对一道中考模拟题的探究及思考

(江苏省苏州工业园区星海实验中学 215100)

解题教学的目的不是纯粹为了教会学生解几道题或几类题，而是要让学生在解题的实践过程中举一反三，做到“既看到树木，又见到森林”，使学生获得题感，再从题感中提炼和升华数学思想方法，最终内化成为学生的一种元认知能力．

一题多解是一种拓宽学生思路、训练学生思维变通性的重要手段．它有助于学生更加系统地认识数学知识，继而提升他们的归纳能力和应用意识．因而，在习题讲解的时候，要鼓励学生打破传统的常规思维，以一题多解的方式让学生体验到殊途同归的数学美感．笔者在中考复习阶段评讲“2017—2018学年第二学期常熟市初三适应性质量监测”第28题时，与学生的思维产生了很多火花，现将此题目的几种解法总结如下：

1 试题呈现

(1)求该抛物线的函数表达式．

(2)动点D在线段BC下方的抛物线上．① 连结AC,BC，过点D作x轴的垂线，垂足为E，交BC于点F；过点F作FG⊥AC，垂足为G；设点D的横坐标为t，线段FG的长为d，用含t的代数式表示d；② 略．

2 解题分析

·思路1 化斜为直，利用勾股定理

图2

·思路2 化斜为直，利用三角函数

评析作平行线，化斜为直，找到等角，进而传递三角函数值，在教学中发现，这种方法学生也较容易接受．

·思路3 等积变换，利用面积方法

(1) 底边水平方向，分割三角形法

图4

评析在教学过程中发现,学生最容易接受和掌握分割面积法，实际上分割面积法也是我们平时求不规则图形面积常用的一种方法．

(2) 底边竖直方向，铅垂高水平宽法

图5 图6 铅垂高水平宽模型

·思路4 构造“K”型，利用相似(或全等)

图7 图8 一线三直角模型

评析通过垂直这个信号，利用“K”型传递构造相似或全等也是我们常用的一种解题方法(图8)． 但就本题而言，对比其他思路，这种方法有点“绕路”了．

3 教学反思

通过上面的探究，我们宏观的方向都是化不好算(难算)为易算，其中的核心思想均为化斜为水平或竖直的念头．如思路1化斜为橫平竖直进而利用勾股定理，思路2化斜为水平进而利用三角函数，思路3化斜为直巧用三角形面积法，思路4化斜为橫平竖直进而利用“K”型相似．

著名数学家波利亚在《怎样解题》中就明确指出：在解决问题时，要将我们所要解决的问题转化成我们已经解决(或熟悉)的问题． 上述问题的解决方法正是将所要解决的问题转化成学生熟悉的基本图形、基本方法． 我们在解题教学中，除了夯实基础知识，还要注重基本思维和基础模型的总结和灌输．

笔者认为在讲评过程中，教师不能有太多的铺垫，要直接将最原始的思维暴露出来． 学生进行讲解时，教师不仅要关注他们思路的正确性，还要关心他们描述的科学性，同时引领他们对不同解决思路进行比较，由此引导学生在对比中总结出此类问题的常规解法． 这样的处理方式，有助于提升学生思维的灵活性，也将直接提升学生的解题效率．

学生解题能力的培养是一个长期且需要坚持的过程． 教师必须有足够的耐心和责任感，重视学生的理解能力；要求学生多进行一些典型题目的练习，对所学知识不断进行巩固训练，鼓励学生多进行自我总结和思考，了解自身在数学学习中的不足与缺点；多进行同学之间的交流沟通，掌握各种解题思路和解题技巧，更好地将所学知识运用于解题当中．