从高考试题谈数学文化融入教学

蒋孝国 (江苏省太湖高级中学 214125)

为深化课程教学改革，教育部考试中心于2016年10月公布了《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，从考试命题的角度第一次正式地要求把数学文化渗透入高考试卷．《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《标准》)指出数学文化是数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献，以及与数学相关的人文活动．《标准》强调数学文化要融入课堂教学，因此研究高考试卷中的数学文化试题有重要意义．本文中笔者将2018年数学文化试题归纳为数学名家、数学名著、数学名题和数学应用四种类型进行赏析，并统计1978-2018年高考数学试卷中文化试题出现的情况，从对试题的分析得到数学文化融入日常教学的启示．

1 数学名家

例1(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )．

本题中不超过30的素数有：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29，共计10个；满足题意的为7和23, 11和19, 13和17，答案为C．几百年来，数学家对哥德巴赫猜想进行了艰辛的探索，中国的数学家取得了辉煌的成绩． 1966年，陈景润证明了“1 + 2”，即任一个大偶数都可表示成一个素因子不超过1个的数与另一个素因子不超过2个的数之和．数学家出现在高考试卷已呈常态，笔者统计1978-2018年高考试卷中数学家出现的情况如表1．

从表1可看出，中国古代数学家出现次数较多．这体现高考试卷展示中国数学家成就、培养中学生热爱传统文化、弘扬爱国主义精神的导向． 以数学家或者数学家的成果命制试题，一方面可以考查学生的思维方式和方法，有利于帮助学生认识数学的发展性、直观性、构造性等；另一方面，中外数学家为探索真理、发明创造,以科学务实的精神百折不挠、奋力拼搏，留下了许多可歌可泣的故事，是育人教育的好素材，能激发学生学习数学的兴趣和动机，培育真善美．

表1 高考试卷中出现的数学名家

2 数学名著

例2(2018·上海)《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图1，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )．

(A)4 (B)8 (C)12 (D)16

图1

本题中阳马个数为16．《九章算术》是中国古代最著名的传世著作，对中国古代数学和数学教育的发展起着巨大的作用．全书共九章，分别是方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股．

本题是著名的“百鸡问题”，解得x=8,y=11．唐朝在国子学中设立明算科，钦定的教科书是《算经十书》，包括《九章算术》《张丘建算经》等十本数学名著．《张丘建算经》主要的数学成就是某些不定方程的求解以及最大公因数和最小公倍数的计算，发展了等差级数．数学名著出现在高考试卷已是屡见不鲜，数学名著出现情况统计如表2．

表2 高考试卷中出现的数学名著

从表2我们看出《九章算术》出现的次数最多．这是因为《九章算术》是中国古代最重要的数学著作，开创了中国古代数学的基本术语与概念，反映了社会需要的实际要求，形成中国古代数学以实用为目的、以算法为核心的独特体系．以数学名著为背景命制高考试题，既可让学生了解中国古代的数学成就，又可让学生感受我国古代数学的优秀传统——数学要关注生产、生活等社会问题，通过了解数学文化，体会数学知识方法在认识现实世界中的重要作用．

3 数学名题

例4(2018·全国Ⅰ)下图2来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3，则( )．

(A)p1=p2(B)p1=p3

(C)p2=p3(D)p1=p2+p3

图2

由勾股定理可得两个月牙的面积等于△ABC的面积，故选A．希波克拉底是古希腊几何学家．他有两大贡献，一是第一次阐述了从几个已知公理或公设中精确而有逻辑性地推导出几何定理的过程，二是证明了“月牙面积定理”，实现了“化月牙为方”．古希腊数学家掌握了三种类型的“化月牙为方”，1771年欧拉发现了另外两种类型的“化月牙为方”，直到 20世纪，N. G. 切巴托鲁和A. W.多罗德诺才证明出这五种“月牙形”是唯一可用等积正方形表示的“月牙形”．数学名题以“显性”或者“隐性”的形式在高考试卷中出现，笔者统计如下表3．

表3 高考试题中出现的数学名题(不完全统计)

数学名题是在历史的长河中形成的，并在数学发展、数学应用和数学教学方面起着重要作用，代代相传，交融传播，体现了和谐之美，是数学园地中的奇花异草，是人类文化的瑰宝．从表3我们可看出，高考试卷中融入了大量的经典名题，背景涉及古今中外，彰显了数学的文化特征，丰富了高考数学的文化内涵，有助于考生接受不同数学文化的熏陶，领略古今中外数学思想和方法的魅力．

4 数学应用

(1)建筑与数学

图3

例5(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图3中木构件右边的小长方体是棒头．若如 图3摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )．

(A) (B) (C) (D)

本题以古建筑设计为背景，本质上是将小长方体嵌入大长方体中，从俯视方向看，小长方体的俯视图必然是虚线，故选A．建筑是人类为适应环境的一种创造，是客观物质世界的数量关系与空间形式的表现．数学是建筑设计思想重要的来源，数学知识在建筑上的应用无处不在.一部建筑史，也是一部辉煌的数学史．

(2)音乐与数学

本题以音乐与数学为背景，考查等比数列基本量的运算．莱布尼茨说：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的．”爱因斯坦风趣地说：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成．”音乐与数学都是抽象的，都是通过有限去反映和把握无限．

数学对人类的影响主要反映在数学知识、方法和思维的应用上．在社会发展上，数学是推动物质文明的重要力量；数学是建设精神文明的重要因素；数学是推动艺术发展的文化激素．生活上，数学帮助人类提高效率、判断与决策以及优化生活．以数学应用为背景的文化试题在高考试卷中也多有体现，笔者统计如下表4(不包含应用题和概率统计)．

表4 高考试题中出现的数学应用

从表4我们不难看出数学试题贴近生活，反映数学与其他学科的联系．以数学应用为背景的数学文化试题拉近考生与生活的心理距离，可以使学生感受到数学与现实生活的广泛联系，体会数学的价值，形成数学应用的意识．

5 教学启示及建议

数学文化融入课堂教学可使课堂有文化层次性、有历史厚重感，让数学内容变得生动活泼，使学生兴趣盎然．从试题的分析得到如下启示．

(1)数学阅读教学与写作教学相结合

数学文化素材中有大量的数学家故事、数学概念起源、数学名题的形成过程等．阅读数学文化素材可开扩学生的视野，增长知识，了解数学方法和思想的形成过程，体会数学家的辛勤付出和艰难跋涉，学习数学家探索真理的科学精神．开展阅读教学，教师要从古中国、古希腊等世界古代数学文明以及现当代数学中遴选材料，组织学生阅读，指导学生写感想、体会，引导学生对数学名题进一步研究并撰写研究报告或者小论文，组织专家对论文进行评价．

(2)教学运用历史相似性原理

数学文化主要源于数学史．历史相似性原理指出个体数学理解的发展遵从数学思想的历史发展顺序．因此教学时，教师首先要通过创设情境激发学生的学习兴趣、动机，将数学思想逐步演化的历史过程与数学严格的逻辑推理过程有机结合，运用数学史的观点和材料重新组织教学的体系与内容，呈现知识的发生发展过程．

(3)开展数学建模活动

数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学科学技术化的主要途径．《标准》指出数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程．教学时，教师要引导学生在生活化的情境中体验、探究隐藏于其中的数学，指导学生在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题，最终解决问题．