利用对称求函数的解析式

陈东敏

对称是高中数学中一种很重要的关系，它包括点对称和轴对称。利用对称求函数的解析式是高考中的常见题型，所以有必要学好它。现举例說明如何利用对称求函数的解析式。

一、轴对称

1.点（x，y）关于x轴的对称点是（x，-y）。

2.点（x，y）关于y轴的对称点是（一x，y）。

3.点（x，y）关于直线x=a的对称点是（2a-x，y）。

4.点（x，y）关于直线y=a的对称点是（x，2a-y）。

5.点（x，y）关于直线y=x的对称点是（y，x）。

6.点（x，y）关于直线y=x+b的对称点是（y-b，x+b）。

例1 设函数f（x）的图像关于直线x=l对称，若当x≤1时，，则当x>1时，f（x）=____。

解析：设（x，y）（x>l）是x>1时f（x）的图像上任意一点，则点（x，y）关于直线x=l的对称点在的图像上。

点（x，y）关于直线x=1的对称点是（2-x，y）（2-x故当x>1时

例2 已知函数f（x）的图像过点（0，1），且与函数的图像关于直线y=x-l成轴对称，求f（x）的解析式及定义域。

解析：设（x，y）是f（x）的图像上任意一点。

由函数f（x）的图像与函数1的图像关于直线y=x-l成轴对称，得点（x，y）关于直线y=x-1的对称点在函数-1的图像上。

点（x，y）关于直线y=x-1的对称点是（y+l，x-l），则，即x+a=，故

由函数f（x）的图像过点（0，l），得f（0）=1，即，解得a=l。

故，其定义域为（-l，+∞）。

二，点对称

1.点（x，y）关于原点的对称点是（-x，-y）。

2.点（x，y）关于点的对称点是

例3 已知函数f（x）的图像与函数g（x）=的图像关于点（0，1）对称，求函数f（x）的解析式。

解析：设（x，y）是函数f（x）的图像上任意一点。

由函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于点（0，1）对称，得点（x，y）关于点（0，1）的对称点在函数g（x）的图像上。

点（x，y）关于点（O，l）的对称点是（-x，2-y），则，故

故

例4 已知f（x）为奇函数，当x<0时，f（x）=x（1-x），则当x>0时，f（x）的解析式为_____。

解析：由f（x）为奇函数，得函数f（x）的图像关于原点对称。

设（x，y）（x>O）是x>O时f（x）的图像上任意一点，则点（x，y）关于原点的对称点在f（x）=x（l一x）（x