影响初中学生代数应用能力的原因初探

石 峰 陶增元 (江西省九江市第十一中学 332000)

《义务教育数学课程标准(2011版)》明确提出，在数学课程中，应当发展学生的模型思想．为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识．[1]在教学中，我们不难发现，很多学生基础比较扎实，但在面对与实际生活相关的应用题时往往会手足无措，不能正确地从实际生活中抽象出数学问题．到底是什么原因造成他们的应用能力不强呢？如果我们不去分析学生在应用能力上存在什么样的问题，不去找到问题的症结，盲目地加大训练量，大搞题海战术，就会造成学生浪费大量的时间，让学生疲于应付，进而影响学生的身心健康．我们对本校学生进行了认真仔细的分析，探寻学生在代数应用能力方面偏弱的主要原因.

1 读懂才能审好题 审题常见缺、跳、蒙

影响一个学生解答应用题正确率的有三个层面的因素：一是他的知识储备，二是他对题目每一个量的理解和分析，三是对题目中量与量之间关系的理解与分析.每一个因素的不足都会导致解题的失败.第二个层面与第三个层面的因素其实就是常说的审题，审题是解题的第一步，通过审题发现思路，制订解题方案，建立模型．审题中的分析题意是建立方程模型或函数模型的一个重要环节，它存在的主要意义首先是用来寻找数量关系，其次是借助于表格或线段图用代数式表示各个已知量或未知量，最后是用等号或不等号把这些量连接起来，从而形成方程或不等式．但由于它不直接反映在试卷上，因此没有引起学生、家长甚至部分教师的重视，导致某些学生在有意无意之间忽视了这一环节.做常见题型时，方程模型一目了然，不需要借助其他的手段就可以得出，但面对新的背景、新的题型时，由于平时没有相应的训练，不能借助其他的思维工具，从而在审题时经常出现缺、跳、蒙等现象．所谓“缺”，是指缺少题中所叙述的相应的生活常识或生活经验；“跳”，指的是跳跃式阅读试题或用跳跃式思维建模；“蒙”，指的是当学生在读不懂题时，靠蒙或猜来进行建模．具体分析如下.

1.1 缺少必要的生活经验

现在的学生的生活其实非常单调，基本上是两点一线：学校—家庭.大部分学生被学校和家长保护着，与外界接触很少，他们不能或不愿去观察外部世界，从而变成一个个“生活小白”．某次统考初一数学试卷中出现了下面一道填空题：

例1盘秤是一种常见的称量工具，指针转过的角度与被称物体的重量有一定的关系，如下表所示：

重量/kg022.53…指针转过的角度0°36°45°54°…

某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的两倍少3 kg，且指针第二次转过的角度比第一次大108°，则该顾客一共购买了kg的水果．

这是一道以实际生活为背景将一元一次方程与角的度数结合起来的综合试题，它要求学生首先要建立重量与指针转过的角度之间的数量关系，然后用方程的思想进行建模，主要考查学生的建模能力．在实际解答中，很多学生由于不做家务、与外界接触少，并且这种台秤在市面上已不多见等多方面的原因，所以在解答此题时理解不了指针是怎样转动、指针的转动与重量为什么有这种关系，甚至有个别学生认为指针的度数超过了180°时指针会按逆时针方向转动，从而使很多学生在这道题上严重失分．

再者，由于时代的飞速发展，某些题目的背景已经在生活中很少见到，导致学生无法理解题意或曲解题意．

例2小明全家外出旅游5天，家里的日历没有撕．结束旅游后回家，小明连撕5张日历，这5张日历日期的数字之和是105．那么他们是几号回到家的？

由于时代变迁，这种在上个世纪挂在每家每户的墙上且每天要撕下一张的日历已经成为历史，现在使用的也只是根本不用撕的挂历或者台历，更多的学生看日期是通过手机等媒介．他们的解题过程是：设这五天的最中间一天的日期是x，根据题意可得5x= 105，解得x= 21，x+ 2 = 23，所以他们是23号回家的．这种解题思路没有错，但由于对这种日历不熟悉，所以误将撕下的日历的最后一天当作是回家这一天的日期．造成学生丢分是由于对生活常识的不熟悉，而不是对数学的理解欠缺．这类题与当前学生的生活相距太远，不能起到考查或提高学生应用能力的作用，应当被摒弃．

1.2 阅读理解能力欠缺

某些学生乃至于他们的家长对待学习的功利性太强，不重视语文的学习，他们认为优生与中等生的语文成绩相差不大，在语文上所花时间与所取得的效益相比，性价比相对较低．而相比之下，数学的优生与差生的分数差距非常明显，在数学上花的时间与所能取得的效益相比，性价比更高，因此，他们更愿意在数学上花更多的时间，去加大做题量，而减少语文科目的学习.这些做法看似可以利益最大化，但却制约了学生的数学进步空间．

例3某养鸡专业户要搭建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，若篱笆长为11 m，垂直于墙的一边长xm，则养鸡场的面积为m2．

很多学生在解答时给出的答案是11x.仔细思索之余可知，他们是将篱笆长当成了由篱笆围成的长方形的长.尽管在字面上都含有“篱笆”，都有“长”，但两者表示的并不是同一个意思，是学生在阅读时将这两者混为一谈而导致的错误.学生在试题的理解中暴露出阅读理解能力不足，从而影响了他们的解题效果．

1.3 跳跃性阅读

漫画、游戏中的快节奏，使某些学生已经养成了一种跳跃式的思维方式，无论是审题还是思考都是采用快进的方式进行，他们不能静下心来逐字逐句地阅读题目、理解题意.经常有学生来问题目时，只要要求他再一次读题，他在教师面前乖乖地、逐字逐句地读完题目后，就会恍然大悟，原来他有一个条件没有看到．

图1

例4小明家新买了一套商品房，其结构如图1所示(单位：m)，小明的爸爸打算除卧室外，其余部分都铺上地砖．试问：

(1)至少需要多少平方米的地砖？

(2)如果所铺地砖的价格为80元/m2，那么小明家至少要花多少元钱？

不少学生在解答第(1)问时，将原图补成一个长方形，这个长方形的面积为4a·4b=16ab，减去空白部分的面积ab，应铺地砖的面积为15ab．第(1)问出错，自然就导致第(2)问也出错．分析学生错误的原因时，竟然是没有看到“除卧室外”这四个字，因为这部分学生为求快速做完试题，他们不是逐字逐句地读题，而是在跳跃地看题.又是一个不认真审题造成的丢分，不禁让老师扼腕叹息．这种不良的审题习惯造成的丢分势必会影响到学生的心情，进而会影响到学好数学的信心．

2 形象抽象两翅膀 解题却作两边飞

在代数应用题的解答过程中，经常涉及到数学模型的建立与求解，建立和求解模型的过程包括：从具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义．[1]7而在这个过程中，就不可避免地要运用形象思维与抽象思维，这两种思维在数学上的应用就是根据试题所描述的场景，学生在头脑中形成一幅画面，然后把这幅画面抽象成线段图，再用代数式表示每条线段的长度，最后根据数量关系建立数学方程．

例5(北师大教材·数学七上)一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35 km/h的速度前进，突然，1号队员以45 km/h的速度独自行进，行进10 km后掉转车头，仍以45 km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合．1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？

图2

在实际解题中，有以下几种思维上的误区：

(1)不能将头脑中的画面抽象成线段图，在他们的头脑中形象思维与抽象思维是两个孤立的个体，不能把它们有机地结合起来．

发生这些错误的根本原因是不能将具体的情景抽象成线段图，或对线段图中存在哪几个量以及这些量之间的关系理解不到位．

3 规律结论会归纳 应用能力却低下

数学应用能力不仅表现在代数应用题的建模上，同样也体现在对数学新定义、新公式、新结论的应用，即知识的迁移能力上．所谓知识迁移就是一种学习对另一种学习的影响，而知识迁移能力是指我们运用已熟悉的旧知识来解决一些新问题时所表示出来的能力与素质．有的学生在长期的题海战术下积累了丰富的解题经验，已经具有了一定的分析、归纳、总结的能力，但在对总结出来的新概念、新知识的应用上存在严重的短板.这主要源于平时基本是由教师针对某一类题型进行示范讲解，之后再大量地进行巩固训练，学生只是在被动机械地练习，失去了主动学习、主动探索的精神，没有将学习到的知识内化成自己的东西，自然就无法迁移到其他的问题当中去．

例6观察下列各式：

(1 +x)(1 -x) = 1 -x2，

(1 +x)(1 -x+x2) = 1 +x3，

(1 +x)(1 -x+x2-x3) = 1 -x4，

(1 +x)(1 -x+x2-x3+x4) =

1 +x5，…

(1)用含x与n的代数式表示上述规律；

运用上述规律解决下列问题：

(2)计算：(1 - 2 + 22- 23+ … - 219) ÷

(1 - 2 + 22- 23+ … -29)；

(3)若1 -x+x2-x3+x4= 0，求代数式x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019的值．

此题的正确解答是：

(1)当n为奇数时，(1 +x)(1 -x+x2- … -xn) = 1 -xn + 1，当n为偶数时，(1 +x)(1 -x+x2- … +xn) = 1 +xn + 1．

(3)因为1 -x+x2-x3+x4= 0，所以(1 +x)(1 -x+x2-x3+x4) = 0，而(1 +x)(1 -x+x2-x3+x4) = 1 +x5，故1 +x5= 0，x5=-1．将x=-1代入1 -x+x2-x3+x4= 5 ≠ 0，故x≠ -1．

x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019=

-(1 -x+x2-x3+ … +x2 018-x2 019) + 1=

在能将第(1)问写出正确答案的学生解答中可以看出，很多学生无法将得出的规律运用到新的问题中去；在第(2)问的解答中有以下几种不同的错误：

(1)将被除式与除式都直接算出来，为 -1 048 575 ÷ (-1 023) = 1 025，尽管答案正确，但却没有应用自己所归纳出来的规律；

(2)在化简的第一步，被除式与除式都没有乘(1 + 2)，缺少规律中的(1 +x)，从而无法应用规律；

在第(3)问的解答中，出现了以下几种不同的解法：

(1)x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019=1 - 1 +x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019= 1 - (1 -x+x2-x3+x4) +x5(1 -x+x2-x3+x4) - … +x2 015(1 -x+x2-x3+x4) = 1 - 0 + 0 - … + 0 = 1．

这种解法结果是正确的，但同样没有按题目的要求运用所归纳出来的规律；

(2)已经运用归纳出来的规律计算到x5= -1，但他认为x=-1，故代入到代数式x-x2+x3-x4+… -x2 018+x2 019中去，得到结果为-2 019.这是没有去回顾原题，如果x=-1，那么1 -x+x2-x3+x4的值能否为0？

从学生的解答可以看出，他们不善于将自己探索到的规律或知识运用到后续的解题当中，只是按照自己的理解或经验进行解答，从而导致了很多不符合要求的解答过程，加强数学应用意识的培养迫在眉睫．

当然，学生在解答试题时，还存在着意志力不坚强的原因．畏苦畏难，解题过程中一旦遇到困难立刻放弃，不愿也不敢去尝试用其他方法解决自己遇到的困难，还称其为“识时务”、“果断放弃”、“不浪费时间”．这充分说明了这部分学生在面对困难时缺乏一种不服输的劲头，缺乏一种顽强拼搏的精神和坚强的意志，缺乏那种“不到长城非好汉”的豪迈气概．

由前文的分析可知，学生在解答代数应用题时既有审题的原因也有生活经验不足等非数学原因导致的失误，还有数学基础及数学能力欠缺造成的错误.这就要求我们在分析错误原因时，不能一概而论，不能简单地斥之为不认真、不努力造成的，而是要耐心地找到错误原因，然后对症下药，找到帮助学生进步的最佳途径．