20世纪中叶以前西方早期教科书中的对数概念*

(四川省成都树德中学 610031)

栗小妮 汪晓勤 (华东师范大学教师教育学院 200062)

1 引言

“对数”是高中数学的重点内容之一，也是联系初等数学与高等数学的一个纽带．德国数学家F·克莱因(F.Klein, 1849—1925)曾说：“如果希望进一步全面了解对数的理论，最好是大体上遵循其创造的历史．”[1]众所周知，对数是由苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier, 1550—1617)发明的，经过整整20年的潜心研究，他终于于1614年出版了对数著作《奇妙的对数定律说明书》．但鲜为人知的是，几乎与此同时，另一位瑞士数学家比尔吉(J.Bürgi, 1552—1632)也独立发明了与其非常类似的对数概念．对数大体上经历了三个发展阶段：简化运算思想的形成、对数表的发明、对数与指数互逆关系的发现[2]，纳皮尔与比尔吉的主要贡献是开创了对数发展的第二个阶段．

现行人教版高中数学教科书在“对数与对数运算”一节之后，附加了一篇阅读材料——对数的发明，简要介绍对数概念的历史以及对数的应用．然而，对数概念的演进过程并不是线性的，一种新定义的诞生并非意味着旧定义的废弃．那么，对数概念自发明以后，经历了怎样的演进过程？西方早期教科书或许能够给我们提供答案．笔者通过对1700—1923年间出版的88种西方早期教科书中有关对数内容的考察(限于篇幅，大部分文献未在参考文献中列出)，试图回答以下问题：早期教科书中如何定义对数？定义如何演变？对今日教科书编写和课堂教学有何启示？

2 研究对象

共选取20世纪中叶以前出版的88种英美早期教科书，若以50年为一段时间，则各教科书的时间分布情况如图1所示．

图1 88种教科书的时间分布

查阅早期教科书发现，对数概念除了出现在代数教科书中，许多三角学著作中也花了大量篇幅介绍对数的概念、运算性质及对数表等内容，这是因为早期三角学包括平面三角和球面三角，其中涉及大量复杂的运算(如长达七位或八位数字的正弦的乘积)，当时没有计算器、计算机等高效的计算工具，通常需要借助对数帮助人们化简，省时又省力．

88种教科书中，有48种是代数教科书，35种是三角学教科书，2种是几何教科书，还有3种是数学辞典或者百科全书．与今日教科书将对数编排进函数章节不同的是，在大多数早期教科书尤其是代数教科书中，对数通常单独成章，由此可见对数在当时的重要性．

3 对数定义的分类

对比88种教科书中的对数内容发现，教科书中对数的定义不尽相同，大致可以分为四类：“双数列定义”“比数定义”“指数定义”和“相对定义”．四类定义的具体内涵和代表著作如下．

3.1 双数列定义

双数列定义中构造了两组相互对应的数列，一组为等差数列，另一组为等比数列，将等差数列中的项(又叫做“借数”(borrowed numbers)或“假数”(artificial numbers))称为等比数列中相应项(又叫做“真数”)的对数，在总共88种教科书中占比17%．如Forster在《算术三角学》中将对数定义为“对数是构成等差数列的一组借数，与构成等比数列的另一组数相对应”．[3]这一类定义还通常与对数的运算性质一起阐述，如Ronayne在《代数专论》中给出的定义：“对数是与真数相对应的一组假数，任意两个真数的对数(或假数)之和等于这两个真数乘积的对数”．[4]又如Malcolm在《算术新法：理论与实践》中这样定义：“对数是对应于其他数而构造的数，前者的和与差对应于后者的积与商，以及幂与方根”．[5]这种定义方式较多出现于18世纪，19世纪中叶以后仅出现了一次，Whitaker在《三角学基础》中提到“对数是一系列与普通的数相对应的数，后者的乘与除对应于前者的和与差”．[6]

结合对数的历史可以发现，双数列定义与纳皮尔和比尔吉最初发明对数的背景最为相符，定义方式也最为相近．而我们今天教科书上对数的形式化定义早已脱离开双数列的情形，难以从中知晓对数诞生之初的背景．

3.2 比数定义

典型的比数定义是Keill在《平面和球面三角学基础》中给出的定义：“一个数的对数是该数与单位之间所含的比数”，[7]其后Martin(1740)、Ewing(1771)、Hutton(1785)等给出的定义都大同小异，这一定义在88种教科书中约占6.8%．与双数列定义相似，比数定义也主要出现于18世纪，1800年后仅出现一次，这就是Wood(1825)的定义．

比数定义可能与对数的辞源有着密切的联系．对数的英文单词是logarithm，源于希腊文中的两个词logos和arithmos，分别是“比”和“数”的意思，这两个词组合起来就是“比数”．所谓“比数”，是指等比数列中的某一项与首项之间所含公比的个数．比如，在等比数列a,aq,aq2,aq3,aq4, …中，若要考虑aq4的对数，因为q=aq∶a=aq2∶aq=aq3∶aq2=aq4∶aq3，所以aq4与a之间含有4个公比q，即aq4的对数为4．据考察，这个“比数”很有可能就是德国数学家斯蒂菲尔(M. Stifel, 1487—1567)在《整数算术》(1544)中所说的“指数”，因为在斯蒂菲尔那个时代，还没有明确的指数符号，他就用公比的个数来刻画等差数列中的对应项[8]．

3.3 指数定义

指数定义是指用“幂指数”来定义对数，这一定义在88种教科书中占比最多，为75%．典型的代表是18世纪瑞士数学家欧拉(L. Euler, 1707—1783)在《无穷分析引论》(1748)中给出的对数定义：“若ax=N(a>0,a≠1)，则称x是以a为底N的对数”，[9]这也就是我们今日教科书中所采用的对数定义．

现在人们一般认为指数定义是由欧拉首先提出来的，但值得注意的是，通过考察发现，其实在欧拉之前就已经有人开始使用指数来定义对数了，如Gardiner在《对数表》中给出的定义：“一个数的常用对数是使得以10为底的幂等于该数的幂指数的值”，[10]以及Stone在《新数学辞典》中给出的定义：“对数是某个给定数的幂指数”．[11]

或许是由于欧拉的名声更大，他的著作对后世的影响更加深远，所以人们一般将1748年欧拉《无穷分析引论》的出版看作是对数形式化定义的标志，也是对数概念发展过程中第三阶段的开始．据统计，欧拉之后的76种教科书中有82.9%都沿用了他的定义，表明欧拉的指数定义的确对后世教科书编写产生了重大影响，是对数发展史上的一个重要里程碑．

3.4 相对定义

相对定义是指同一代数符号在不同情境下可能有不同的名称，需要根据某代数符号与其他不同符号或符号组合的关系而确定．这一类定义只见于英国数学家De Morgan(1835)，他在《代数学基础》中给出这样的定义：“在ab中，b相对于a来说是指数，但b相对于ab来说是对数，a称为对数的底”．[12]在笔者考察的88种教科书中，相对定义仅仅出现了一次．由此可见，De Morgan的定义方式较为新颖，从代数符号的相对位置角度进行定义，关注到了代数符号本身的相对性，但其在本质上与指数定义是等价的，因此并没有对后世产生大的影响．

4 分布与讨论

4.1 分布

若以50年为分布单位，四类定义的具体分布情况如图2所示．

图2 不同时期对数定义的百分比分布

从图2中可见，从18世纪至19世纪中叶，教科书中的对数定义呈现出多样化的特点．随着18世纪欧拉发现指数与对数的互逆关系，此后对数的定义便渐趋统一，“双数列定义”“比数定义”以及曾经在历史上有过短暂亮相的“相对定义”逐渐退出历史舞台，“指数定义”呈现出一枝独秀的态势，占据了绝对的统治地位．

由于“相对定义”昙花一现，故暂且不予以考虑．图3给出了早期教科书中所呈现的对数定义的演进过程．

4.2 与今日教科书的异同分析

早期教科书中从对数到指数的呈现顺序与今日教科书中顺序正好相反．早期教科书中通常是先讲对数，包括对数的概念、对数的运算性质以及对数表的构造与使用，然后再讲指数方程，接着对年息问题和复利问题等相关内容加以介绍．由于今日教科书都采用指数来定义对数，所以编排顺序必然与早期教科书不同，这是由对数的定义方式所决定的．因此，我们可以这样说，从教科书中指数与对数内容的编排顺序可以看出那个时期数学的发展水平．

早期教科书中包含大量今日教科书不再提及的内容．早期教科书中经常出现长达几页的对数表，这是早期教科书的一大特征，随着科学技术的不断进步，对数表逐渐被更加高效实用的计算工具所替代，计算变得更加方便快捷．此外，早期教科书中还会介绍对数的“整数部分(characteristic)”和“小数部分”(mantissa)、“线性插值”“对数曲线”“对数级数”“指数方程”“余对数”(cologarithm)或“反对数”(antilogarithm)等概念，以及如何计算某个数(通常是素数)的对数值，如常用对数lg 2, lg 3, lg 5等，还有选取10作为常用对数的底数的优点等．虽然其中很多内容今天的教科书中已经不再涉及，但对数仍在许多现代数学分支中都起着至关重要的作用，利用对数函数建立数学模型有助于解决某些实际问题，对数思想具有永久的生命力，历久而弥新，深深影响着我们的生活．

4.3 对数的早期历史

16世纪末17世纪初，人类在天文观测、远距离航海、大地测量等科学领域取得前所未有的进展．这些领域与数学息息相关，涉及大量繁杂的计算，庞大的天文数字给人们(尤其是天文学家和数学家)带来巨大的负担，改进数字计算方法成为人们的首要目标，对数因此应运而生．对数思想主要来源于两个方面——“指数律”(即指数的运算性质)和“加减术”(prosthaphaeresis，即三角函数中的积化和差公式)．纳皮尔与比尔吉两位数学家受此启发，花费数十年的时间苦心钻研，不约而同地在等差数列和等比数列相互对应的情形下，在前人以2或3作为等比数列的公比的基础上对双数列进行改进，分别以0.999 999 9和1.000 1为新的公比，从而构造出更加实用的双数列(也就是庞大的对数表，标志着对数的诞生)，解决了等比数列相邻两项之间间隔越来越大的难题，发明了对数这一能够降低运算级数、简化计算的神奇工具．

部分早期教科书中提及了对数的历史，基本停留在附加式，简要介绍纳皮尔用运动学的方法发明对数以及布里格斯(H. Briggs, 1561—1630)改进对数等相关数学史，但鲜少有教科书涉及到比尔吉用纯代数的方法发明对数的这段历史．值得一提的是，在88本教科书中有1本格外引人注目，这就是Rider(1923)的《平面三角学》，书中全面详尽地介绍了对数的历史．

Rider将对数作为单独的一章，并采用重构历史的方式进行编排．在章节的开头展示了纳皮尔的画像，在下方简要呈现了纳皮尔的生平事迹和主要成就．第一节中介绍了指数的概念及其运算性质——两个同底的幂相乘对应于指数相加，幂相除对应于指数相减，幂的乘方对应于指数相乘，幂的开方对应于指数相除．考虑以2为底的正整数指数幂与其指数所构成的一一对应的双数列：

便可借助上述性质提高运算效率，但适用范围非常有限，仅仅适用于第二行中出现的这些数，而对更多其他的2的非正整数指数幂的那些数则无法起到简化计算的作用．因此，需要将数表扩充至更大范围或插入其他的数(如可插入几何中项与相应的算术中项)，体现了改进数表之需．接下来，从历史的角度考察了对数的辞源．由于16世纪科技的发展和急剧增加的计算需求，纳皮尔发明了对数，同时也提到比尔吉的对数研究工作，并详细讲述了纳皮尔与布里格斯的那场旷世之约，二人相见恨晚，一言不发地对视了长达十五分钟之久！正是这次会面，促成了常用对数的诞生[13]．

5 结论与启示

在漫长的二百余年里，对数概念始于双数列定义而终于指数定义．对数的历史告诉我们，今天我们所理解的作为一个函数概念的对数，在许多方面都与它最初的构想完全不同，现代教科书中均采用指数的逆运算来定义对数，这已完全脱离了对数最初的起源，反映出随着数学体系的不断发展和完善，人们对对数的认识经历了从复杂到简单，从模糊到清晰的过程．早期教科书中对数定义从不完善到完善的过程，能够为今日教科书编写，尤其是以对数为主题的阅读材料的编写和课堂教学，带来一定的启示．

5.1 对教科书编写的启示

首先，教科书是我们传递文明、传承文化的重要载体和工具，教科书中对数定义的演变过程基本反映了数学领域对数的研究过程．但一些教科书中也出现了倒退的现象，如Whitaker仍采用双数列定义[6]．所以这就要求教科书编写者对当前数学学科领域的发展现状有充分的了解，才能准确把握教科书知识内容的科学性和前沿性．

其次，简明扼要地从逆运算的角度用指数来定义对数，虽然能够让学生迅速掌握对数的本质，了解对数与指数的关系，对问题解决有一定的实用价值，但无助于学生理解对数学习的必要性、体会对数有什么作用，缺乏整体性理解而学到的知识很容易随着时间的流逝而被人遗忘．虽然现行人教版教科书中有阅读材料“对数的发明”，但并没有说明纳皮尔离散的双数列与连续的运动模型之间到底有什么联系、对数如何从双数列的背景下过渡到用指数进行定义．因此，教科书编写应体现对数定义的多样化，揭示知识的本源、产生及发展过程．

5.2 对教学设计的启示

历史是课堂的参照和指南，课堂是历史的再现与重构．教师可以借鉴对数概念的发展过程，采用重构历史的方式整体上设计对数概念的教学，使学生感受到对数产生的自然性．历史上对数概念的曲折发展，还可以渗透数学学科的德育价值，运用附加式，介绍对数发展过程中数学家遇到的困难，以及他们是如何克服的，让学生了解数学并不是一蹴而就的，数学家也会遇到挫折和挑战，帮助学生树立数学学习自信心，养成勇敢坚强、持之以恒的精神品质．