一个中世纪法律问题的解决方案与数学教育价值

汪晓勤 (华东师范大学教师教育学院 200062)

数学史是一个宝藏，其中蕴含了丰富多彩的问题．将有关问题用于课堂教学，可以为学生提供应用所学知识解决问题的机会．在学生解决问题的过程中，教师也可获得考察数学史多元教育价值的机会．

图1 淤积地分配问题

在14世纪的意大利，曾经产生过这样一个法律案例[1]：如图1，具有公共边界OC的甲、乙两块土地的主人都想获得洪水过后所产生的一块肥沃的淤积地OAB(其中甲、乙两块土地与淤积地接壤的边界线OA和OB均为线段，河岸线AB为不规则曲线)，双方争执不下，最终对簿公堂．假如你是律师，请问你会提出怎样的分配方案，让两人都能接受？

笔者曾在多个不同场合给不同年级的初中生讲授数学史课.课上让学生解决上述土地分配问题,学生给出了很多种方案，且低学段学生的方案通常更加丰富多彩．本文对这些方案进行总结和分类，并对探究活动的德育价值进行分析，最后，对问题进行拓展，为初中平面几何教学提供参考．

1 淤积地的分配方案

1.1 平均分配

一些学生认为两人应该均分淤积地．但由于淤积地的形状不规则，分割线不易确定，于是他们提出以下方法来完成分割．

(1)共同拥有整块土地，一起种植，收获的粮食平均分.

(2)播撒种子，根据种子的数量进行均分.

(3)将土地分割成许多相同的单元(如三角形、正方形)，根据单元的数目进行均分.

(4)制作一块“缩微版”的土地模型，将模型涂上油漆，根据所用的油漆量，来确定分割线．

1.2 按比例分配

很多学生提出按比例分配的方案．具体有以下几类．

(1)按照甲、乙两块土地的面积之比S甲∶S乙进行分配.

(2)按照甲、乙两块土地与淤积地接壤的边界线长度之比OA∶OB进行分配.

(5)按照甲、乙两块土地主人家的人口数量之比进行分配.

(6)按照甲、乙两块土地主人家经济状况之反比进行分配．

1.3 补差分配

有学生认为，应该按照所得淤积地与原土地面积之和相等的方式来分配，即甲、乙主人所得到的面积P,Q应满足S甲+P=S乙+Q．

1.4 作分割线

一些学生通过几何作图来找分割线．具体有以下几类作图法．

(1)延长甲、乙公共边界CO，交河岸线于D，则OD即为淤积地的分割线(图2).

(2)作淤积地端点连线AB的中点D，联结OD并延长，交河岸线于E，则OE即为淤积地的分割线(图3).

图2 作图方案1 图3 作图方案2 图4 作图方案3

(3)测得河岸线的中点D，则OD即为淤积地的分割线(图4).

(4)分别作甲、乙边界线OA和OB的垂直平分线，其交点为D，则OD即为淤积地分割线所在的直线(图5).

(5)作甲、乙共线的边界线MN的垂直平分线，分别交甲(或乙)与淤积地接壤的边界线以及河岸线于E,F两点，则EF为淤积地的分割线(图6)．

图5 作图方案4 图6 作图方案5 图7 作图方案6

(6)找到淤积地的重心，重心与点O的连线就是分割线所在的直线．

(7)作∠AOB的平分线OD，交河岸线于点D，则OD即为分割线(图7)．

1.5 其他方案

一些学生采用人们十分熟悉的分蛋糕方法：甲、乙两块地的主人中，一人确定分配方案，另一人先挑选．另一些学生提出两家轮流种一年，或通过决斗武力解决问题，或通过抽签的方式决定谁单独拥有整块淤积地，或通过两家结成儿女亲家而共同拥有淤积地．还有一位学生则提出：国有土地，不容私分．

2 分配方案的辨析

一个合理的分配方案需要满足以下条件：一是公平公正，双方都能认可；二是可以实施，具有可操作性．虽然学生给出了各种各样的方案，但是绝大多数方案并不满足上述条件．

平均分配方案虽然表面上看是公平的，但没有考虑与甲、乙两块地的位置关系，两者未必都能接受．另一方面，由于河岸线是不规则的，要将淤积地准确地二等分，仅利用14世纪人们所知道的数学知识是不可能完成的；而学生给出的方法或难以实施或误差太大．

按比例分配诸方案也都存在面积测量的难题．此外，按边界线长度之比或甲、乙两块地的面积之比的方案虽然考虑了淤积地与甲、乙的位置关系，但可能会产生“多上加多”的结果，面积小的一方显然不会接受；按边界长度或甲、乙面积之反比来分配，或按两家人口数之比分配，或按经济收入之反比来分配，只能让其中一方满意，而法律所追求的公平公正并不等同于济贫扶困．补差分配也存在同样的问题．

几何作图诸方案中，前六种方案所依据的原则并不清楚，无法令人信服．第七种方案的依据最为清楚：淤积地中的任何一个区域，离谁家原有土地的边界线更近，就归属谁家，因此，角AOB平分线的其中一段就是淤积地的分割线．事实上，这正是14世纪意大利法律教授巴托鲁斯(Bartolus,1313～1357)的分配方案．这一分配方案既能为两家所接受，又易于实施．

“分蛋糕方案”表面上比较合理，但最终还是绕不开如何分割的问题；“决斗”这样的方案简单粗暴，与法律背道而驰；“和亲”方法虽颇具想象力，但并不现实．

3 德育价值的体现

数学学科的德育价值包含理性、情感、信念、品质等维度．淤积地分配问题用于课堂教学，有着丰富的德育价值．

首先，分配淤积地时，不能凭感情用事，不能仅看分割的便利性，不能局限于表面的公平，不能顾此失彼，更不能随心所欲．古希腊哲学家亚里士多德云：“法律所事，在保持群益．”需要确立一种保持双方利益的公平合理的原则，据此来实施分配．学生所给出的均分方案、按比例分配方案、绝大多数作图方案都缺乏让双方都感到信服的依据．角平分线方案之所以令人心服口服，是因为它依据了公平合理的“距离原则”．可见，淤积地分配问题的探究有助于培养学生的理性思维和规则意识．

其次，学科关联乃是基于数学史的数学文化内涵之一[2].但在传统的平面几何教学中，由于数学文化的缺失，学生很少感受到数学与人类其他知识领域之间的密切联系，正如美国学者Bidwell指出的那样：“在课堂里，我们常常这样看待数学，好像我们是在一个孤岛上学习似的．我们每天一次去岛上学习数学，埋头钻进一个纯粹的、洁净的、逻辑上可靠的、只有清晰线条而没有肮脏角落的书房．学生们觉得数学是封闭的、呆板的、冰冷无情的、一切都已发现好了的．”[3]

淤积地分配问题揭示了数学与法律之间的联系，可以帮助学生树立积极的数学信念．角平分线的概念、性质与作图法也因为有了现实应用而变得生动有趣．

再次，关于淤积地分配的探究活动对于培养学生良好的品质也有重要意义．数学课堂上的探究活动由“准备与聚焦”“探究与发现”“综合与交流”以及“评价与延伸”诸环节组成[4]．在“综合与交流”环节，每一位学生都有机会展示自己的解决方案，每一位学生也都是倾听者、反思者和获益者．因此，探究活动有助于培养学生倾听、尊重和包容的品质．在“评价与延伸”环节，教师呈现古今联系，14世纪的法律教授仿佛成了班里的一名“额外”学生，而那些给出角平分线方案的学生又仿佛成了14世纪的法律教授，其自信心得到了提升．

4 问题的拓展

在淤积地分配问题中，一旦确定了公平合理的“距离”原则，教师可以采用有关提出问题策略，来提出各种不同的问题．例如，如果采用条件操作策略(即改变已知情境中的一个或若干个条件)或目标操作策略(改变已知情境中的目标)，可以提出一系列数学问题．

问题1如图8，若河岸线AB为线段，淤积地OAB为三角形，OA∶OB=2∶3，则甲、乙两块地的主人所分得的淤积地面积之比为多少？

问题2如图8，河岸线AB为线段，淤积地OAB为三角形，已知AB的中点与点O的连线为淤积地的分割线，试判断△OAB的形状．

问题3如图8，河岸线AB为线段，淤积地AOB为三角形，作OA与OB的垂直平分线，其交点为O′，淤积地的法定分割线恰为OO′的一部分，试判断△AOB的形状．

图8 拓展问题1 图9 拓展问题2 图10 拓展问题3

问题4如图9，河岸线AB为线段，四边形AMNB为矩形，淤积地AOB为三角形，其顶点O位于MN上，甲、乙两块地的主人所得淤积地连同原有土地面积之和恰好相等．试判断△AOB的形状．

问题5如图10，河岸线AB为线段，淤积地AOB为三角形，其顶点O位于MN上，测得∠AOM=∠BON，MO∶ON=m∶n(m>0,n>0)，问：甲、乙两块地的主人所分得的淤积地面积之比为多少？

问题6如图11，若边界线OA和OB位于同一直线上，则如何分配淤积地？

图11 边界共线 图12 边界共线、 图13 边界为圆弧河岸线为圆弧

问题7如图12，边界线AOB为线段，且河岸线为半径等于50米的四分之一圆弧，若AO∶OB=1∶2，则淤积地的法定分割线有多长？

问题8如图13，若边界线AOB为圆弧，则如何分配淤积地？(提示：先求圆弧AOB的圆心，圆心与点O的连线即为淤积地的分割线)

问题9如图14，边界线AOB为四分之一圆弧，其半径为80 m．若河岸线AB为线段，且圆弧AO和圆弧OB的长度之比为1∶2．求甲、乙两地主人所分得的淤积地面积之比．

图14 弓形淤积地 图15 圆弧所围淤积地

问题10如图15，边界线AOB与和河岸线为半径相同的圆弧．已知淤积地分割线恰好位于CO的延长线上，求甲、乙两块地的主人所分得的淤积地面积之比．

我们甚至可以将边界线换成更一般的曲线(如抛物线)，从而产生更为复杂的问题．

5 结语

不同形状淤积地的分配问题蕴含着丰富的平面几何知识，涉及垂线、角平分线的概念与性质、等腰三角形性质、弧长与扇形面积、梯形面积、垂径定理及其逆定理、相交弦定理、勾股定理、相似三角形性质定理、平行线分线段成比例定理等，是初三平面几何复习课的理想素材．教学实践表明，学生对该问题有着浓厚的兴趣，通过有关的探究活动可以实现丰富的德育价值；同时，该问题又为学生在课堂上提出新问题提供了理想的情境．因此，我们可以借助该问题的教学，探索初三复习课的新策略，让初三复习课实现知识的融合、营造探究的乐趣、促成思想的交流、传递创新的精神、洋溢文化的芬芳．