合情推理猜结论，问题教学觅因果——基于合情推理的初中数学问题串教学

林 琪 虞秀云

(江西师范大学数学与信息科学学院 330022)

史宁中教授把数学的基本思想聚焦于抽象、推理、模型这三个方面.他认为数学教学的最终目标之一是会用数学的思维思考现实世界，其中,数学的思维就是推理.[1]由此可见，推理是学生必备的数学品质之一，应贯穿学生数学学习的整个过程.其中的合情推理能产生新知识、新思想、新理论，更有学者认为教学生合情推理、教会学生猜想远比教学生论证推理要有意义得多，[2]而许多教师往往忽略了合情推理.在教学过程中，数学问题串的运用是引导学生进行合情推理的有效途径之一.本文基于合情推理对中学数学问题串设计进行了探讨.

1 基于合情推理的数学问题串教学设计

合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉推断某些结果.常见的合情推理有归纳推理和类比推理.笔者结合中学数学教材，分别以上述两种形式对问题串在合情推理中的应用加以说明.

1.1 归纳推理问题串的设计

归纳推理是一种由个别到一般的推理，是从认识研究个别事物到总结、概括一般性的推断过程.

案例1多边形的内角和

问题1 长方形、正方形的内角和是多少度？(360°)

问题2 一般四边形的内角和也是360°吗？

设计意图从学生熟悉的长方形、正方形(问题1)到一般的四边形(问题2)，这种从特殊到一般的问题研究方式符合学生的认知思维，为之后探索多边形的内角和奠定基础.

问题3 你能证明问题2吗？

方法1 (测量法)学生动手操作,用量角器测量出四边形四个角的度数，并计算内角和.教师利用几何画板演示任意一个四边形的内角和(如图1).

图1

方法2 (割补法)如图2，对于任意一个四边形ABCD，连结对角线AC，将四边形分成2个三角形，所以四边形的内角和为2×180°=360°.

图2

设计意图在问题2的基础上教师继续追问，让学生产生认知冲突，为之后计算多边形的内角和奠定基础.方法1中学生动手操作，亲身体验四边形内角和的探究过程，培养动手操作能力.方法2中的割补法渗透了化归思想.而一题多解又有利于发展学生的发散思维.对比两种方法，得到最优方法.

问题4 试用相同的方法得到五边形、六边形的内角和.

如图3，从五边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，所以五边形的内角和为3×180°=540°.

图3 图4

如图4，从六边形的一个顶点出发，可以作3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，所以六边形的内角和为4×180°=720°.

问题5 任意一个n边形的内角和是多少度？((n-2)·180°)

设计意图问题4和问题5，类比四边形得到五边形、六边形的内角和，从这些探究中归纳推理出多边形内角和的规律，从简单到复杂，从具体到抽象.

1.2 类比推理问题串的设计

类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理.波利亚曾说过：“类比是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉.”

案例2从分数到分式

问题3 如何命名上述新式？(分式——类比分数的命名).

设计意图问题1到问题3的问题串，不仅用类比的方法引出分式，还从整数到分数、从整式到分式，渗透了代数式的发展过程.同时，波利亚说过：“学习任何东西的最好途径是自己去发现.”这里不直接给出分式的概念，而是引导学生自主发现、建构概念，有利于发展学生的探究和创新能力.

问题4 回顾一下，我们是怎么学习分数的？(分数的概念、分数的基本性质、分数的运算、分数的应用)

问题5 我们将怎样研究分式？(分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、分式的应用)

设计意图问题4和问题5从分数的学习过程类比得到分式的研究方法，引领学生完成本章知识的建构，使学生对本章知识有一个整体感知，体会数学研究的基本套路，这对于上好章起始节至关重要.章建跃博士在不同场合多次强调:“数学教学要尽可能让学生体会数学研究的‘基本套路’.因为‘基本套路’对于不同的数学对象的研究具有普适性，显化‘基本套路’不仅能在方法论的层面带来示范作用和启迪效果，也有助于学生的知识结构化、系统化.”[3]

想一想：这些新式子有什么共同的特征？

(①形式：类似于分数，含有分数线；②分子分母都是整式；③分母中含有字母.)

之后，给出分式的定义及辨析.

问题7 说一说：分式与分数的区别联系？(分式和分数相比，分母不同：分数的分母是整数，而分式的分母是含字母的整式.因为字母可以表示任何一个数，所以分数是分式的特殊化，分式是分数的一般化.)

问题8 上述分式中能取任何实数吗？(与分数类似，分式要有意义，分母不能为0)

设计意图从问题6到问题8，通过类比分数的定义，对新式进行观察、抽象概括共同特征，得到分式的定义.同时，分析分式和分数的联系，能深化分式的概念，自然地引出分式有意义的条件，也为之后学习分式的性质和运算做铺垫.

2 对基于合情推理的数学问题串设计的思考

以上两个案例反映出问题串在培养学生合情推理中的重要性和合理性.问题串已普遍应用于课堂教学，而在问题串的设计中要注意以下几点.

2.1 问题串的设计要紧扣合情推理的内容

运用问题串是为了引导学生进行合情推理，因此问题串的设计必须以发展合情推理为出发点和最终归宿.例如案例1中的问题1到问题4，表面上是为了引导学生得到四、五、六边形的内角和，实则为引导学生发现规律，大胆猜想n边形的内角和公式，使合情推理顺理成章.

2.2 问题串的设计要立足于学生的认知起点

合情推理不是胡乱猜想，必须有一定的依据，这个依据必须是学生已知的、能接受的.因此，在设计问题串时，必须立足于学生的认知起点.例如案例2中问题1到问题8的设计，从学生熟悉的整数到分数得到基本思路,再引导学生从整式类比得到分式，使新概念的形成自然连贯.

2.3 问题串的设计要处理好预设与生成的关系

学生不是演员，没有剧本，何况学生之间存在差距，教师设计的问题串再符合学生的认知起点也无法保证学生完全按预设答案回答.因此，教师应随机应变，按学生的答案及时更改子问题.例如案例1中，问题3在设计时预设了两种解答，但学生思维开阔，极有可能有其他方法.此时，教师应该即刻辨别新方法能否用于任意多边形内角和的推导.如果能，则按学生的思路继续推导;不能，则需引导学生改变思路，以达到教学目标.

3 结语

数学教学的目标是培养学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，这是数学教学活动的出发点和最终归宿.有“推理”的课堂才有内涵、有灵魂，有“问题”的课堂才有交流、有生机.教师应在课堂上合理地使用问题串，有意识地培养学生的问题意识，通过问题串“借情猜理”，引导学生合情推理，以期达到“通情达理”.