探究路径本质 积累活动经验——“瓜豆原理”教学设计与启示*

顾 君 (江苏省苏州工业园区星湾学校 215000)

1 基本情况

本节课是苏州数学中考专题复习课，授课对象为九年一贯制学校初三普通班学生.

内容分析 运动问题是近年来中考的一个热门话题，此类问题涉及化归、数形结合、图形变换等数学思想和方法.本节课从图形变换的角度对一类运动问题进行再认识，探究动点之间的变换关系与路径之间的联系，归纳此类动点运动问题的本质，总结得到“瓜豆原理”.学生通过本节课的学习，积累相关活动经验，体会利用“瓜豆原理”解决此类问题相比于其他方法更具优越性.

教学目标 (1)从图形变换角度观察定点、主动点和从动点三者之间的变换关系，感受动点变换规律与路径之间的联系，归纳得到“瓜豆原理”；

(2)应用“瓜豆原理”解决运动问题中一类与动点路径有关的问题；

(3)经过本节课的学习，体会和感悟化归、数形结合、图形变换等数学思想和方法.

2 教学过程

为了探究动点运动路径本质，积累数学活动经验，本节课的设计分为以下四个板块：在情境创设中发展学生动机；在主动尝试中优化学生认知结构；在变式探究中形成数学思维；在综合应用中提升学生能力.

2.1 板块一：情境创设

活动1俗话说“种瓜得瓜，种豆得豆”，数学上同样可以将一个图形进行放大或者缩小，此类变换是什么？

设计意图通过生活情境联系数学中的位似变换，由数学外部情境引入数学内部知识，旨在唤醒学生对位似变换知识的记忆，揭示本节课的主题.

图1

活动2如图1，已知线段AB，其中A为定点，且满足AC∶AB=1∶2.

(1)从位似变换的角度看，点C如何由点B变换而来？

(2)任意拖动点B，点C位置会发生怎样的变化？

2.2 板块二：主动尝试

活动3如图2，如果点B在线段MN上运动，其他条件保持不变.

(1)点C的路径是什么？它可以看作是由点B的路径如何变换而来？

(2)点C的运动路径长度PQ和点B的路径长度MN之间有何数量关系？

(3)将点C绕点A顺时针旋转90°到点C′，则点C′运动的路径是什么？

图2 图3 图4

2.3 板块三：变式探究

活动4如图5，将点B在“定线段MN”改为在“定圆O”上运动且满足AC∶AB=1∶2，其他条件保持不变.

(1)点C的运动路径是什么？它可以看作是由点B的路径如何变换而来？

(2)点C路径所在圆的圆心和半径如何确定？

(3)将点C绕点A顺时针旋转90°得到点C′，点C′的运动路径是什么？

图5 图6 图7

活动5由活动3和活动4积累的经验，请思考：

(1)在图3和图6的前提下，若改变主动点和从动点的位似比，如AC∶AB=1∶3，则从动点和主动点所在的路径长度之间有何变化？若继续改变位似比，由此类推，你可以得到什么结论？

(2)在图4和图7的前提下，若改变旋转角α，如∠α=30°，则从动点和主动点所在的路径长度之间有何变化？若任意改变旋转角α，由此类推，你可以得到什么结论？

(3)当主动点在三角形、四边形或者其他图形上运动，从动点的运动路径是什么？从动点路径与位似比、旋转角之间有何关系？

设计意图本活动是学生经历了操作、观察和思考，对已有的经验进行归纳，总结得到以下结论：①两动点之间的变换关系和路径的变换关系是一致的，主动点和从动点之间保持“步调一致，集体行动”；②从动点的路径长度是主动点的路径长乘以相应的位似比，即确定从动点、主动点与定点之间连线段的比值；③旋转变换只改变路径的位置，并不改变路径形状和大小.

2.4 板块四：综合应用

图8

设计意图本活动是一个开放性探究活动(可以设计求点E和点D的路径)，是对所得“瓜豆原理”经验的综合应用.学生通过交流和讨论，厘清“瓜豆原理”本质，关键是寻找“瓜豆三点”：定点、主动点、从动点.

3 教学启示

数学基本活动经验需要在已有经验的基础上经历归纳推理形成新的经验.学生学习数学除了获得数学知识和技能之外，还能形成一定的数学思维模式，应用这种数学思维模式在解决问题过程中对问题作出直观的判断，是数学活动经验积累的关键.学生经历本节课的学习，从图形变换的角度探究此类动点运动路径的本质，是相关活动经验的激活、积累、迁移和升华的完整过程.

3.1 在情境创设中激活经验，发展学习动机

建构主义学习观认为，学生知识经验的积累不是简单被动的接受，而是自己主动参与知识建构的过程.作为学习的主体，学生的参与程度直接影响着数学活动经验的获取程度.因此，调动学生的需求、激发学生的学习动机至关重要.在活动1中,通过数学外部的情境激活数学内部的已有经验，以生活中“种瓜得瓜，种豆得豆”直接经验类比图形变换中的位似变换；在活动2中激活位似变换的相关知识，发展学生的动机，调动学生探索问题的主动性.

3.2 在主动尝试中积累经验，优化认知结构

学生只经历一次活动，积累形成的经验是具体的、单一的.只有经历多次类似的活动，在不断的反思、交流和归纳过程中才能形成系统的、有条理的经验.活动3中经验的积累分为两个层次：当主动点在线段上运动时，从动点经过位似变换也在线段上运动，这是学生的直观感受，属于浅层次的经验；当主动点和从动点之间不仅存在位似变换还存在旋转变换时，虽然主动点和从动点之间的变换关系改变了，但本质还是把握定点、主动点和从动点三点间的变换关系来分析.在这个活动过程中学生逐渐将低层次的经验转化成较高层次的经验，并在推理过程中不断优化自己的认知结构.

3.3 在变式探究中迁移经验，形成数学思维

学生由具体的经验层面上升到思维层面，需要从研究对象的空间形式和数量关系中抽取出共同的、本质的属性.例如，活动3是点在线段上运动而活动4是点在圆上运动，虽然主动点的运动方式不同，但是主动点和从动点之间仍然保持“步调一致，集体行动”.经过对活动5的经验进行归纳和总结，学生发现从动点的路径长度等于主动点路径长度乘以相应的位似比，只要位似比确定，从动点路径长也随之确定.在此过程中促进学生从“经历”走向“经验”，进而形成处理此类问题的数学思维模式.

3.4 在综合应用中升华经验，提升关键能力

在活动探究过程中，学生经历经验的激活、积累、迁移和应用，教师除了关注基础知识和技能，更需关注每个学生的能力培养.考虑到学生个体的差异性，所积累的经验不尽相同，学生经过活动6的组内交流和反思，进行思维的碰撞和经验的交流，弥补自身认识的不足，在解决问题的过程中将自己内化的经验进行应用和升华，促进相关活动经验的提升和发展.与此同时，学生的关键能力在应用这种思维模式解决问题的过程中不断得到提升.