促进思维深度参与的章复习课设计——以“锐角三角函数”为例**

(江苏省无锡市西漳中学 214171)

叶亚美 (江苏省无锡惠山区教师发展中心 214174)

章复习课怎么上这个问题一直困扰着一线教师：是帮助学生用框图的形式将知识点再罗列一下？还是重点题型再“炒一下冷饭”？抑或是借助几道难题提升学生的综合运用能力？2018年11月江苏省基础教育青年教师教学基本功大赛数学学科比赛的课题是“锐角三角函数”章复习课，笔者有幸参加并获得一等奖．赛后，笔者深思：章复习课应以何为核心？如何设计？就此，笔者以“锐角三角函数”为例谈一些自己的做法，供同行探讨.

1 对“章复习课”的初步认识

在单元教学研究中，一章教学大致可以划分为章首课、章中课和章尾课三个教学单元．章复习课是章尾课的重要课型．从学生知识学习的正常进程来说，先是零散地积累，由薄到厚；后是系统梳理，由厚到薄．章复习课的基本任务就是系统梳理，基本目的就是让所学知识由厚到薄．在这样的过程中，知识结构要建立，思维方式要显现，思想方法要感悟到，学习方法结构要形成，学生的数学素养要获得培养和提升．

如此看来，章复习课是指在一章教学的最后，帮助学生建构整体知识结构和学习方法结构，在知识综合运用的过程中感悟知识价值、训练数学思维和提升数学素养的课型．它要求学生思维要深度参与、情感体验要深切卷入、智慧领悟获深远启迪，这也是目前“深度学习”领域重点关切的三个方面．其中，思维的深度参与既符合数学学科的本质特征——抽象性和严谨性，又是情感深切卷入和智慧深远启迪的基础，因此，其处于核心地位．

章复习课如何设计才能有效促进思维的深度参与呢？笔者认为，首先要“整体分析，建构整体知识结构”，其次要“把握学情，建构学习方法结构”，最后要“科学设计，突出价值提升素养”．

2 章复习课的设计路径

2.1 整体分析，建构整体知识结构

复习课首先要做的是对知识和方法的重组，建立知识结构．复习前的知识往往孤立、分散、无序、存在认识模糊的概念，复习时以再现、澄清、整理、概括的方式串成线、连成片、结成网，使其纵横联系，形成条理化、系统化的知识结构．理顺数学知识之间的逻辑顺序、呈现数学知识之间的实质性联系，思维必然深度参与．

这里，我们首先需要对一章所学的内容作整体分析．例如，“锐角三角函数”一章在苏科版九年级下册第三章，内容包括：锐角三角函数的定义、函数性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形(在数学内部的运用)、用锐角三角函数解决问题(在数学外部的运用)等五个部分．重点是解直角三角形，因为用三角函数解决问题的核心仍在于构造并解直角三角形．本章之前是“图形的相似”，本章是以“图形的相似”为基础建构起来的，而三角函数的初中定义，其原理是相似的性质．一般来说，凡是可以用相似解决的问题都可以通过三角函数的运算加以简便地解决，体现了数学知识发展的优越性．如此，就把握了本章的整体知识结构(图1)．

图1

教师通过分析建立了一章知识的整体结构，才能通过教学环节的对应设计，逐步带领学生建立起一章知识的整体结构，促进学生思维的深度参与．

2.2 把握学情，建构学习方法结构

“要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的学习方法．”[1]学生的数学学习不仅包括数学知识的学习，还包括对数学学习方法的学习．尤其是在新知识学习结束后，具备了对知识学习过程、方法和策略进行反思的基础，有必要对学习的过程进行“复盘”、对学习的方法进行总结、对学习的成效进行评价，深入到“用数学的方式理解数学”“用数学的思维方式进行思考”的底层思维．在这样的过程中带领学生领略在学习过程中经历探索、发现数学之内在规律及其美妙所获得的无法言语的快感，感受数学学习内在的魅力[2]．章复习课通过建构学习方法结构，可以帮助学生领略数学学习的内在魅力．

在复习“锐角三角函数”一章时，学生已经具备了基本的探寻知识之间内在联系的能力和综合运用所学知识解决问题的能力，在抽象能力、推理能力、探究能力等方面已经发展到相对比较成熟的水平．经过一章的学习，知识零散地储存在学生头脑中，有些模糊不清的地方(对锐角三角函数直角三角形前提的淡忘)、似是而非的地方(对正弦和余弦的混淆)、回忆不起的地方(对特殊角的三角函数值的遗忘)；有些能力(从实际问题中抽象出三角函数模型的建模能力，构建直角三角形的基本图形的构造能力等)掌握得还不够熟练．学生对于三个锐角三角函数的代表，即正切、正弦、余弦之间的内在联系以及边角关系的深入思考还不够透彻．这些学情呼唤着对学习过程的“复盘”，深思数学学习的方法．

三角函数概念在初中数学中是借助“直角三角形”这一几何直观来定义的，一般来说，看着图形就能联想与之有关的所有知识．几何直观是学习锐角三角函数、解决遗忘混淆问题的重要方法；解直角三角形是解一般三角形的基础，通过转化，把解任意确定的三角形转化为解直角三角形，其中的构图、建模等关键能力需要在由特殊到一般的归纳过程中进行强化．由此可见，学习锐角三角函数的基本方法是几何直观和归纳法，据此建立起本章的学习方法结构(图2)．

图2

2.3 环节设计，突出价值提升素养

文献[3]指出：现代数学教育，已经从关注知识技能转向关注核心素养，从关注“教得完整”“学得完整”走向“发展得完整”．这些完整的过程，首先是在学习数学的过程中掌握“四基”，其次是在应用数学的过程中提高“四能”，然后是在学习与应用数学的两个过程中整体达成“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”的目标[4]，最终实现“用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界”的素养要求．章复习课主要是对学习数学过程的反思和对应用过程的体悟，教学立意更要关注知识的应用价值、思维训练价值(思维品质、高阶思维能力和创新精神的培养)，以及知识运用中所蕴含的思想方法，进而发展学生的数学素养．

三角函数很好地建立起了“形”和“数”之间的联系，更好地体现和运用了“数形结合”的思想方法，对综合培养学生“四能”和“符号意识”“几何直观”“推理能力”“模型思想”等有重要价值．为此，“锐角三角函数”章尾复习分解为两个课时．第1课时定位于：基础性、系统性、整体性、综合性，基础知识的系统梳理和内部关联，基本技能的选择和综合，关键能力的训练，核心方法的提炼，基本思想的体悟和巩固；第2课时定位于：方法性和思想性，基本思想“模型思想”在实际问题中应用的深入研究．因此，第1课时目标确定为：(1)通过梳理整章基础知识，理解知识之间的内在联系，形成知识结构；(2)通过典型问题分析，提炼基本方法，训练关键能力，夯实技能基础；(3)经历问题解决的过程，巩固“模型思想”．其中重点为目标(1)，难点为目标(2)．为了激活学生思维、突破难点，准备采取启发式教学和小组合作式学习的教学法实施教学，设计简案如下．

·环节1——复习回顾

问题1 你能画出图形解释你的运算依据吗？

说明几何直观：用图形来描述和分析问题．数形结合就是一种重要的几何直观，是数学学习的重要方法，有直观整合的优越性，需要贯穿在数学教育的始终．同时，章建跃先生指出：数学中，研究特例具有特别的意义．通过两幅特殊的直角三角形图形(图3)解释运算依据，既回忆了三个三角函数的定义(一般性寓于特殊性之中，对特例的研究是对数学对象认识的深化)，又可以感悟利用图形记忆特殊角三角函数的优越性，强化基本图形的意识(很多复杂的图形可以转化为基本图形解决，基本图形扮演了转化目标的作用)[5]．

图3

问题2 画一个直角三角形，你能发现锐角α的三个三角函数之间的关系吗？

说明在一个直角三角形图形中，既揭示同一个锐角三个锐角函数之间的内在联系，又区分不同的锐角三角函数，帮助学生澄清混淆的地方，如图4．

图4

问题3 你能在上图中写出直角三角形中所有的数量关系吗？

说明在图形中回顾和梳理三角形的三边关系、三角关系和边角关系，“建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物”,这是直观想象素养的主要表现，是几何直观的主要内涵.这些认识不是告诉学生的，而是要通过一个个具体例子让学生经历、体会，不断强化，最终顿悟到．

(2)练习：在△ABC中，∠C=90°．

1)已知∠A=30°，BC=8 cm，求AB和AC的长；

问题1 结合上面的求解过程，请你回忆：什么是“解直角三角形”？

问题2 两个直角三角形全等要具备什么条件？据此，你认为在直角三角形的已知元素中，哪种情况是解不出其他未知元素的？

说明通过两个简单的练习唤醒学生对“解直角三角形”的记忆，通过追问复习其定义，区分可解的直角三角形与不可解的直角三角形，归纳出解直角三角形的必要条件——已知元素中至少有一边，进而与全等的本质“确定”相联系．

·环节2——典型例题

变式2 等边三角形的边长为a，求它的面积．

思考1：从三角形全等的角度来分析一下，为什么这三个问题都是可解的？

思考2：这三个问题都不是直角三角形，为什么也能解出来？

说明在基础问题中领悟知识本质、挖掘基本方法、渗透基本思想．变式：从特殊到特殊再到一般的探索，引导学生在归纳中强化构造直角三角形进行转化的意识．思考：发现全等的本质是形状大小都一样，意味着一个三角形确定了，确定就是可解的.这样的意识在解题中有利于不解出具体值而迅速打通思路，有必要在日常解题教学中渗透这种“确定性”意识．同时，与全等关联，说明章尾课不仅统领一章，而且把本章与同类模块关联，全章完整、前后贯通．

例2证明：锐角三角形的面积等于两边长与其夹角的正弦值的乘积的一半．

思考：你能根据变式2解释菱形面积的对角线公式吗？

说明这两个例题都指向目标(2)，从例1到例2，进一步考虑更一般的问题．例2是本节课的难点，为突破难点，师生活动采用：自主探索、小组合作、小组展示；各组巡视、点拨引导、评价概括．例2及其两个变式，基本方法不变，都是构造“解直角三角形”的基本模型．在这样的过程中，体悟“模型思想”，同时与高中正弦定理、菱形面积相关联，打通数学内部不同知识之间的内在联系：三角函数—直角三角形—高—面积，知识不断结构化．

·环节3——回顾小结

(1)经过本节课的复习，你对三角函数有了哪些新的认识？

说明复习应该是知识的再认识，方法的再提炼，思想的再升华，能力的再提高[6]．试图引导学生认识到:复习的时候要对所学知识之间的内部联系有新的认识，对数学知识中所包含的思想方法有新的认识，对数学内部不同知识之间的联系有新的认识．

(2)你认为下一节课，我们应该重点复习什么？

说明引导学生认识到，除了要对三角函数在数学内部的作用和价值有新的认识之外,还要对三角函数在数学外部的作用和价值有新的认识．

2.4 设计说明

本节课所有例习题都来自教材(苏科版、人教版)，从基本题入手，探究变式，思考追问，逐步拓展．教学材料具有启发性、生成性，每个例习题都需要画图，在几何直观中发现问题解决的线索，不断强化几何直观的方法；每道例题都有变式，在从特殊到一般的归纳中引领学生再发现、再创造，不断强化归纳的方法；变式之后都有思考追问，在追问中触及本质，引导学生体悟知识的本质、应用的方法和价值．于是，在常规基础题中夯实通性通法，从知识结构到学习方法结构再到思想感悟，知识的应用价值和思维训练价值就呈现了，在这样的过程中，带领学生逐步触及数学素养，思维是深度参与的．

本节课例2为高中阶段的正弦定理的学习奠定了坚实的基础．文献[4]中指出：“不仅要针对本单元前面所学内容锁准单元目标、深化知识内涵、探求知识联系、建构知识体系、积累解题方法、提升数学素养，更要把本单元融入同类单元知识板块，为后续初中阶段、高中阶段同类单元学习奠定更坚实的基础，埋下更自然的伏笔．”由此可见，章复习课需要具有“前瞻后顾”的整体视野，选择或设计恰当的教学材料，既是已学知识的自然运用，又为后继学习埋下“自然的伏笔”．

3 结语

裴光亚先生在文献[3]中说：“直观过程、丰富的感性经验是理解和掌握抽象理论的必要条件．”章复习课的教学材料应该用“好的具体问题”引发学生兴趣、激活学生思考，反映数学本质、勾联内在关系、突出关键能力；用直观的过程为学生提供丰富的感性经验，给学生充分的时空，引导学生细腻体悟，构建数学学习的路线：从具体事例中发现共性、获得猜想、给出证明、类比迁 移、灵活变通.如此，学生的思维参与必然是深度的．

章复习课的价值在于让学生于孤立的课时教学后，从章、单元的整体角度重新建构知识间的脉络联系、发展方向．限于篇幅，本文呈现了章复习课的设计路径．事实上，章复习课与其他章尾课，章尾课与章首课、章中课之间如何整体建构，教学情境如何逻辑连贯、一以贯之等都是后继系统研究应该关注的重要话题．