敢于探索有难度的问题.教师通过变式、探究式的教学帮助学生打开思路，引导学生思考、发现问题的规律和本质，多角度地尝试研究问题，优化解题思路，总结感悟解题思路.让学生的课堂学习多点收获，进而让他们学得更有信心，素养能力的培养和提升也就水到渠成了.

2.3 教学方式多变,顺应高考步伐

数学教学的最终目标还是要指向高考的，课堂的落脚点一定要有“高度和深度”.当然落脚点虽高，也要让学生知道，无论多么高深的高考题，它的来源始终是教材(源于教材又高于教材).

现阶段高三的课堂教学普遍利用的是例题式、变题式教学，这也是为了顺应当下高考.但是随着新课改、新高考的推进，高三教学也应该向培养学科核心素养的方向积极转变.变题教学要重视变式的探究性，过程中要突出对问题本质的理解，才有利于学生知识的迁移能力和学科素养能力的提升.

这样的意识获得需要教师在平日教学中多多放手，将课堂还给学生.毕竟学生平时不思考，当其独自面对问题时，就算给了时间让他们思考，学生也不知从何入手，只能像只“无头苍蝇到处乱撞”，就算偶尔找到了解题方法，也只能是“瞎猫碰到死耗子”，并非必然，学生实际的解题能力、思维能力并不会有所提高.

2.4 让学生学会思考，探寻思路

高三复习的过程中，常会有一类题型，学生多数时候找不到解决问题的着眼点，会受到一些无关信息迷惑，或者无法察觉所求问题与熟悉问题间的联系.解决此类问题的教学方式，就是通过变式训练，让学生体会复杂问题与基本问题的联系和区别，引导学生独立探求解决问题的思路.

学生感觉解析几何问题比较难寻求思路，是因为多数时候学生只会模仿教师的解题过程.教师为了多讲些习题而一味地给学生灌输，没有让学生独立探寻思路形成的过程.而这样的学习只会让学生的问题越来越多，到最后只能放弃思考，变得越来越不会学习了.

教师应该多点耐心，多给学生思考的空间，鼓励学生一步一步地思考，即使该思路是错误的，也应该帮助学生了解错误的缘由.这样才能逐步让学生的思维空间得以扩张，学习能力得以发展.

3 结语

以上这些是对解析几何教学的思考，我们还可将其推广到整个高中阶段的数学教学中.好的教学方式可以起到以点带面、举一反三的效果，同时通过这样的数学学习，也能促进学生的思维，提高其学习的积极性和主动性，让其在潜意识中不再害怕数学.在此过程中慢慢引导学生主动探究，长此以往，学生的数学核心素养自然就在潜移默化中得到了提升.这不失为一种有效且高效的数学教学.

课堂上教师不仅要关注数学知识的基础性，还应通过不同的教学形式拓展学生思维，关注思维的创新性，将学生引到独立探索之路上.课堂教学始终要聚焦在提升学生的核心素养上，立足基础，但是又不拘泥于基础，要提高最终教学的落脚点，充分挖掘数学中蕴含的育人素材，在提升学生思维能力的同时，也不断提升我们自身的教学品味.