基于“大背景”的章单元建构框架及实施建议——以“三角函数”一章内容为例

石志群 (江苏省泰州市教研室 225300)

2014年，教育部出台的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》首次提出了“核心素养体系”这个概念，并且将核心素养定义为“适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”．2016年，教育部正式发布《中国学生发展核心素养》，2017版普通高中各学科的课程标准又相继提出了学科核心素养的框架，提升学生核心素养成为教学改革新的目标要求．在教育部组织的几次关于教材编写的培训会上，相关专家提出了基于核心素养的教材编写的基本要求，其中非常重要的一条是“大背景”，即用真实的背景性材料，让学生经历完整的提出问题、解决问题的过程，在研究问题的过程中建构学科知识体系．他们认为，只有这样，才能真正地发展学生的核心素养．下面是关于苏教版普通高中课程标准教科书(数学)在这方面的探索和思考，一家之言，意在抛砖引玉．

1 “大背景”释义

每一章的“大背景”是蕴含了本章核心思想、数学本质或思维起点的，具有较强生成性的现实材料、数学材料(如“复数”一章)或其他学科的科学材料(如“平面向量”一章)，通过对这些材料的研究，可以揭示或提炼出本章的主问题或核心问题(大问题)．这个或这些主问题对本章内容起统领作用：或是本章研究的逻辑起点，由主问题进行学科的逻辑发展，就生成了全章的知识结构；或是本章研究的本质问题，通过对主问题的不同层面的研究(并列型)或从简单到复杂，依据数学研究的一般逻辑顺序和方法(递进型)建构本章知识体系．简单地说，所谓“大背景”，就是一章内容的“根”和“源”，章内容的展开就是“大背景”的问题解决的过程．

一章中各节均有节首语，节首语是根据章首语和章首语中提出的本章主问题，以及本章已经研究过的内容，自然地生成的背景材料，并由此背景材料自然地提出本节所要研究的主问题(中问题)．节的主问题是服务于章的主问题的，因此也就蕴含于“大背景”之中，其研究内容是围绕“大背景”的某个方面(侧面)而进行的．各小节的中问题就组成了本章问题解决的问题链．

无论是章问题还是节问题，都确保既体现本原性原则：在逻辑起点处提出本章节最本质的问题，揭示本章节内容的核心观念、核心思想；又遵循适宜性原则：起点低、入口浅，但寓意深，让学生能理解、能操作、能探究．

有时一节的主问题就是一节课的初始问题，有时在一节的问题解决过程中又会形成一些新的小问题，也就是解决节的主题的问题链，从而形成了每一堂课的主问题．这些问题链有的是显性的，教材中就展现了，有的需要根据数学的逻辑关系和学生的认知规律进行挖掘，这就是教师教学设计的空间和学生数学探究的空间，这对培养学生的数学能力、发展学生的数学素养是必要的．

在节习题、章复习题和阅读、问题与探究等栏目中还设计了一些超过课程标准要求，但与本章内容或章“大背景”相关的进阶性问题、课题或欣赏性材料，目的是为学生打开通向高等数学的一扇窗，在激发对数学学科的持续的兴趣的同时，让学生感受到数学的美，增强对初等数学内容价值、本质的理解．比如，“三角函数”一章的复习题第20题运用泰勒公式展开的级数说明计算器计算函数值(如sinx, cosx)的原理，对有兴趣的学生来说，此题让他们在了解弧度制的优势性的同时，能够感受到极限的思想、逼近的观念、函数有理化思想等．

从上文可以看出，基于“大背景”的章单元建构框架其实是一种问题解决的建构型教学范式，是在解决由“大背景”产生的大问题的过程中展开数学的研究过程，数学建构的过程也就是数学学习的过程．

综上所述，基于“大背景”的数学教学结构如图1所示．

图1

2 “三角函数”一章的“大背景”

三角函数是刻画周期现象的数学模型，而周期现象是由周期运动引起的，因此，应该选择某种周期运动作为研究的原型．当然，这种原型应该是简单的、基础的，既便于研究，又可以作为刻画复杂的周期运动的基础．

为此，有两种选择，一种是单位圆上运动着的点，另一种是半径为r的圆上运动着的点．前者是后者的特例．考虑到“三角恒等变换”中的基本公式“加法公式”的推导也应该放到这个“大背景”之下进行，而“复合”运动时几个圆的半径可能不同(参见苏教版普通高中课程标准教科书(数学)必修二第10章“三角恒等变换”)，我们决定以“半径为r的圆上运动的点”作为本章的“大背景”．

于是，“三角函数”一章的章首语就从周期现象缘自周期运动出发，一个简单的例子是“圆周上一点的运动”，对半径为r的圆，其上一点P可以用(r,α), (r,l)或(x,y)表示(图2)，由此提出本章的主问题(大问题)：r,α,l,x,y有着怎样的关系？

图2

3 建立本章及相关章节的研究框架

有了上面的“大背景”和“大问题”，只要按照数学研究的基本程序，本章节的内容(中问题)就自然地确定了：

为了使圆上的点进行周而复始的运动，需要对角的概念进行推广；

研究r,l与α之间具有怎样的关系，从而引入弧度制；

研究α,r,x,y之间的关系，得到任意角的三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数的概念)；

三角函数都是同一个角α的函数，它们之间一定有关系：研究同角三角函数的关系；

三角函数刻画了圆周上点的运动，圆的几何性质在三角函数的代数形式中一定有所体现：研究三角函数的诱导公式；

有了刻画周期现象的数学模型，就应该用其对周期现象的规律进行研究：探讨三角函数的图象和性质；

有了三角函数的理论体系，就可以研究三角函数是如何刻画周期现象这个初始问题：三角函数的应用．

以上是本章的内容框架．对“三角恒等变换”一章，我们亦以本章的“大背景”为起点，运用两个圆的复合运动，形成这一章的大背景及大问题．

这样的学习过程就是数学研究的完整过程，是数学建构的真实过程，数学的知识是具有联系性、体系性、整体性和结构性的，不是孤立的知识点的组合．这样的学习过程让学生可以充分地认识数学的本质，学会数学的研究方法，从系统上理解数学、掌握数学．这样的过程无疑会对学生的数学核心素养的发展起到比较充分的促进作用．

4 基于大背景设计每节课的教学过程

根据编写的理念和方法，使用苏教版教材时，要充分地理解编写意图，特别是要透彻地理解各章的大背景、大问题，基于大背景、大问题进行章节的整体设计．要理解本章大问题与各小节的中问题之间的逻辑联系，打通“问题链”的逻辑关联，设计本章的教学整体框架．

在把握一章整体的同时，还要理解每小节内容的编写意图，特别是节首语中的中问题——这是本节的主问题、是章问题的重要支点，教学设计与实施都要围绕这个支点充分地展开．否则，缺少了每一节的支点的支撑，章的设计意图、教学目标就无法达成．

下面以“弧度制”一节的教学为例加以说明，以下是教学设计的主体部分(某些内容简略表述)．

·问题情境

师：从章首语可知，大千世界存在大量的周期现象，而周期现象是由周期运动决定的.为了建构刻画周期现象的数学模型，我们选择了周期运动中最简单的原型——圆周上一点的运动．为此我们分别用(r,α), (r,l)(α,l,r分别为圆心角的大小、弧长、半径)及(x,y)来刻画圆周上点的位置(见章首语中图)，并提出本章初始问题：

α,l,r,x,y之间具有怎样的关系？

师：今天我们先来考察r,l与α之间具有怎样的关系.(教师边叙述边板书，如图3)

图3

·数学建构

(1)关系分析

师：这个式子反映了r，l与α之间的何种关系？

生：弧长l由半径r和圆心角α确定．确定的r,α变化时的弧长l(几何画板演示)；确定的α,r变化时的弧长l(几何画板演示)．

师：上面的式子还可以作怎样的变形？由此又可以得到r,l与α之间的何种关系？

(2)建构新知

生：系数中的“360”是由角度制的单位的选定所决定的．

师：这个单位的选定不仅使关系式复杂，而且其中弧长、半径都是实数，是十进制的，而圆心角α的大小是60进制的.将来我们可以发现，这种不同的进位制会给三角函数的进一步的应用带来很多麻烦，而“统一”的观念在数学中是非常重要的．那么，如何建立一种新的角的度量制度，使得r,l与α之间的关系显得简洁优美，而且三个量的进位制又得到统一呢？

师：如果这样定义，这个角的度量制度的单位是什么？

由学生独立思考，完成建构．

师：关系肯定简单了，进位制统一了吗？

图4

通过图4，引导学生认识到：角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起了一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立起了一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角．

(3)建构并巩固

1)板书定义.

2)练习：①半径为2 的圆，弧长为4时的角的大小是多少？长度为3时的角的大小是多少？长度为π时的角的大小是多少？②半径为1的圆(单位圆)，弧长为3时角的大小是多少？

3)互化．

师：现在我们有了两种度量角的制度：角度制和弧度制.这两个度量制之间的关系如何呢？比如，30°是多少弧度呢？(学生独立完成)

·回顾反思

研究思路(研究过程的回顾)，数学结论(所得到的数学结果的总结)，数学观念(运用的数学的价值观念、思想方法的提炼)．

·数学应用

弧度制下的弧长公式、扇形面积公式．对扇形面积公式进行两种度量制的比较，并将扇形面积公式与三角面积公式进行类比，让学生感受弧度制的优势．

·布置作业(略)

本节的主问题是“r,l与α之间具有怎样的关系？”，因此，就要围绕这个主问题展开探究性思维活动．本设计对所得到的关系式进行变形，从不同的结构形式发现不同的关系(代数式几何意义的解释)，为即将进行的数学建构建立逻辑依据和审美基础．

从关系式的审美要求及不同量的进位制的差异，运用数学的理性精神、审美追求，提出建立新的角的度量制，以简化关系式、统一进位制的要求；让学生大胆假设，自主建构，使得提出建立新的角的度量制的想法成为逻辑的必然，也为确定这个度量制的“单位”提供思维的支点．也就是说，知识生成的思维过程是基于逻辑的、自然的，不是教师或教材强加给学生的，教学流程顺其自然、水到渠成．

建立了弧度制后，就有必要反过来思考：新的度量制是否达到了我们事前提出的要求？通过单位圆让学生直观地认识弧度制的实质，不仅是必要的，而且对学生思维的严密性、严谨性和数学研究的良好思维习惯——反思——都有非常积极的意义．

有了弧度制后，就有了两种度量角的“制度”了，一个自然的问题：它们之间具有怎样的关系？这就成为本节课的问题链中第二个重要环节．

最后，通过扇形的面积公式的推导让学生感受到弧度制的优势：两种角度度量制下的公式的比较，让学生更真切地体会到了弧度制的先进性．事实上，在后续的学习中，这种优势、先进性还会得到更加充分的体现(章复习题中已有体现)．

5 基于“大背景”的教材使用和数学教学的建议

综上所述，对苏教版高中数学教科书的使用及基于“大背景”的章单元建构下的数学教学提出建议：

一是结合教材，特别是章首语，理解一章内容的数学本质、核心思想，了解其现实背景、理论渊源及其数学发展的真实过程，理解数学家们对该内容研究的思维起点、数学思想，做到在数学上理解到位，关键之处把握准确．如三角函数是刻画周期现象的数学模型，现实世界中存在大量周期现象，欧拉就是通过圆周上点的运动的研究建立三角函数概念的．这里的三角函数与他以前的三角学中的内容是完全不同的，因此，无论从数学的逻辑还是从认知的逻辑的角度看，我们都不可能从推广的视角引进任意角的三角函数．本章教学要抓住一个关键：通过对章问题的不同层面的研究，建构刻画周期现象的数学模型，并研究该模型的性质和应用．

二是通过教材，理清本章内容的逻辑顺序、内在关联，形成全章的教学主线，清晰明了地呈现相关教学内容，让学生准确把握全章知识结构．如“三角函数”一章的各小节内容都是从章问题自然派生出来的，是环环相扣的一个整体，它始终贯穿一条主线——圆上一点运动的规律的刻画．从这个角度看，由于章问题的核心意义已经确定，沿着正常的思路，研究的流程、内容、方法也就基本确定了，学生完全可能根据所要研究的章问题，按数学研究的一般方法、程序和基本套路，确定接下来要研究的子问题．即使刚开始时学生的能力还达不到这样的要求，但在长期的、常态化的、每个章节都在进行的固化的学习进程中，这种能力是一定能得到提升的．

四是仍然要重视每个教学环节的细节处理技术，让教学难点得到克服，以促进学生的深刻理解．跟传统的数学教学一样，在问题解决、数学建构的过程中总是存在一些认知难点的，尤其是这种以探究式为主的学习方式，可能遇到的困难要更多一些，因此，设计必要的辅助性、阶梯式的子问题(脚手架)就非常必要．而这种问题的启发功能既降低了难度，也指导了方法，让学生学会分解问题、简化问题、转化问题，提高解决问题的技能．如案例中对r,l与α之间的关系式的变式理解、通过实例对弧度制下角的集合与实数集的对应关系的理解等．