以“等比数列”教学为例来谈数学教学三境界

朱 哲 常 艳 (浙江师范大学教师教育学院 321004)

课堂是教师教书育人的主渠道，也是学生成长的重要基地．一个好的课堂往往不在于教师教了多少知识，而在于教师是如何教学生学知识的．北京大学张顺燕教授曾提出教学有三境界，即“授人以业”“授人以法”和“授人以道”：“业”指的是基本的知识；“法”指的是教给学生方法，培养学生学习的能力；“道”则可以理解为学生在继承知识与方法的基础上，自我生长，自我发展，走创新之路[1]．对于数学课堂教学来说，同样也蕴含着这样的三种教学境界．

本文以“等比数列”的三个教学课例为例，分析不同课例之间的授课方式，从中映射出数学课堂的三种境界，希望能对当前数学教师的课堂教学模式的创新和突破有所启发和帮助．

1 苦教引学

1.1 课例1教学过程简介[2]

(1)复习回顾

师：上一节我们学习了等差数列．现在我们一起来回顾一下等差数列的定义以及它的通项公式、求和公式．(师生共同复述，教师板书)

(2)创设情境

师：今天我们共同来学习一节新内容——等比数列．首先我们观察以下几个情境，可以从中得出哪些数据呢？(课件显示)

情境1 细胞分裂模型．

情境2 “一尺之棰，日取其半，万世不竭.”

情境3 计算机病毒的传播．

情境4 储蓄中复利的计算．

由上述情境得到4个数列．

(3)建构新知

师：上述4个数列有什么共同特征？

在学生归纳的基础上，教师板书：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列．这个常数叫做等比数列的公比．

师：上述4个例子的公比分别为多少？(学生共同回答，下同)

(4)概念理解

师：公比q能小于0吗？能等于0吗？当公比q等于1时，等比数列有什么特点？

师：首项能等于0吗？第n项能等于0吗？

师：你能用数学符号表示等比数列的定义吗？

师：很好！那么接下来我们来一起学习等比数列的通项公式是什么.

(下略)

1.2 课例1简析

课例1中采用了教学中最普遍的一种模式：复习回顾—创设情境—建构新知—概念理解．在复习回顾上节所学内容之后，教师用4个教科书中的实例引出本节课题“等比数列”．在后续的整个教学过程中，多以问题驱动的形式进行．教学中比较注重对学生的启发和层层引导，可以说在让学生理解知识的过程中，也感受到了知识的形成过程．但整个过程中也存在着一些不足：皆以教师引导为主，留给学生自主探究的空间太少，学生学习能动性的发挥受到了限制；等比数列概念的引进忽视了与“等差数列”的类比，没有利用好“等差数列”这个先行组织者．数学教育家弗赖登塔尔在他的现实数学教育思想中指出，数学教育应联系学生的客观现实和数学现实．笔者认为，课例1中的教学仅仅做到了前者，却忽视了对学生数学现实的充分利用．所以上述的教学过程映射出数学课堂教学的第一种境界——“授人以业”，即教师在教学过程中只是一味地重复之前的教学模式，仅仅关注到了学生对知识的理解和应用．从整体来看，忽视了对学生其他层面的培养，距离深层次的学习仍有较大的差距．

可以设想一下，如若每堂新授课都以同样的环节进行，学生在教师的重重诱导下建构新知，长此以往，会不会使学生局限于一种模式，束缚他们的创造性？

2 少教多学

2.1 课例2教学过程简介[3]

(1)复习回顾

师：前面几节课我们共同探讨了等差数列．那么请同学们想一下，我们是如何来研究等差数列的？研究了等差数列的哪些内容？(师生共同回顾，教师板书并列出表格如下)

表1

(2)提出问题、合作探究

师：在学习了等差数列的内容以后，我们能不能将等差数列中的“差”迁移为“比”，得到一个叫“等比数列”的数列呢？这就是我们今天要研究的新问题：等比数列．接下来请同学们以小组合作的形式，类比我们研究等差数列的过程，将表1中的等比数列的相关内容填写完整．

在探究过程中，教师引导学生：可以从具体的等比数列出发，抽象出这类数列的共性．

20分钟后请学生上台板演，教师进一步将学生的成果系统化、规范化．

(3)比较异同

师：请同学们根据等差数列、等比数列的定义，对它们的异同点进行比较、总结，填写表2．(教师引导完成)

表2

(4)习题巩固(略)

2.2 课例2简析

课例2采用了问题探究式的教学模式．本节课的基本流程为：复习回顾—提出问题—合作探究—比较异同—习题巩固．教师在回顾等差数列的学习过程之后，引出一个新问题“能否将等差数列中的‘差’迁移到‘比’，得到一个等比数列”．进而引出本节课的探究问题，让学生以小组合作的形式开展探究活动．整个教学过程体现了“学生中心”的基本理念，教师充当了教学活动中的引导者和组织者．但本次探究活动中的问题提出者是教师，然后以此作为本次探究的任务，驱动学生开展探究活动．这在一定程度上限制了学生的思维，不能很好地激起学生的探究兴趣．所以课例2中的教学方式映射出数学课堂教学的第二种境界——“授人以法”，即在课堂中教师给了学生获取知识的机会，注重培养学生自主学习的能力，但同时也限定了学生获取新知的方向和方法，不利于学生创新思维的拓展与提升．

3 不教而学

3.1 课例3教学过程简介[4]

(1) 回顾已知，系统梳理

师：上节课我们学习了等差数列，我们先来回顾一下这个特殊的数列．我们研究了它的哪些内容？(学生回答，教师复述)它的定义是什么？我们是如何得出的？知道了首项和公差，如何表示它的通项？等差数列有哪些性质？(学生叙述、教师板书列表3，并将等差数列一栏填写完整．)

表3

(2) 提出问题，合作探究

师：在我们研究了等差数列及其相关性质以后，请同学们思考：你还想研究一下哪些特殊的数列呢？

由“等差数列”中的“差”出发，学生容易联想到等和数列、等积数列、等商数列，也有学生可能会想到等幂数列、等指数数列、等对数数列等．(教师板书)

师：同学们提得都非常好！接下来，请同学们选择最想研究的一种或两种数列，并以小组合作的形式开展探究活动．我们的任务就是找出你所研究的数列的特征或性质，完成表格．20分钟以后请各小组展示自己的研究成果．

(教师依情况提示：可以结合我们研究等差数列的过程，从个别例子抽象出它们的共性,再去探究它的定义、数学语言表示、通项公式以及有没有等和(商/积)中项)

学生以小组合作的形式开展探究活动．

(3) 成果展示

师：请各小组代表在黑板上写出自己的研究成果．

例：第一组学生展示的研究成果为“等和数列”和“等商数列”．

第二组学生展示的研究成果为“等积数列”和“等幂数列”(表4)：

表4

随后其他小组展示他们的研究结果．

(4) 师生互动，共同探讨

师生共同检测各小组的研究成果，探讨结论的合理性、规范性，并对难点进行剖析与整理．最后教师鼓励学生：有兴趣的同学，课后可以查阅相关资料，研究一下等指数数列、等方差数列，甚至其他特殊的数列，如等对数数列．

(5) 课堂检测(略)

3.2 课例3简析

课例3与课例2较为相似，都采用了探究式的教学方式，并且都将“等差数列”作为本节课的参照物．课例3中，在复习梳理“等差数列”的相关知识以后，巧妙设问“你还想研究一下哪些特殊的数列呢”，激发学生的求知欲和想象力．让学生从不同的角度提出问题，进而让他们自主选择研究内容，填表完成探究任务．最后以课堂讨论的形式帮助学生进一步正确地、系统地建构新知．可以说，课例3采用了一种开放式的教学方法．教师不拘泥于教材和教案，以学生为学习主体，给了学生“再创知识”的空间．整个教学过程不局限于对学生知识和技能的培养，让学生经历和体验了提出问题、发现知识的过程，真正地学到了知识，并使不同的学生得到了不同的发展．因此，课例3的课堂教学又是一种新的教学境界——“授人以道”，即教师充分利用学生的学习经验，以现有知识为起点，拓展学生的思维，让学生在获取知识的同时，逐步增强数学创新的能力．

当然，课例3中的教学方式也有其局限性．并不是所有的学生都能在这种模式下“再创知识”．所以应强调在给学生“学习空间”的时候，要充分了解学生的已有经验和知识水平，以及对所要探究的“新知”的接受程度．同时教师还要在了解学情的基础上确定教学的重点和难点， 在学生遇到

困惑的时候适时介入，扮演好引导者和合作者的角色，帮助学生走出学习的障碍区．

4 进一步的思考

不同的课堂教学观就会对应不同的教学设计，就会产生不同的教学效果．上述三则课例，同是对“等比数列”的教学，但却映射出不同的教学境界．那么，在这个飞速发展的现代社会，究竟什么样的数学课堂对学生来讲更适合？什么样的教学方式对学生来讲更有效？也许并没有统一的答案．但值得肯定的是，作为一名数学教师，只停留于一种境界、局限于一种模式，无疑不利于学生的全面、可持续发展．著名教育家叶圣陶曾说过：“教学的最高境界是为了不教.”其中也蕴含着“授人以道”的教学思想．这也应该成为教师课堂教学的追求．那么，在数学教育中如何达到这样的教学境界呢？这对教师而言是一个挑战，需要教师始终坚持“以生为本”的教育理念，以促进学生素养的提高和终身发展为出发点和落脚点，为学生创设一个适宜的学习环境，让学生真正参与到课堂中去，在亲自经历发现问题、解决问题的过程中学会如何去学习，找到属于自己的学习之路．同时，教师也应知道，课堂教学是一门艺术，它的生命力就在于创造．希望今后的数学课堂能不断地创新和超越，走向无模式的自由．

最后，通过对上述三则案例的分析，得出以下思考：(1)教无定法，但教师要知道哪种教学方式适合学生．同一内容、不同的学生，应该要有不同的教学方法．(2)数学是思维的体操，数学的教学应是思维的教学．在教学过程中应尽可能地激发学生探索新知的欲望，促使学生积极动脑思考，并在学习的过程中感受到知识形成的脉络．(3)数学课堂上的知识教学不应仅局限在课本上，应立足于课本，并在其基础上延伸和拓展，让学生感受到知识并不是固定存在的，而是可以去探索和创设的．这样得来的知识才更具有生命力．