体现数学化理念的高中数学学案设计

袁华风

[摘  要] 统筹、思考“数学化”和“提出问题”这两个问题的学案设计能引领学生进行有效的“课堂对话”，帮助教师构建体现“数学化”思想的教学模式，真正实现“数学化”的教学并取得余音绕梁的效果.

[关键词] 数学化;学案;学习引导;思考引导;总结引导;拓展引导;教学目的

“数学化”在数学课程改革不断推进的今天已经成为大家关注的热点，如何用数学“教化”人这一问题却仍旧没有得到完美的解决. 与此同时，培养“提出问题”的能力这一问题也令人们的眼光聚焦在了一起. 事实上，“数学化”和“提出问题”这两个问题的思考和解决在学案的设计中就应该进行统筹和思考，将“问题的提出与解决”设定为教学的目的并依托“学案”，使学生能够在课堂教学中进行有效的“课堂对话”并顺利构建起体现“数学化”思想的教学模式.

妥善处理好学案和教案之间、学案和教学之间的关系才能将学生的思维引入深处，使学生在学案的习得中体验“是什么”“为什么”并因此将预习所得“数学化”，这是检验学案成功与否的重要指标.

如何设计学案

设计学案需要考虑能否引导学生加深理解并发现知识间联系、能否激发学生寻得解题新思路、能否帮助学生运用发展的观点看待问题等诸多方面的因素.

1. 确定设计思路

引发学生思考并使其提出问题是设计学案的主要目的，通过学案设计问题并使学生根据问题引领进行材料的收集以及内涵的了解，才能使学生学到知识的精髓并促使自身知识发生质的改变.

（1）设计起始问题并以此为引领

提出问题与解决问题相互依赖且不可分割，教师精心设计的起始问题不仅是影响学案设计成功与否的关键，更是激发学生真实感受并引领学生学习与思考的关键步骤.

比如，我们在设计“直线的点斜式方程”这一学案时就可以提出如下起始问题：几何和代数这两个数学分支相互关联且密不可分，就好比平面中的点始终会有一对实数跟它一一对应一样，那么大家一起来思考一下，平面中的直线和代数中的什么内容之间会是一一对应的呢？

这一问题的思考和解决必然需要诸如以下的新问题的提出：以前见过此类问题吗？以前是否见过跟此问题相关联的问题呢（直线和一次函数的关系）？会是直线和一次函数一一对应吗（猜想）？可否证明？一个一次函数能对应一条直线，那么一条直线是否就一定能寻得其对应的函数表达式或方程呢？先设出表达式是否可行？是不是要确定两个参数呢？这是否意味着应有两个条件？应该是怎样的条件？已知两点坐标可行吗？已知一点坐标与斜率呢？……

（2）展现概念形成

学案应具备立体感，应能涵盖知识的发生、发展以及知识间的联系并能为学生充分感知.

比如，以下在“从位移、速度、力到向量”这一内容上的探索环节设计：

第一步，实验与提问：假设力的作用点在桌子的中心，现将桌子分别向左、右或下推动，试分析桌子的运动情况;假设作用点不在桌子的中心上（偏左或者偏右），桌子的运动情况又是怎么样的呢？试分析这两种情况下桌子运动状态的异同，并尝试用数学概念来描述它.

第二步，发现与抽象：大家能结合物理知识找出“位移”“速度”“力”这些量的共同点吗？向量这一概念的产生又是怎样的呢？

（3）凸显数学思想的特点

透过知识本身看到数学本质并形成数学观、体验数学思想方法是学习的关键步骤. 比如，“方程和直线之间的关系怎样？”这一问题就可以用在“直线的点斜式方程”这一内容的教学中，以此引导学生运用不同方式对同一对象进行数学刻画并获得数形结合意义的理解.

2. 确定学案结构

一份完整的学案一般包含学习引导、思考引导、总结引导、拓展引导这四个部分.

（1）学习引导

对数学知识“真懂”或“彻悟”这一数学理解的高层次是提出问题的基础，是否能够有效地唤起学生的认知并使其对知识进行理解、吸收是学案成功的关键与起点.

比如，以下在“对数函数”所设计的学案问题：大家能叙述课本中对对数函数的描述吗？如此描述的优点在哪里？价值如何？笔者以这些问题来引导学生对知识进行吸收与理解，并对学生进行了学法指导，使学生能够对眼前知识与已有知识之间的区别和联系进行判定，并选择恰当的方法进行吸收.

（2）思考引导

学生初步学习知识之后所要进行的就是深入学习，在深刻理解知识的基础上才能产生质疑并提出问题.

比如，笔者在“空间图形的基本关系与公理（1）”这一学案中进行的问题设计：点、线、面相互搭配的情况一共有多少种呢？教材中关于“不同在任何一个平面内”的描述的具体含义是什么？从公共点的个数对“直线与平面”“平面与平面”关系的合理性进行说明是否可取？学生吸收知识之后所应进行的学习行为便是考虑知识学习的重要意义，这对提出问题来讲是极为关键的.

（3）总结引导

这是引导学生进行知识掌握的自我总结并发现知识间联系、数学特点的一个重要环节. 比如，笔者在“空间图形的基本关系与公理（1）”这一学案的设计中就引导学生对几种关系进行了填写，使学生在“点与直线”“点与平面”“线与线”“线与面”等关系的梳理中获得了学习的总结与知识的再吸收.

（4）拓展引导

这是引导学生发现问题、提出问题的一个环节，因此这一环节的设计需要根据具体内容进行恰当的处理与设计. 比如，蕴含于问题研究中的诸多思想方法都需要教师引导学生对其重要性进行理解.

比如，笔者在“空间图形的基本关系与公理（1）”这一学案的拓展引导环节上就设计了以下问题：若直线上有两点在某一平面内，该直线和平面的关系怎样？怎样说明？若两个平面不重合但却存在两个公共点，那么这两个平面间的关系怎样？怎样说明？若两条直线之间存在一个公共点，那么两条直线在同一平面内的说法成立吗？

教师的必须认知

教学模式对于教学结果的影响并不是决定性的，教学思想与观念对于教学结果的影响才是关键且具决定性的. 观念的先进与否往往决定行为的优劣，而观念往往又是从理解之中形成的. 教师在本模式的实施过程中必须达成一定的共识：

1. “数学化”的形成是影响教学效率的重要因素

教师首先应对“数学化”和教学效率之间的内在联系进行研究与理解，并在此基础上形成一定的认知，明确引导学生理解数学并使其形成数学观、提升其数学素养才是激发其学习动力的重要因素这一认知，教学效率的提升也只有建立在学生具备内在学习动力与兴趣的基础之上才能实现.

2. 学生数学化的基础是教师的数学化

教师提出问题的示范性对于学生提出问题来说极其重要，因此，教师首先应对数学进行体会、欣赏和研究并静心思考一些问题，尤其是那些把握、理解数学知识的问题更值得关注与思考. 学生是否会问、会思的关键在于教师是否会问、会思，因此教师对教材进行深入挖掘与理解对于教学成功来说是关键中的关键.

存在一定差異的思维活动自然也有其明显的共性，把握、引导学生的思维需要教师对问题进行思考这一必要的环节，这是体验、把握学生思维所必不可缺的. 波利亚在著名的教师“十戒”中提出的第一点就是要求教师能够懂得任教内容. “懂得”一词涵盖的意义相当广泛，教师具备的数学知识与知识结构、对教材进行的宏观与微观的认知与理解等内容都是涵盖其中的. 也就是说，教师应该在把握知识走向、联系的基础上对某些内容进行钻研与思考并获得数学本质的认知与理解，只有这样，数学的“品味”才会因此获得提升.

3. 充分认识数学教学的目的

教师始终要明确数学教学的最终目的就是数学化，将“数学化”置于重要地位并对知识教学进行新的理解，使学生通过理解知识获得疑问并将课堂教学延续至课外，这正是数学教学应该达到的最终目的. 只有这样，数学教学才能真正实现“数学化”，并取得余音绕梁的效果.