“数学写作之初见建模”教学设计及思考

2020-04-22仓万林江苏省江阴市要塞中学214432

中学数学月刊 2020年1期

仓万林李红 (江苏省江阴市要塞中学 214432)

2019年3月5日至6日，第三届“数学写作”论坛暨2019年“数学写作”教学研讨会在江苏省江阴市要塞中学进行,来自全国10多个省份的高校、中小学、出版社、杂志社等60多家单位的150余名数学教育工作者参加了活动．论坛由“数学写作”学校联盟和江苏省普通高中数学课程基地联盟主办，主题是：课程与写作．在教学研讨环节，“数学写作”学校联盟副秘书长、江阴市要塞中学李红老师讲授了“数学写作之初见建模”展示课，受到了听课教师与专家的一致好评.下面呈现本节课的教学设计及对于本节课的思考，恳请各位同行和专家批评指正．

1 教学设计

1.1 起：阅读走起

首先教师和学生一起欣赏“数学写作”学校联盟举办的“第二届中学生数学写作竞赛”一等奖作品——夏欣雨同学的数学诗：《冥想》[1]，请学生朗读并谈感受．

除了数学诗歌和解题研究型数学写作外，数学建模也是常见的数学写作素材．数学建模是指对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题．在平时学习中，应用问题就是简化版数学建模的最常见表现．

设计意图数学写作离不开数学阅读，阅读是起点．诗歌营造了数学阅读和欣赏的氛围．同时，该数学诗歌的内容和意境对后续内容有铺垫作用．

1.2 承：精打细算

例1数学家王元院士买瓜的故事

据说王元先生家楼下有个西瓜摊，大瓜三元一个，小瓜一元一个．王元先生让太太买大的，王太太买了两个大瓜，又有些犹豫：“大的比小的贵两倍呢……”王元先生笑着说：“大的比小的合算！”王太太点头又摇摇头：“恐怕还是大的吃亏．”

结合故事，试分析王元先生主张买大西瓜的数学道理．

设计意图挑选西瓜有学问，这是一个数学建模问题，从“西瓜瓤与整个西瓜的容积比”角度分析买大瓜还是小瓜合算．会用数学的眼光看问题，在实际生活中发现模型，是数学建模的基础．对该模型的解读有多个不同的角度，在后面的教学思考中我们有单独的说明．

例2“双十一”期间，小明同学在商场看中一件T恤，标价398元；一条牛仔裤，标价598元.若商家不实施优惠，那么他购买两件物品需付款996元．常见的优惠活动：第一种,每满100元送50元抵用券，抵用券不参与送券折算；第二种，单件物品满100元立减50元；第三种，所有物品 5.5折．分析这几种方式的优惠比例差距有多大．

补充问题：商家的精明还不止这些，无论是电商还是传统商家，都会在活动以前很“善解人意”地将价格上调几元．比如，活动前牛仔裤601元，T恤401元．

然后给出几个以实际生活为背景的数学写作参考选题：(1)打车方案或者拼车方案；(2)各种常见的利率问题；(3)常见网络红包的分布问题；(4)花呗消费是否合算的问题；(5)房贷或者车贷问题；(6)常见彩票的中奖概率问题．

设计意图通过生活化的例子，从抽象到具体，从模型的比较中体会精打细算背后的数学道理．同时给出对建模题材数学写作的一般建议．建议学生先学习几篇学长学姐们发表的作品，看看其他同学是怎样写的，选好材料后应找准问题背后的数学模型本质，用简洁而有说服力的图表或数据说明问题．

1.3 转：考场传真

图1

例3(2009·海南卷理)如图1，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M,N间距离的步骤．

分析问题的课本来源(如苏教版高中数学必修5第21页“探究·拓展”第9题[2])并给出表1．

表1 2009年宁夏高考数学(理科) 机阅卷题目的得分比率

设计意图本题的设计方法较多，思维局限性小、容易上手，不同基础的学生都可以做，但方案设计的优劣体现了较强的选拔性功能．本题满分12分，作为解答题第一题，从统计表可以看出学生的得分情况和我们的预期有较大差别.不会数学建模，后果很严重！同时，得分不理想的重要原因是学生不会表达.这种综合能力的培养是简单的机械训练很难做到的，也从反面说明了数学写作的重要性．

1.4 换：脑洞大开

例4有一次数学测验(满分100分)的成绩不理想，现在要把成绩处理一下，让50分变成60分.你有什么好主意？请给出设计方案．

按小组预习准备，课堂上展示发言．用软件GGB检验其中一种情况，指出可以借助现代教育技术手段优化方案，剔除不满足实际问题背景的建模方案．

设计意图当数学建模的方向不定时，应在分析函数性质的基础上尝试构造．还可以借用技术手段，比如用软件GGB，通过拟合命令，拟合不同的函数．从图象中可以看出，建模方案差异很大，可能出现许多不确定的情况，课后可以继续优化设计方案．

1.5 课堂小结

本节课我们进一步了解了数学建模的一般步骤，并欣赏和初步讨论了几则以数学建模为中心的应用问题．建模题材数学写作的核心在于找出实际问题中的数学模型，用数学的思维审视问题，通过计算、推理等说明问题．数学建模类型的数学写作更能全面体现“数学写作”文理兼通的课程特征，将学以致用落到了实处．

1.6 课后作业

1.选择今天课上的一则问题，设计解决方案，完成整个讨论过程和方案的作业报告．

2.自选方案，完成一篇以数学建模为中心的数学小论文，选用函数模型不限．

图2

3.(南通市2018届高三数学第二次调研测试题)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(图2)，并沿虚线l1和l2裁剪成A,B,C三个矩形(B与C全等)，用来制作一个柱体．现有两种方案：

方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；

方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．

(1)设B,C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；

(2)设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

2 教学思考

2.1 关于背景

本节课可以视为数学写作进课堂的系列之一．2017年5月，“数学写作”学校联盟启动仪式上，李红老师执教了“数学写作指导1”一课．其教学设计参见文[3]．2018年9月，“数学写作”学校联盟2018年教学研讨会在江苏常州溧阳市埭头中学进行．李红老师执教了“解题研究型数学写作欣赏与指导”一课，其教学设计参见文[4]．

2.2 关于选题

数学建模因其有广泛应用的特征，也是我们在数学写作活动中关注和重点研究的内容之一．数学学科核心素养中的数学建模、数据分析等直接和数学应用问题密切相关．在数学教学活动中，加强建模能力的培养，“有利于学生养成用数学的眼光观察现实世界的习惯，有利于学生发展用数学的思维分析实际问题的能力，有利于学生形成用数学的语言表达实际问题的能力．”[5]王尚志先生对数学模型进行了这样的概括：实物情景—实际问题—数学问题—数学模型—数学结果—判断是否合乎实际，如果得到的结果不合乎实际，可能在某个环节出现问题，再进行修正．

本节课的主题为初见建模，侧重于数学建模的前面几个环节，同时兼顾实际教学情况，试图在数学写作指导和实际教学情况两者之间达到平衡；例3的应用问题就是高考真题，作业中也有模拟题出现．整节课从结构而言，数学欣赏和数学写作作为一明一暗两条线索交替出现．

2.3 关于细节

数学建模问题中素材或者例题的选择是非常重要的．正如网红电视系列片《舌尖上的中国》中反复强调的:美食的关键是什么？食材！食材！！还是食材！！！以例题1(数学家王元院士买瓜的故事)为例，从当初的选择材料到最终版本，一共经历了以下几个版本：

当初我们看到这个故事后感觉非常好，不但延续了前面数学欣赏的风格，而且有故事情节，也有建模的背景．

(2)王元先生家楼下有位卖西瓜的魏师傅，他卖西瓜不称重，大瓜三元一个，小瓜一元一个．由于大瓜小瓜差别不大，很多人都拼命地往小瓜那边挤．王元先生让太太买大的，王太太买了两个大瓜，又有些犹豫：“大的贵两倍呢……”王元先生笑着说：“大的比小的合算！西瓜吃的是容积，不是面积．小瓜的半径不到大瓜的三分之二，小瓜的容积不到大瓜的30%，当然买大的．”王太太点头又摇头：“大西瓜皮厚、小西瓜皮薄，算容积，恐怕还是大的吃亏．”

当初的欣喜马上就结束了，原版的故事风格不太适合教学中例题的规范，数学课上可能少了数学味道．

(3)王元先生家楼下有位卖西瓜的魏师傅，大瓜三元一个，小瓜一元一个．王元让太太买大的，王太太买了两个大瓜，又有些犹豫：“大的贵两倍呢……”王元先生笑着说：“大的比小的合算！小瓜的半径不到大瓜的三分之二.”王太太点头又摇头：“恐怕还是大的吃亏．”结合故事，试分析日常买西瓜的数学道理．

前面的案例，在篇幅上已经有很大的压缩，但显然有很多容易引起误解的要素在里面，容易分散思考的方向．

(4)王元先生家楼下有位卖西瓜的魏师傅，大瓜三元一个，小瓜一元一个．王元让太太买大的，王太太买了两个大瓜，又有些犹豫：“大的贵两倍呢……”王元笑着说：“大的比小的合算！”王太太点头又摇头：“恐怕还是大的吃亏．”结合故事，试分析买西瓜中的数学道理．

和前一个版本相比，这次又删除了大小西瓜的半径之比，贴近后面的建模方向，瓤的体积和瓜的体积之比．

这四个版本的素材打磨很典型，我们前后花了3个多月时间．考虑到实际情况，最终的版本仍然有很多的遗憾．选西瓜问题，实际要考虑的因素有多个不同的视角，比如西瓜皮的厚度、瓜皮和瓜瓤的密度差异等，是一个有较高开放度的问题，完全可以作为单独的建模问题来分析．