“平均变化率”的教学设计与反思

(江苏省启东市汇龙中学 226200)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自江苏省首批四星级高中(南通市第三中学)普通班，基础较好，有一定的自学能力、抽象能力和直观想象能力．

1.2 教材分析

所授内容为《普通高中课程标准实验教科书(数学·选修1-1)》[1]第3章“导数及其应用”第1节“导数的概念”的起始小节“平均变化率”，它是学习“瞬时变化率——导数”概念的基础，对实际生活情景中的变化快慢进行刻画和抽象，经历“数学化”的表述，得到函数的平均变化率，从而发展和提高学生的数学抽象与直观想象能力．

教学目标 (1)通过实际生活背景来构建平均变化率的数学模型，初步感受以直代曲的近似与精确的哲学原理；(2)为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型做好铺垫．

教学重点 平均变化率的实际意义与数学意义．

教学难点 加深对平均变化率的理解；对生活现象作出数学解释．

2 教学过程

2.1 创设情境与引出问题

·情境

(1)改编唐诗，增进师生情感交流，并引出“变化”．授课地点为南通市第三中学，校园里桂花殆尽，即兴改编了唐代诗人白居易《大林寺桃花》诗一首，感受大自然季节的交替“变化”：

三中校园桂香尽，人间菊花始盛开．

长恨秋归无觅处，原已转入此中来．

(2)通过登山的快慢、树木生长的快慢、南通气温变化快慢等实际情景(图1)，以“视觉化”的效果，感受事物变化快慢的程度，并由刘翔110米栏的阶段平均速度的测算引入本课题(图2)．

如何测算第一个栏到第二个栏的平均速度？

图1

图2

·问题

问题1从数学学科角度思考，如何刻画铺设台阶的“陡峭”程度？

学生自习、讨论，给出：

问题2“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(从数与形两方面)

问题3如何量化曲线上升或下降(“数学化”)的陡峭程度？

2.2 学生活动与师生互动

活动预设：

(1)如图3，曲线上BC之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？

图3

(2)由点B上升到点C，必须考察yC-yB的大小，但单凭yC-yB的大小能否精确量化BC段陡峭的程度？为什么？还必须考察什么量？

(3)在考察yC-yB的同时必须考察xC-xB，函数的本质在于一个量的改变必定相对于(参照于)另一个量的改变而言．

2.3 建构数学

(1)通过比较气温在区间[1, 32]上的平均变化率0.5与气温在[32, 34]上的平均变化率7.4，感知平均变化率就是曲线陡峭程度的“数量化”，而曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”效果．至此，完成了平均变化率的定量描述到定性描述，进一步探索平均变化率的几何表征．

(2)利用气温曲线图，从数与形两方面对平均变化率进行意义建构．

一要注意平均变化率不能脱离区间而言，二要注意相减顺序统一(起始点)．

图4

但是，用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，应注意当x2-x1很小时，这种量化便由“近似”逼近“精确”．随之而来的便是后续学习的新数学模型，即瞬时变化率——导数概念的建立．

2.4 第一次课堂练习

教科书第69页练习第1题，加深对平均变化率的理解．不妨请学生再举例,如汽车起步加速性能、“减肥”快慢效果等．

2.5 数学应用

第一阶段：(实际背景)教科书第68页例1、例2，学生自学，教师设问．

例1中，

问题这两个平均变化率的实际意义是什么？

注：一般情况下，曲线在不同区间上的平均变化率是不同的．

例2中(e近似取2.7182)，

问题1平均变化率-0.316 1(cm3/s)是否表示10 s内每一时刻容器甲中水的体积V减少的速度？

问题2平均变化率-0.316 1(cm3/s)的实际意义是什么？

问题3第一个10 s内，乙容器中水的体积的平均变化率为多少？

注：数学中的“平均变化率”可能正，可能负，也可能为零．

第二阶段：(数学内部)教科书第68～69页例3、例4，学生自学，教师设问．

例3中，

问题四个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的数学意义是什么？

例4中，

问题1你在解本题的过程中有没有发现什么？你能解释为什么会出现这一现象吗？

问题2一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点？

注：一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率等于相应直线的斜率k．

2.6 第二次课堂练习

计算函数的平均变化率：教科书第69页练习第2题、第3题．

2.7 课堂小结

·平均变化率的理解

(2)平均变化率反映了考察对象在给定一段区间上变化的快慢程度，背景不同，其意义也不一样．如物体运动时的平均变化率就是平均速度，婴儿体重的平均增长率．函数的平均变化率是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念．

·展望新的问题

由于平均变化率只是一种近似刻画，从而有待于进一步精确，随之而来的便是新的数学模型的建立．

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

数学源于生活，但关键是逐步将生活场景 “数学化”处理，并挖掘和表述现象背后的数学意义．

本节课对概念的构建可以说浓墨重彩，先从人文情景出发，引出“变化”，再围绕课题中的关键词“变化率”，以几个场景彰显“变化”的快慢，以直观想象感知事物的形态与变化．借助实际生活中的空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．

为直观感知数学中的“平均变化率”，想象当年飞人刘翔的比赛场景，不难联想到“平均速度”的物理概念，即起步到第一个栏的平均速度，以及栏与栏之间的平均速度，逐步向“平均变化率” 过渡．又从气温随时间的变化符合现代函数的定义，抽象到函数图象(气温曲线图)，再自然过渡到具体函数(这里是指有解析式的函数)的“平均变化率”．

对数学概念的应用，也是遵循从特殊到一般、从抽象到具体、寻找概念的现实意义和数学意义的联系．以问题开路，以数学概念的形成为载体，培养学生数学抽象和直观想象能力．

3.2 教学反思

(1)概念教学要突出知识的动态生成

师生共同经历“变化”到“变化率”，再到“平均变化率”，最后形成数学意义上的平均变化率；采用人文情境、生活场景、物理背景等辅助手段，以数学事实“斜率”为突破口，使数学概念得以鲜活生成．如何将研究对象进行“数学化”始终是执教者的首要任务和努力方向，而不是简单地用数学知识去解释现实问题，因为这样做往往会演变成空洞的解题训练.虽然这种训练可以提高形式演绎的能力，但却不能带来真正的理解概念与深入的独立思考.我们需要充分地理解数学是一个有机的整体，数学概念必须抽象化，必须经历一定的逻辑结构与动态生成．

(2)概念教学要注重问题驱动

问题驱动教学法即基于问题的教学方法．这种方法不像传统教学那样先学习理论知识再解决问题．问题驱动教学法是一种以学生为主体，以各种问题为学习起点，以问题为核心规划学习内容，让学生围绕问题寻求解决方案的一种学习方法．教师在此过程中的角色是问题的提出者、设计者以及结果的评估者．问题驱动教学法能够提高学生学习的主动性，提高学生在教学过程中的参与程度，容易激起学生的求知欲，活跃其思维．这种教学方法对教师的要求较高，教师必须具备较强的课堂掌控能力和引导能力．

本节课在概念的形成阶段接连提出八个问题，完成生活“数学化”的过程；在概念的应用阶段又提出八个问题，完成数学“生活化”的过程．

(3)概念教学要尊重学生的个体差异

笔者认为，尊重学生个体差异，应做到以下几点：1)分类要求，不搞一刀切．教师一定要正视学生个体的差异，真正做到面向全体学生，使每个学生都积极主动地投入到课堂学习中去．在备课时，教师应充分考虑学生的差异性，客观地显示优、良、中、差的层次梯度，使困难学生能接受、能消化，使优秀学生能有所收获并能不断地超前发展．其次，作为教师要建立“只有差异，没有差生”的教育观，相信每一个学生．在实际教学中，教师提的问题不宜太多太碎，且要留出充分的时间让学生考虑；不同层次的问题，要抽不同层次的学生回答，使不同层次的学生都能得到心理满足．对发展水平不同的学生，布置作业和辅导时也要实现分层次．2)分类评价，不拔苗助长．对不同层次的学生提出不同的要求,对学困生只要有进步，要及时鼓励，激发和调动学生的学习积极性，保护好学生浓厚的学习兴趣、好奇心、求知欲，要抓住有利时机用语言评价来鼓励学生，让学生在丰富、真切感人的评价语言中受到感染，从而增强必胜的信心．3)要留足学生自由发展的空间，让学生充分发挥特长．教学中，教师要让学生充分思考，切记满堂灌．课堂上，教师要有控有放，留足学生发展的空间，给学生一片自由的天地，展现智慧的无限潜能．课堂就是一个小小的舞台，它不仅需要教师的精心编导，更需要不同层次的学生齐心协力、尽情发挥，才能演绎不一样的精彩课堂．