高中数学新概念起始课的教学研究——以“指数函数(1)”为例

王 娅 (江苏省苏州市第五中学校 215008)

起始课又称导言课、引言课或绪论课．《辞海》中说：绪者，丝之头．绪论，即开头要讲的话．随着新课程改革的不断深入，对起始课教学的研究越来越受到广大教师的重视．2019年8月26日,苏州市高一数学教改组组织了主题为“基于提升数学核心素养的高一教学的策略研究”的教学研讨活动，笔者开设了一节“指数函数(1)”公开课.“指数函数(1)”作为一个新概念的起始课(以下简称起始课)，有很多方面值得研究．本文中，笔者将以这节公开课的教学片段为案例对高中数学起始课的教学提出一些思考．

1 高中数学起始课的教学现状

起始课往往不受教师重视，在起始课的教学中教师经常是单刀直入地直奔主题，教师的教经常是由解题代替知识的生成过程，而学生则被动地跟着教师走，对教师有着很强的依赖性，没有主动参与概念的生成过程．学生在经历新概念、新知识的产生过程中也是一知半解，缺乏对于知识产生背景的了解，数学思想的渗透、数学文化精神的感染、数学思维也得不到发展，思维是固化的．

2 高中数学起始课的地位和作用

李邦河院士认为：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧！技巧不足道也！”[1]高中数学起始课是一个章节或一个单元学习的起点，它承接在上一章节已学内容的基础上，对原知识展开拓展研究或对新知识展开探究学习．如何使学生对本章将要学习的内容、结构、思想方法有一个大致的了解，使起始课发挥“先行组织者”的作用，是起始课教学设计过程中应重点关注的问题．上好章节起始课，不仅可以使学生了解本章知识的来龙去脉，更重要的是让学生知道为什么学、怎样学以及学什么，在学习过程中提升学生数学核心素养．

本节课是学生继初中学习一次函数、二次函数、反比例函数之后初次学习新的函数，并且本节课对于指数函数的研究过程将为今后学生学习对数函数、幂函数等其他函数奠定了基础．因此，笔者想结合本节公开课的教学实录，展开对起始课，特别是新概念起始课的教学研究．

3 “指数函数”的教学设计和实录

3.1 问题情境的设计

了解数学概念的实际背景，让学生经历知识的探究生成过程，有助于数学概念本质的掌握．同时,从实际生活的例子出发能使学生感受到指数函数用途广泛并体会到学习指数函数的必要性，从而激发学生学习指数函数的兴趣．

(1)利用章引言，创设问题情境

苏教版教材“指数函数、对数函数和幂函数”一章中，在“分数指数幂”之前，首先呈现了这样一段文字：“某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果分裂一次需要10 min，那么1个细胞1 h后分裂成多少个细胞？假设细胞分裂的次数为x，相应的细胞个数为y，则y=2x．当x=6时，y=26=64．即1个细胞1 h后分裂成64个细胞．”据此，笔者在本节课的教学过程中是这样进行的：

师：我们已经学习了函数的概念、图象与性质，大家都知道函数可以刻画两个变量之间的关系．你能用函数的观点分析下面的例子吗？

师：大家知道细胞分裂的规律吗？

情境1 某细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果细胞分裂x次，相应的细胞个数为y，如何描述这两个变量的关系？

设计意图章节起始内容是整个章节的“剧情简介”．作为教材每一章节数学知识的“首秀”，章节起始内容发挥着先行组织者的作用，揭示了本章研究的数学知识及知识的背景来源．无论是章头图还是章头语，都开门见山地告知学生本章我们将要研究什么主题、探讨什么样的数学知识，告知“我们将要到哪里去”.[2]在章引言的教学中，充分利用教材中的章引言材料，创设适当的问题情境激发学生兴趣，达到引入课题的目的．教材提出细胞分裂这一数学模型，旨在通过细胞分裂的实例让学生了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性．

师：我发现教室里第一排第一位同学的桌上有两个馒头.如果老师给第二位同学四个馒头，第三位同学八个馒头，以此类推，到最后一排最后一个男生那里，老师要给他几个馒头？如果教室里有x名同学，老师应给这第x名同学几个馒头？

笔者就地取材(刚好教室第一位同学桌子上有两个包子)，举这样一个例子拉近了问题与学生的距离，使得学生发现原来数学就在身边.这不仅揭示了指数函数的实际背景，还让学生了解本章的学习内容，解决“为什么引入指数函数”的问题．

(2)文化与历史同行，展现多元的互动探究

《普通高中数学课程标准(实验)》中指出：“通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识．[3]课堂教学是一门科学也是一门艺术，数学教学过程中应该体现出数学知识授受与数学文化渗透的统一．课堂中数学文化价值的传承对于帮助学生树立正确的数学观至关重要，而高中数学起始课可以作为传承数学文化的载体．

情境2 “一尺之棰，日取其半，万世不竭.”写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的关系式．

师：《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”同学们是否知道这句话的意思？

生：有一根一尺长的木棒，每天截取一半，永远也取不完．

师：请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的关系式.

设计意图实际生活中有不少指数函数的模型.追溯到很久以前，古人早已发现了这样的模型．利用《庄子·天下篇》中的这样一句话，使得学生不仅能全面深刻地理解数学知识、体会数学的价值，更能提高其科学及文化素养、提升数学的审美意识．教师在课堂教学中渗透数学文化，对于帮助学生建立正确的数学观、提升数学的审美素养、培养学生学习数学的兴趣具有极其重要的意义．朴实灵动的数学课堂应该具有本真的数学气息、厚重的文化气韵、灵动的生命气象．

3.2 数学概念形成的设计

对于指数函数概念的形成，要让学生经历一个由特殊到一般、由具体到抽象的循序渐进的过程，这样更加符合学生的认知心理，从而能提高学生的数学核心素养．

(1)概念建构中，提升数学抽象能力

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．数学抽象主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征．通过问题情境的创设，使得学生认识学习指数函数的实际背景，同时教师也应该引导学生舍弃事物在实际生活中的背景，抽象出数学的研究对象，实现数学化的过程．

问题请你观察得到的函数，它们具有哪些相同的特征？

生：自变量在指数位置上，底数为常数．

师：同学们能否举出类似于自变量在指数位置上、底数为常数的函数？

生：(举例)函数y=3x,y=10x……(函数y=ax(a>1))

师：(板书学生的举例,稍停顿)能举个不太一样的例子吗？(提示：底数非得大于1吗？)

师：这些函数的自变量是什么？它们有什么共同特点？

生：底数是常数，自变量在指数位置上．

师：你举出的函数中，自变量x能否等于0，能否小于0？

生：可以．

师：怎样用一个函数形式来概括它们？

生：y=ax．

师：在y=ax中，自变量是x，底数a是常数．以上例子的不同之处是底数不同．那你觉得底数的取值范围是什么呢？

生：底数不能取负数．

师：为什么？

生：如果底数取负数或0，x就不能取任意实数了．

师：能否举一个例子来说明？

师：为了研究的方便，我们要求底数a>0．当a=1时，函数就是常数函数y=1．对于这个函数，我们已经比较了解了．通常我们还规定a≠1．今天我们就来了解一下这个新函数．(出示定义)

指数函数定义：一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)称为指数函数．它的定义域是R．

设计意图在创设的问题情境中，自变量实际上是有限制条件的，它们的范围是x∈N*．而我们所要研究的指数函数的自变量取值范围是x∈R，从x∈N*过渡到x∈R，需要让学生感受得到的函数的共同特征，从而自己举例说出这样类型的函数.学生举例说出的函数没有实际背景，这样就自然而然地将指数的取值范围扩充到了R．通过列举生活中指数函数的具体例子，感受指数函数的与实际生活的联系．引导学生从具体实例中概括典型特征，初步形成指数函数的概念，并用数学符号表示．初步得到y=ax这个形式后，引导学生关注底数的取值范围，完成概念建构．指数范围扩充到实数后，关注x∈R时y=ax是否始终有意义，由此引导学生得到a>0且a≠1的限制条件.概念教学应当让学生感受形成过程，了解知识的来龙去脉，那种直接抛出定义后辅以“三项注意”的做法剥夺了学生参与概念形成的过程．

(2)在交流合作中，培养自主探究能力

学生已经学习了函数的概念、表示方法与函数的一般性质，对函数有了初步的认识．在此认知基础上，笔者引导学生自主提出所要研究的内容，寻求方法．开始的问题较宽泛，教师通过几个问题逐步缩小问题范围．教师在引导的过程中，应充分尊重学生的思维个性和主体地位，创造学生自主探究的机会，设置合作交流的平台，通过汇报交流活动让学生体验数学概念性质的形成过程．

师：我们一般要研究函数的哪些性质呢？

生：定义域、值域、单调性、奇偶性．

师：(板书学生回答)怎样研究这些性质呢？

生：先画出函数图象，观察图象，分析函数性质．

师：我们先研究几个具体的指数函数，再研究一般情况．

师：请同学们选取数据，画出图象，观察特点，归纳性质．(板书“画图观察”“取特殊值”)

(师生活动)学生选取不同的a的值，作出图象，观察它们之间的异同，总结指数函数的图象特征与函数性质．

学生在描点作图时列举点的个数有局限性，因此对当x→∞时函数的图象特征缺乏直观感受．而且所举例子个数有限，学生对于归纳的结论缺乏一般性的认识．教师可利用绘图软件作出底数连续变化的图象，强化直观感受，验证猜想．在合作探究过程中，学生感受到从特殊到一般的思维方法是概括归纳抽象对象的一般思维方法，体验了数形结合的数学思想．本节课的重点是通过对指数函数图象性质的研究，总结研究函数的一般方法，对于以后研究其他函数奠定基础．

学生通过观察图象，发现指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质．教师用实物投影仪展示学生所画图象，学生根据具体函数图象说明具体函数性质．

师：(实物投影)请大家观察一下这位同学的图象是否正确？

生：不正确，他只画了x轴正半轴的图象．

师：让我们一起再来认识一下指数函数的定义.一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)称为指数函数．它的定义域是R．

师：指数函数的定义域是R，那么我们在列表时要注意什么？

生：x可以取负数．

设计意图在列举学生所画图象的过程中，教师引导学生关注列表描点作图的过程，引导学生反思画图过程，使学生获得对指数函数图象的直观认识．学生观察图象是对图形语言的理解,根据图象描述性质是将图形语言转化为符号或文字语言;对函数的理解是建立在三种语言相互转化的基础上的．在交流汇报过程中，一方面要通过对探究较深入的学生的具体研究过程进行剖析，总结提升学习方法，优化学习策略；另一方面要关注部分探究意识与能力都薄弱的学生的表现，鼓励他们大胆发言，激励他们主动参与活动，让全体学生成为真正的学习主体．自主探究活动能充分激发学生的相互学习能力，有效帮助学生突破难点．

(3)渗透数学思想，提升几何直观能力

起始课教学中有一个状况：以解题来代替起始课中的概念生成过程．教师往往把注意力放在几种题型、几种方法上面，很多教师都分不清解题技巧和数学思想的界限，认为直接告诉学生解题技巧，学生按照这个技巧依葫芦画瓢，时间久了自然而然能体会到数学思想；教师没有告诉学生这个技巧因何而来、其中蕴含的数学思想方法是什么.数学思想方法的渗透应该是潜移默化的过程，只有让学生知道了所以然，这些技巧学生才能灵活应用．比如对于本节课的例1，笔者是这样给出的：

例1比较1.52.5,1.53.2两个值的大小．

变式1 比较0.52.5,0.53.2．

变式2 比较0.52.5,1.53.2．

图1 图2

设计意图例1和变式1都是可以通过构造一个指数函数，并利用指数函数的单调性来解决的，但是变式2的两个值底数不同，无法构造一个指数函数而直接得解.有教师可能会说：“这类题目我们需要找一个中间量1来比较．”这个中间量1从何而来？学生百思不得其解，感觉这个1出现地非常突兀.笔者在处理这个问题时借助了指数函数的图象，如果引导学生将这两个值所对应的指数函数图象画出来(图1)，可以看出1.53.2比1大，而0.52.5比1小，由此自然而然地引出y=1这条直线来(图2).数形结合能使思考过程更有效．

4 关于数学起始课的教学反思

4.1 在起始课中要合理设置问题情境

本节课是苏教版必修1第3章“指数函数、对数函数和幂函数”中“指数函数”第1节课，学生已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数，而指数函数是学生在高中学习的第一个重要函数模型，并且指数函数是学生在学习过函数概念及性质的基础上，应用研究函数的一般方法来研究初等函数的一次实践．因此，本节课所学习的内容起着承上启下的作用,也是学生体验数学思想与方法应用的过程．问题情境的创设可以是与实际生活背景相关的问题，可以是数学概念形成过程中的问题，也可以是数学史或数学文化等，但它们都必须具备说明概念引入的必要性的功能，这是最重要的选择标准.一方面可以引入指数函数，另一方面也使学生理解了学习指数函数的必要性，从而激发学生学习兴趣．

4.2 在起始课中要注重概念的生成

当前高中数学起始课的概念教学中，许多教师不重视，仅仅就是将知识点过了一遍，对于概念背景的引入也是蜻蜓点水、一笔带过，或者是给出“一个定义，三项注意”.实际上，概念背景的引入不光是让学生知道为什么要学，更能向学生揭示概念的本质.本节课的教学过程中，笔者从实际生活例子出发引导学生理解指数函数的实际背景，而对于指数函数概念的形成过程，笔者希望学生都能主动参与概念的形成过程，这也是新课程的理念.但学生如何参与？教学设计需要为这个过程搭建合适的平台.在本节课中，笔者设置了有关指数函数概念的一连串的问题，为学生的提炼、抽象、概括活动搭建好“脚手架”，有效地组织课堂活动，大大提高了课堂的效率．

4.3 在起始课中要搭建互动探究平台

教师应发扬教学民主，给学生提供由自己提出问题、确定研究策略的平台，使学生逐步学会怎样研究问题，促进自我能力的发展，同时为今后的学习积累经验，鼓励学生大胆质疑，提出自己的看法，使学生在合作学习中有获得轻松感．这样才能有利于学生在课堂上大胆提出问题，畅所欲言，集思广益，逐步形成宽松民主的课堂气氛，为生生、师生之间成功合作学习创设良好的教学环境．鉴于学生尚未完全掌握研究函数的一般方法，在自主探究活动前，教师应组织学生对研究的策略、方法和内容展开讨论，达成共识．在问题提出后，教师应及时有针对性地补充启发，帮助学生理解什么叫“如何研究”，促进学生理解研究函数的一般方法．在交流合作探究活动过程中学生通过实际操作，经历从特殊到一般、具体到抽象的研究过程，体验数形结合的思想方法．对于部分能力较强的学生，可引导他们尝试说明(或证明)归纳出来的性质，体验数学研究的完整过程．

4.4 在起始课中要提升数学核心素养

数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面．数学抽象是数学的基本思想，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中．在这节课的教学活动中，从实际生活中特殊的指数函数模型抽象出一般的指数函数的结论，在经历了从x∈N*过渡到x∈R，再到底数a的取值范围问题的过程，这一过程使得学生能更好地理解数学概念的形成，知道概念的来龙去脉．而直观想象利用直观几何图形理解和解决数学问题．对于本节课的例1，我们就利用指数函数的图形特征，从图形中不难发现两个数值与1的大小关系，在课堂教学中我们要启迪学生解决问题的思路，建立形与数之间的联系，加深对指数函数的理解和认知．