巧解杠杆平衡问题

王伟琴

有关杠杆平衡的问题,是杠杆平衡条件应用的重点,也是杠杆知识点中的难点。杠杆原来处于平衡状态,当条件发生改变时,杠杆能否继续保持平衡状态呢?这种问题是有关杠杆平衡条件应用的一种典型问题。常规的思路是根据杠杆平衡条件,通过比较变化后的动力与动力臂的乘积和阻力与阻力臂的乘积是否相等来进行判断的,花时较长,或运算较复杂,甚至求解困难。如果能运用恰当的方法求解,可以化难为简,起到事半功倍的效果。

一、原来处于平衡的轻质杠杆,两端同时增大相等的力或力臂后,杠杆能否继续保持平衡

例1 如图1所示,一轻质杠杆,在A点挂上20 N的物体,在B点挂上30 N的物体,杠杆平衡。如果在A、B两点同时加挂10 N的物体,杠杆的平衡是否改变?如果改变,哪端下降?

解析 杠杆两端同时增大10 N,即在两端同时增大了相等的力。可以假设增大的力为无限大(也相等),无限大的力加上一个有限大的力,仍然等于无限大。此时两端的力就大小相等,只需比较两端的力臂的长短就可以判断杠杆是否平衡。由图可知,左端的力臂>右端的力臂,则左端的力×力臂>右端的力×力臂,所以杠杆不平衡,左端下降。

例2 在图1中,如果两物体同时向外移动相同的距离,杠杆的平衡是否改变?如果改变,哪端下降?

解析 两物体同时向外移动相同的距离,即两端同时增大了相等的力臂。可以假设增大的力臂为无限大(也相等),无限大的力臂加上一个有限大的力臂,仍然等于无限大。此时两端的力臂长度相等,只需比较两端的力的大小就可以判断杠杆是否平衡。由图可知,左端的力<右端的力,则左端的力×力臂<右端的力×力臂,所以杠杆不平衡,右端下降。

由以上两例可以得出以下结论:

①原来处于平衡的轻质杠杆,两端同时增大相等的力时,可以假设增大的力为无限大,运用极端法来判断。则原来力臂较长的一端下降,杠杆不再平衡。

②原来处于平衡的轻质杠杆,两端同时增大相等的力臂时,可以假设增大的力臂为无限大,运用极端法来判断。则原来力较大的一端下降,杠杆不再平衡。

二、原来处于平衡的轻质杠杆,两端同时减小相等的力或力臂后,杠杆能否继续保持平衡

例 在图1中,如果将A、B两点的物体同时减小5 N,杠杆的平衡是否改变?如果改变,哪端下降?如果两物体同时向支架移动相等的距离呢?

解析 A、B两点的物体同时减小5 N,即两端同时减小了相等的力。可以假设减小的力等于20 N(也相等),A点的力就为0,对杠杆的拉力为0,则左端的力×力臂<右端的力×力臂,所以杠杆不平衡,右端下降。同理,如果两物体同时向支柱移动相等的距离,杠杆不平衡,左端下降。

由上例可以得出以下结论:

①原来处于平衡的轻质杠杆,两端同时减小相等的力时,可以假设减小的力等于两端较小的力,运用极端法来判断。则原来力较大的一端下降,杠杆不再平衡。

②原来处于平衡的轻质杠杆,两端同时减小相等的力臂时,可以假设减小的力臂等于两端较小的力臂,运用极端法来判断。则原来力臂较长的一端下降,杠杆不再平衡。

三、 原来两端挂有不同质地的实心物体,处于平衡的轻质杠杆,将两个物体同时浸没在同种液体中,杠杆能否继续保持平衡

例 如图2所示,一轻质杠杆两端分别挂上实心的铁块和铝块,杠杆平衡。如果将两金属块同时浸没在水中,杠杆的平衡是否改变?如果改变,哪端下降?(铁的密度大于铝的密度)

解析 将两金属块同时浸没在水中,即同时浸没在同种液体中。可以假设有这样一种液体,其密度与铝的密度相同,将两金属块同时浸没在这种液体中(也是同种液体)。此时,铁块在液体中下沉,对杠杆仍有拉力;铝块在液体中悬浮,对杠杆的拉力为0。则左端的力×力臂>右端的力×力臂,所以杠杆不平衡,左端下降。

由上例可以得出以下的结论:

原来两端挂有不同质地的实心物体,处于平衡的轻质杠杆,将两物体同时浸没在同种液体中,可以假设液体的密度与两物体中密度较小的物体的密度相同,运用极端法来判断,则密度较大的物体一端下降,杠杆不再平衡。如果两个物体的密度相同,则杠杆仍然平衡。

在以上情况中,如果用常规方法来解决,运算非常繁琐,特别是第三种情况,还涉及到与浮力有关的知识,对学生能力的要求很高。如果能够抓住物理问题的本质,巧妙地运用极端法,可以使问题化难为简。

四、一题多变:作用在杠杆上的力的方向不变,拉动杠杆匀速转动的过程中,利用杠杆平衡条件,判断力的大小变化

例 如图3所示,用一轻质杠杆提升重物,作用在A端的力F始终保持在水平方向,将杠杆从图示位置匀速提升到水平位置的过程中,F的大小如何变化?

解析 杠杆在水平位置时,G的作用线与杠杆垂直,力臂最大,F的作用线通过支点,力臂为0。所以,杠杆被匀速提升的过程中,G不变,G的力臂变大,F的力臂变小,由杠杆平衡条件可知F逐渐变大。

变化1 如果把例题中F的方向改为始终垂直于杠杆,如图4所示。将杠杆从图示位置匀速提升到水平位置的过程中,F的大小又如何变化?

解析 杠杆在匀速转动的过程中,G不变,G的力臂变大,F的力臂不变,由杠杆平衡条件可知F逐渐变大。

变化2 如果把例题中F的方向改为始终保持在竖直方向,如图5所示。将杠杆从图示位置匀速提升到水平位置的过程中,F的大小又如何变化?

解析 杠杆原来是平衡的,得=;杠杆转到水平位置时也是平衡的,得=;由三角形相似知:= ,所以=,G不变,则F′=F,即杠杆匀速转动的过程中,F的大小不变。

变化3 如果例题中杠杆静止不动,作用在杠杆上A点的力由水平方向缓慢转到竖直方向的过程中(如图6),力F的大小如何变化?

解析 当力F转到与杠杆垂直的方向时,F的力臂最大。所以,F转动时F的力臂先变大后变小,G的大小不变,G的力臂不变。由杠杆平衡条件得:F从水平方向转到与杠杆垂直的方向的过程中,F逐渐变小;F从与杠杆垂直的方向转到竖直方向的过程中,F逐渐变大。因此,整个过程中,F先变小后变大。

由以上情况可见,杠杆静止或匀速转动的过程中,力臂的变化会引起力的变化。分析此类问题时,主要应明确力臂如何变化,有没有转折点,然后根据杠杆的平衡条件,判断动力或阻力的大小变化。