GeoGebra平台支持下一类直线恒过定点问题的探究*

钟三明 (广东省广州市真光中学 510380)

1 问题的提出

解析几何中的定点问题，历来是高考重要考点．此类问题通常出现某些特殊直线恒过定点的问题，笔者在高三一节试卷讲评课中，针对这一问题，进行了探究和推广．

(2)过点T(4,0)作斜率不为0的直线l与(1)中的轨迹C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为D，证明直线BD必过x轴上的一个定点．

笔者留意到，本题的第(2)问的结论中，可以证明得到：当直线l绕着点T旋转并与椭圆C相交时，直线BD恒过定点(1,0)．这一结论让人有推广它的冲动，因此笔者就此提出了以下两个新的问题．

问题3若将椭圆改为双曲线，则点T在什么位置才能使直线BD过定点？换成抛物线又如何呢？

2 基于GeoGebra的探究

问题2将椭圆以及点T一般化后，由于涉及的运算和直线BD的方程较为复杂，对确定是否过定点有一定的干扰，因此借助GeoGebra平台，通过实验观察结论是否成立，为后面的代数证明提供直观化的思路支撑．

图1 图2

实验2 改变点T在x轴上的位置，发现当点T在椭圆外部时，直线BD过的定点在椭圆内部(图2)；当点T在椭圆内部时，直线BD过的定点在椭圆外部，而且定点都在x轴上．继续观察定点坐标，发现定点的横坐标随着t的增大而减小，并且与t的乘积为定值a2，改变椭圆的方程同样有这样的结论．

3 推广与证明

通过以上两个实验探索，笔者对这类定点问题进行了推广．

(证明类似于定理1，过程略)

将双曲线换成抛物线，经过探究，也可得到直线BD恒过一定点(图略)．从而得到

定理3已知抛物线y2=2px和定点T(t,0)(t≠0)，过点T的直线l交抛物线于A,B两点，D为点A关于x轴的对称点，则直线BD恒过定点(-t,0)．(证略)

图3

继续用GeoGebra平台探究，用“极线/径线”工具绘出极点T(t,0)关于圆锥曲线的极线，发现极线恰好经过直线BD经过的定点(如图3所示，以椭圆为例)，因此可得到更一般的

定理4已知圆锥曲线C和焦点所在对称轴m上异于曲线中心的一点T，过点T的直线l交C于A,B两点，D为点A关于m的对称点， 则直线BD恒过以T为极点的对应极线与对称轴m的交点．

4 反思

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出，“提升信息技术的使用能力”“通过信息技术与课程的深度融合以及课程资源开发的多样化实现”．这就需要合理运用信息技术，以此提高数学教学的有效性．在教学过程中，把信息技术与数学课程进行有效的整合，能够将枯燥的、抽象的知识变得生动有趣、直观可感，调动了学生的学习兴趣和积极性，有助于树立学好数学的信心，同时增强课堂中师生之间的互动以及和生生之间的讨论交流．

通过用GeoGebra平台探究，能直观展现圆锥曲线中和谐、优美的结论，体现解析几何中蕴含的动中有静的几何特性，通过探究，从中发现规律，进而为我们进一步用代数方法证明结论提供了可靠的保障．圆锥曲线中还有很多隐藏的美妙定理，课堂上我们可以借助GeoGebra平台进行实验探究，让学生主动发现问题，解决问题，发现和体会数学的美，这对师生来说何尝不是一件有趣而又有价值的事情，它必将激发学生学习解析几何的主动性和积极性，有利于培养学生逻辑思维、探究学习、空间想象、创新和实践等能力，有助于提高学生的数学学科素养．