大陆和台湾高中数学教材统计习题难度比较

许 团 (南充科技职业学院经济管理系 637260)

李秀萍 (四川省简阳中学 641400)

覃 淋 (首都师范大学数学科学学院 100048)

教材是教师教授和学生学习的主要依据，其重要性不言而喻．近年来，中小学数学教材的比较研究已成为数学教育研究一个热点[1].一般而言，数学教材由正文、例题和习题三部分有机组成．习题的编排在一定程度上能反映教材的特征和教材编写者对课程标准的理解和认识，因而对数学教材中习题的研究是教材研究的一个重要方面．目前中小学数学教材研究大都集中在代数、几何等方面，很少涉及统计；少数一些相关文献，也主要集中在概率，或是将统计和概率放在一起进行研究．

现代社会是一个信息化的社会，大部分信息都以量化的形式进行传播，强调用数据说话，统计学正是收集和分析带随机性误差的数据的一门科学[2]．随着新课程改革的持续深入进行，统计越来越受到重视．《义务教育数学课程标准(2011年版)》将发展学生的“数据分析观念”作为数学课程的重要目的之一．《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出了六大“数学核心素养”：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，其中的数据分析能力是针对统计的．同时，统计也是很多国家中小学数学课程的重要组成部分[3]．美国著名统计学家C. R. 劳认为[4]：“在终极的分析中，一切认识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的基础上，所有的判断都是统计学．”统计的重要性可见一斑．

统计作为我国课程改革中变化较大的内容之一，其思维方式和传统的代数、几何、概率等内容有所不同，是需要更多关注的一个研究领域．很多研究表明，教师对统计和概率的认识并不完全正确，理解也不够深刻，在教学中得到的重视程度也还不够[5]．基于此，本研究选择了统计习题作为研究主题，通过统计习题难度测量模型，对中国大陆和中国台湾高中数学教材中统计习题的难度进行比较研究，希望能为我国高中数学新教材统计习题的编写提供一些参考意见．

1 研究对象及研究工具

1.1 研究对象

考虑教材的使用范围及教材是否能体现所在地区课程标准的理念，结合教材的出版时间，确定了表1中所列的数学教材[6-9]．

文中统计的习题包括：教材正文的练习，每一节的习题以及章末复习题．中国台湾高中数学教材中的练习包括课堂讨论、随堂练习、课堂活动三类．一个题目如有多个小题，按题目中小题数目计算；一个题有连续多个问题，但没有分成(1)、(2)、(3)……，仍作一个题目计算．另外，统计习题数目时包括了属于正态分布内容的习题．

1.2 统计习题难度测量模型

结合“标准”中对统计的要求、统计习题的特征以及所研究教材的编排特点，选择了文献[10]中建立的难度测量模型，具体见表2．对于习题难度的详细计算方法可以参见文献[10]，这里不再重复．基于统计习题难度模型，采用定量分析与文本质性分析相结合的方法进行比较．

2 结果分析

2.1 统计结果

依照表2 给出的统计习题难度模型，统计教材中各难度因素处于各水平的习题数量，得到表3．

2.2 结果分析

这里先对每一个习题难度影响因素进行定量分析和定性描述，然后结合5个难度因素从综合难度上进行比较分析．

(1) 习题背景因素上的差异

从表3可以看到，中国大陆和中国台湾教材中，不涉及实际背景的习题分别占17.46%，26.73%，与个人生活有关的习题分别占16.67%，32.76%，属于“公共常识”的题目分别占49.20%，38.79%，属于“科学情境”的习题分别占16.67%,1.72%．

表2 习题难度测量模型

表3 教材中各难度因素的统计结果

在背景因素上统计结果的折线图如图1所示．

图1 背景因素上的比较

从图1可以发现，在“无背景”水平上，台湾教材所占比例高于大陆教材．在“科学情境”水平上，大陆教材几乎达到了17%，远高于台湾教材．在“个人生活”水平，人教A版不到17%，远低于台湾教材所占比例．在“公共常识”水平，大陆教材差不多达到了一半，台湾教材只有不到39%．

与原人教版相比，新版大陆教材在背景因素上有了较大的提高，这可能和“标准”的大力强调有关．原人教版在习题背景的设置上比较欠缺，几乎一半的习题都是“纯”数学题．但可以看到，在人教A版教材中，四种水平的习题分布也不是很均匀，属于“公共生活”的习题比属于“个人生活”和“科学情境”背景的习题3倍还多．和台湾教材相比，属于“科学情境”背景的习题过多.而对学生而言，这类背景在日常生活中几乎没有接触过．如人教A版中的习题：“一般来说，影响农作物收成的因素有气候、土质、田间管理水平等．如果你是一个农村调查队成员，要在麦收季节对你所在地区的小麦进行估产调查，你将如何设计这个调查方案？”这个题目的背景属于科学情境，而大多数学生几乎很少接触过这类情境．学生在解决此类问题时，会有较大的难度，同时这类习题背景离学生的实际生活情境较远，教材中这类题目设置又过多，可能会导致学生认为这是为了强调所谓的数学应用而“编造”的题目，反而不利于培养学生的应用意识．

(2)运算因素上的比较

大陆教材中不涉及运算、简单运算、复杂运算的习题所占比例分别为63.49%,26.99%,9.52%；台湾南一版教材三类习题所占比例分别为18.10%,29.31%,52.59%．在运算因素上的统计结果如图2所示．

图2 运算因素上的比较

由图2知，两套教材在运算因素上的差异主要表现在无运算水平和复杂运算水平，在简单运算水平上相差不大．大陆教材“统计”部分的习题中无运算占比高达63%，而复杂运算的习题不到10%．台湾教材恰好相反，无运算的习题不到20%，复杂运算的习题超过了50%．从具体题目来看，大陆教材需要计算的题目大都集中在概率部分，主要是计算随机事件的概率，随机变量的分布列、期望和方差等．较复杂的运算主要集中在线性回归直线的求解和随机变量的方差的计算，而它们又可以通过计算器(机)快速求得．如人教A版必修3 习题2.3 A组的第3、4题及B组的第1题，都是要求学生求出线性回归方程，计算量较大，但都可以通过计算器来辅助计算．

大陆教材复杂运算习题所占比例远低于台湾教材．这不得不让我们深思，在“统计与概率”的教学中，是否过多地把计算机作为一种计算工具，而忽略了计算机其他更重要的功能，如计算机模拟试验．虽然现代信息技术给数学教学带来了极大的便利，但以计算器和计算机为代表的现代信息技术，若只是作为一种教学的辅助手段，并不能替代基本计算技能的训练，更不能取代数学思维训练的过程．

(3)认知要求上的差异

两套教材中概念性记忆水平习题分别占0%，9.48%，处于概念性理解水平的习题所占比例分别为55.56%,55.17%，属于迁移性理解水平的题目分别占34.92%,33.62%，属于综合性探究水平的习题分别占9.52%,1.73%．在认知要求因素上的统计结果如图3所示．

图3 认知要求因素上的比较

由图3可知，两套教材在认知要求因素上水平分布比较一致，习题最多的都是概念性理解水平的习题，这类题目强调对概念、公式、法则等的理解，而不仅仅是简单的记忆．其次，在迁移性理解水平上，两套教材差异也不大，说明两个版本的高中数学教材都要求学生能运用所学知识去解决一些相关的问题.这种一致性在某种程度上说明了国际数学教育改革的趋势是大致相同的——强调数学的应用性，让学生通过所学知识去解决实际问题．

和原人教版高中数学教材相比，在迁移性理解和综合性探究水平上，人教A版都稍高于原人教版教材．说明新教材更强调学生能运用所学知识去解决一些相关的问题，说明了我国数学教育正在由强调对“双基”的掌握转向强调基础知识和基本技能的掌握与重视数学知识的应用二者并重．

(4) 习题类型上的不同

两套教材中标准性题目分别占0%，3.45%，训练性题目所占比例分别为76.19%，86.82%，探索性题目分别占17.46%，10.35%，问题性题目所占比例分别为6.35%，0.在习题类型难度因素上的统计结果如图4所示．

图4 习题类型因素上的比较

图4清晰地反映了两套教材在习题类型因素上的水平分布情况非常类似，都集中在训练性题目上．这说明，在儒家文化影响下的东亚地区都比较强调对“双基”的掌握，也在某种程度上解释了为什么亚洲学生总能在一些国际性测试(TIMSS，PISA，IEAP等)中拿高分．但这并不能说明我们的学生问题解决能力强于欧美国家，如相关研究表明：中国学生在计算题、常规问题和条件受限问题解决上远高于美国学生，但在解决开放问题上却弱于美国学生．

将A版教材与原人教版教材比较，探索性题目增加了很多，这说明我国高中数学教材在培养学生问题解决能力上更为重视．教材中增加了较多开放性的探究题目，如人教A版教材中的一个习题：“校学生会希望调查本学期有关学生活动计划的意见．你自愿担任调查员，并打算在学校里抽取10%的同学作为样本．(1) 你怎样安排抽样，以保证样本的代表性？(2) 在抽样中你可能遇到哪些问题？(3) 这些问题可能会影响什么？(4) 你打算怎样解决这些问题？”这类问题考查学生综合运用知识的能力，要求学生利用所学知识去解决生活中实际的问题，对学生而言，有较大的难度，但却可以培养学生分析问题和解决问题的能力．

(5)知识综合因素上的比较

大陆教材的126个习题中单个知识点的习题占49.21%，两个知识点占35.71%，3个及以上知识点占15.08%；台湾教材中三种水平的习题所占比例分别为46.55%，32.76%，20.69%．在知识综合因素上的统计结果如图5所示．

图5 知识综合因素上的比较

从图5可以看出，两套教材的倾向是一致的，仅有1个知识点的习题都是最多的，其次是包含有2个知识点的习题，最少的是包含3个及以上知识点的习题．同时，在1个和2个知识点的习题所占比例上，大陆教材稍高于台湾教材；而在包含3个及以上知识点的习题所占比例上，台湾教材高于大陆教材．

2.3 综合难度比较分析

前面根据5个统计习题的难度影响因素对两套教材的统计习题进行了比较，为进一步考察教材统计习题的综合难度，计算了各难度因素的加权平均值，得到表4．

表4 教材习题各难度因素的加权均值和综合难度

直观起见，作出了如图6的雷达图．这个五边形图直观地反映出：在习题背景、认知要求和习题类型三个因素上，大陆教材习题的加权平均值高于台湾教材；在知识综合因素上，两套教材差别不是特别明显，台湾教材略高于大陆教材．在运算因素上，台湾教材远高于大陆教材．从加权平均值来看，两套教材在习题背景和习题运算两个因素上差别较大．此外，还可以发现，大陆教材在5个难度因素上很不平衡，相差达到了1.19.而台湾教材仅0.60，相较而言，在5个难度因素上比较平衡．

图6 两套教材统计习题综合难度比较

从图6可以看到，大陆教材在习题背景和认知要求两个因素上高于台湾教材，尤其是在习题背景因素上．从习题背景看，大陆教材中大部分习题都是公共常识和科学情境两种水平，离学生个人生活实际较远．在认知要求因素上，人教A版要略高于台湾教材．在运算因素上，大陆教材远低于台湾教材．

3 结论与建议

通过对中国大陆人教A版高中数学教材和中国台湾南一版高中数学教材中统计习题的难度的比较，得到以下结论：

(1)从习题背景看，大陆教材属于“公共常识”背景的习题最多，相比原来的人教版教材，无背景的习题也减少了很多.但是数学来源于现实，存在于现实，“公共常识”和“科学情境”背景都是学生平时较少接触的，离学生的实际生活情境较远，这类习题过多可能会让学生觉得这些问题是为了强调所谓的数学应用而“编造”的题目，不利于培养学生的应用意识．因此，大陆教材可以借鉴台湾教材，在习题中适当增加贴近学生个人生活的习题．

(2)在运算因素上，大陆教材超过60%的习题都是无运算习题；加权均值远低于台湾教材，这似乎和印象中的我国教材有些不相符合．这可能和《标准》中非常强调对统计思想的体会有关，但是强调对数学思想方法的体会并不意味着要降低对学生计算能力的要求，而应该在二者之间找到一个平衡点．

(3)在认知要求和习题类型因素上，两套教材表现出的倾向性非常相似．两套教材中，认知要求因素中最多的习题都是处于概念性理解水平的习题；从习题类型来看，大多是训练性题目，台湾教材中“训练性题”接近90%．

(4)在知识综合因素上，两套教材表现出的倾向性比较一致，都是随知识点数量的增加，习题所占比例逐渐减小．统计表明，两套教材中大部分题目都仅含1-2个知识点，含有三个及以上知识点的题目都很少，台湾教材有大约20%，大陆教材含有3个及以上知识点的题目所占比例仅为15.08%．这一点，日本高中数学教材做得比较好，日本教材中超过三分之一的习题都包含三个及以上的知识点[1]．因此，习题的设置要注重数学知识之间的联系，在教材中增加一些知识综合性较高的习题．这样帮助学生对数学产生一个整体的认识；帮助学生形成“数学是一个不可分割的有机整体”的正确观念．

(5)习题的安排，应考虑各难度因素之间的平衡．研究表明，两套教材都没有保持5个习题难度因素之间的平衡，知识综合因素的加权均值相比其他5个因素要小很多，在认知上要求都比较高．大陆教材中背景和运算两个难度因素之间的加权均值相差达到了1.19．因此，教材中习题的选择和编写应该与数学内容紧密结合，充分考虑其特殊性，注重各个难度因素之间的平衡．

实际上，保持各个习题难度因素之间的平衡是一个比较难的问题，很多高中数学教材的习题设置都没有处理好这一问题．在习题的编写和设置中，如何保持各个难度因素之间的平衡是一个值得深入研究的课题，而各个习题难度因素应该达到怎样的一个平衡状态，也是一个需要深入研究的课题．