基于自适应滑模的六旋翼无人机鲁棒容错控制

姜陶然，华秀峰，李 涛

(南京信息工程大学自动化学院，江苏 南京 210044)

近年来，随着计算机、工程控制、人工智能和自动驾驶等技术的迅猛发展，无人机(unmanned aerial vehicle, UAV)[1]的飞行控制技术取得了极大的进步，飞行安全性和可靠性大大增加，进而推动了无人机在各个领域的应用。多旋翼无人机具有维护成本低、飞行灵活等优点，已经在低空侦查、军事打击等军用领域，以及电力巡检、短途运输、航拍等民用领域得到广泛应用[2-5]。然而，随着多旋翼无人机执行的任务越来越多样化，其结构也越来越复杂，这些都会增加无人机发生故障的概率，甚至会造成严重的人员财产损失[6-8]，因此对多旋翼无人机进行容错控制，保证无人机在发生故障情况下的安全性和飞行稳定性，具有重要的现实意义[9-10]。

近些年，对于多旋翼无人机在发生故障情况下的容错控制已经有了很多研究成果。文献[11]构建了一种具有未知输入解耦功能的故障诊断模块，并与主动容错方法相结合，实现对无人机的容错控制。文献[12]将自适应故障诊断方案与自适应Backstepping控制方法相结合，实现对无人机的容错控制。为了实现故障情况下无人机的稳定，文献[13]提出了基于降维滑模观测器的故障补偿控制方法。文献[9]设计了基于观测器的反步纵向控制方法，并将其用于带有执行器故障的基于载波的无人机系统。上述容错控制方法都具有很好的容错控制效果，但它们均需要先设计故障诊断模块，利用故障重构信息再进行控制器的设计。然而在实际应用中，增加观测器模块设计也加大了整个系统的复杂度，为系统设计带来了困难，并且无人机系统在状态空间模型转换后有可能不满足观测器匹配条件[14]，会给观测器的实际应用带来困难。上述这些问题都会对容错控制的效果产生很大影响。

本文基于自适应滑模技术，提出一种不依赖故障诊断模块的容错控制方法。首先建立了能统一描述无人机电机卡死和失效两种故障类型的动力学模型，降低了针对不同类型故障进行不同处理的复杂度；然后在自适应滑模控制器中设计自适应机制，在线估计故障信号，取代用于故障重构的观测器，从而降低整个容错系统设计的难度，保证无人机在发生执行器故障的情况下稳定飞行。

1 问题描述

为了方便描述，对文中出现的符号进行解释。P∈m×n表示矩阵P为m×n阶的矩阵，代表实数域，“-1”表示标量的倒数和矩阵的逆矩阵，ϖ(t)的欧几里得范数由‖ϖ (t)‖表示。

1.1 无人机数学模型

六旋翼无人机系统比较复杂，具有很强的非线性以及轴间耦合，为了便于分析，作出如下合理假设：1)六旋翼无人机机体为刚体，并且满足机体结构轴对称；2)无人机的质心与飞行中心重合；3)无人机的飞行姿态角不会发生大角度突变。

以图1所示的无人机为研究对象，定义机体坐标系和地理坐标系，对无人机的结构及飞行原理进行分析。

如图1所示，obxbybzb为六旋翼无人机的机体坐标系，坐标系原点ob为六旋翼无人机质心，也即无人机的飞行中心，在机体坐标系中，obxb轴正方向为机头方向，在无人机左右对称面内；obzb轴与obxb轴垂直，正方向指向机体下方，同样也位于无人机左右对称面内；obyb轴与obxbzb构成的平面垂直。对于低空飞行的六旋翼无人机来说，地面是静止不动的，在地面上选择一点og为原点建立地理坐标系ogxgygzg，ogxg轴位于地面的水平面，ogyg轴也位于地面水平面且垂直于ogxg轴，ogzg轴垂直于平面ogxgyg并指向正下方。地理坐标系ogxgygzg为无人机飞行的参考惯性坐标系。

为了便于分析，对图1中的六旋翼无人机的机体结构进行简化，简化后的结构图如图2所示。

图2 六旋翼无人机简化结构图

图中，黑色实线代表六旋翼无人机机体、力臂等刚性结构，1～6分别表示无人机的6个执行机构，对应的弧形箭头表示各个旋翼的旋转方向。l1为2和5号电机与机体连接点O之间的距离；l2为1和4号电机与机体连接点M(1和4号电机的力臂)之间的距离；l3为连接点O和M之间的距离；α为1和4号电机力臂与OM延长线的锐夹角。由于无人机结构对称，因此3和6号电机力臂长度也为l2，力臂与ON延长线的锐夹角也为α。

由文献[15]可知，根据牛顿-欧拉方程，六旋翼无人机的动力学模型可以建立为：

(1)

式中：σ=[φ,θ,ψ]T∈3×1，为六旋翼无人机的姿态角向量，φ,θ,ψ分别为滚转角、俯仰角和偏航角；Ω=[p,q,r]T∈3×1，为机体坐标系中无人机的角速度向量，p,q,r分别为滚转、俯仰和偏航角速度；J=diag{Jx,Jy,Jz}，为六旋翼无人机的转动惯量矩阵，Jx,Jy,Jz分别为各个通道的转动惯量；d∈3×1，为无人机飞行过程中所受到的外部干扰；Da=[Da1,Da2,Da3]T∈3×1，Da1,Da2,Da3分别为d在滚转、俯仰和偏航三个通道影响效果权重；L∈3×3，为滚转、俯仰、偏航通道的等效力臂，由六旋翼无人机的机体结构所决定；τc∈3×3，为机体在滚转、俯仰、偏航通道所受到的等效力；W∈3×3,为绕三轴角速度向量与欧拉角向量的转换矩阵。W的表达式为：

(2)

由假设3)可知，无人机在飞行过程中没有大角度的突变，因此可以将矩阵W近似为单位矩阵，代入式(1)得到：

(3)

由图2中力臂长度以及力臂与机体夹角可得：

(4)

式中：b为升力系数；c为反扭矩系数。

τc与六旋翼无人机每个电机产生升力的关系为：

τc=Su

(5)

式中：u=[f1,f2,f3,…,f6]T∈6×1，为无人机旋翼电机产生的升力矩阵，元素为第i个电机产生的升力大小，ωi为第i个电机旋翼的转速；S∈3×3，为各个电机产生的升力对六旋翼无人机姿态角的影响因子，根据图2中力臂长度以及力臂与机体夹角关系，可得到S为：

(6)

把式(4)～(6)代入式(3)，可得：

(7)

式中：λ=c/b。

1.2 执行机构故障模型

1.1节建立了正常情况下的六旋翼无人机的数学模型。但是如果无人机某一电机发生故障，其转速将会立即下降，远小于正常值，直接导致无人机飞控系统的不稳定。本节研究六旋翼无人机发生执行机构故障时的情况，所研究的故障分为电机卡死和电机失效两种类型。

1)假设第i号电机发生卡死故障，其转速输出可以表示为：

(8)

式中：Δωi为第i号电机发生卡死故障后的电机转速。如果Δωi=0，表示第i号电机完全卡死，则其输出升力Δfi为：

(9)

2)假设第i号电机发生失效故障，其转速输出可以表示为：

(10)

(11)

综合式(8)和式(11)，定义故障电机模型如下：

(12)

(13)

式(13)表示同一电机在某一时刻只能发生一种类型的故障，这也符合现实情况，则发生执行器故障的六旋翼无人机系统动力学模型可以统一构造为：

(14)

2 自适应滑模容错控制器设计

本节将设计六旋翼无人机自适应滑模容错控制器，使发生电机故障的无人机依旧能保持飞行姿态的稳定。为了保证所设计的自适应滑模控制器能够达到预期的控制效果，作如下假设：1)六旋翼无人机动力学方程的系统状态是可观测的；2)对于所有类型的故障，都满足秩条件rank(LSρ)=rank(LS)。假设2是为了保证系统具备执行器控制冗余的特点，在执行器发生故障的容错控制中，具备控制冗余往往是必要的，特别是针对执行器卡死或者完全失效故障，满足冗余假设条件十分重要。本文的六旋翼无人机满足此条件。

本文控制器的设计思路是，基于自适应滑模技术构建滑模函数，实现姿态角跟踪到期望值；在控制律设计中运用自适应模块，在线对故障信息进行估计，在无人机的飞行受到外界干扰的影响下，实现容错控制。

对发生执行器故障的六旋翼无人机系统动力学模型式(14)构建误差向量eσ：

eσ=σ-σd

(15)

式中：σd为六旋翼无人机姿态角的期望值。然后设计积分滑模函数sσ如下：

(16)

式中：sσ=[sσ1,sσ2,sσ3]T；c1,c2>0，为积分滑模函数的参数；τ为时间间隔。然后，对积分滑模函数式(16)求导可得：

(17)

把式(14)代入式(17)，可得

(18)

构建自适应滑模容错控制律如下：

u=-(LS)TJW-1Γsign(sσ)

(19)

其中，Γ的具体表达式为：

(20)

(21)

(22)

对于失效故障失效率的处理，给出如下引理：

引理1 对于行满秩的矩阵LS，存在正标量μ，对于所有的ρ，都满足不等式LSρ(LS)T≥μLS(LS)T。

基于引理1，给出如下定理：

定理1，对于六旋翼无人机系统式(14)，在满足假设1)和2)的条件下，滑模函数、自适应滑模控制律、自适应律分别由式(16)、(19)和(21)给出，则在有电机卡死、失效故障和外界干扰的影响下，仍能保证无人机闭环容错系统是渐近稳定的。

证明：

针对六旋翼无人机容错系统(14)，构建Lyapunov函数:

(23)

显然，Lyapunov函数大于0。对式(23)求导可得：

(24)

然后把式(14)代入到式(24)可得：

(25)

将自适应滑模控制律(19)代入式(25)中，可得：

(26)

由引理1可得：

(27)

(28)

将式(21)、(22)代入式(28)，可得

(29)

3 数值仿真

图3 3号电机卡死故障无人机姿态角容错控制图

图4 6号电机失效故障无人机姿态角容错控制图

从图可以看出，本文设计的自适应滑模控制律能够使无人机姿态角由初始状态收敛于稳定位置。在第30 s发生电机失效故障后，虽然无人机的姿态角发生了变化，但自适应滑模控制器能在发生故障后几秒钟内使无人机姿态角趋于稳定，实现容错控制。

4 结束语

针对基于观测器的主动容错方法需要设计故障诊断模块而增大系统设计难度的问题，本文提出一种不依赖故障诊断模块的自适应滑模容错控制方法。由于电机卡死和失效故障的发生原因不同，传统的主动容错控制方法对于不同的故障类型采用不同的处理方法，在实际应用中需要先进行故障类型的识别，比较繁琐，而本文建立的能统一描述无人机电机卡死和失效两种故障类型的数学模型，降低了针对不同类型故障进行不同处理的复杂度。为了在线估计故障信号，传统的主动容错方法需要在无人机系统外额外设计观测器系统，会使整个系统变得更加复杂，本文在自适应滑模控制器中设计自适应机制在线估计故障和干扰信息，不需要额外设计观测器，也不需要考虑观测器匹配等条件，因而降低了整个容错系统设计的难度。数值仿真结果验证了本文设计的控制算法的有效性。