对椭圆中若干斜率问题的探究

顾旭东 (江苏省海门中学 226100)

圆锥曲线问题在高考中一直是学生较难逾越的一道坎，而近几年对于椭圆中的斜率问题的考查显得尤为突出，对于那些不熟悉套路的学生而言，一个个斜率可谓“群魔乱舞”,让人吃尽苦头. 笔者结合平时的教学体会对与斜率有关的问题稍做整理，抛砖引玉，恳请同行指正.

斜率探究之1一步到位

图1 图2

点评 若让A，B两点向中间无限靠拢，则借助极限知识可知(1)与(2)两者可融为一体.

图3

点评λ,e,k这三个关键元素在解题中相得益彰、和谐共处，而“知二求一”就是常规考查的方向.

斜率探究之2二龙戏珠

图4 图5

图6 图7

点评 (4)—(7)这四个结论，形变神不变，读者可细细体会其中关联.

图8 图9

略证(1)若kMN不存在，显然满足.

(2)若直线MN斜率存在，不妨设为k，

图10

点评 (8)与(9)充分体现了特殊与一般的关系.(10)又很好地传承了(9)，这为指导我们的命题起着积极的作用.

图11 图12

点评 (11)与(12)不仅可以通过逆向设问来构造题目，甚至还可用来帮助我们确定准线的位置.

斜率探究之3三国演义

图13 图14

点评 (13)与(14)涉及椭圆中两类特殊的三角形，(13)体现了设而不求思想与韦达定理的精彩演绎，(14)隐藏了焦点三角形中顶点P处的内角平分线与P处切线垂直的特征.

图15 图16

点评 (15)与(16)的相关结论时常隐于各省市的模拟试题中，用等差数列作为载体来考查学生的综合能力．这两题运算难度较大，学生会有一定的畏难情绪，但作为教师如何设置台阶把学生引入门，使其站在一定的高度，一览众山小，这是我们教育工作者需要考虑的问题.

笔者仅以椭圆为例，归纳了椭圆中与斜率有关的部分有趣、优美的性质，同样在双曲线与抛物线中也有类似的性质，在此不再赘述.