用GeoGebra的3D功能解一道高考立体几何题

(安徽省肥西中学 231200)

刘菲菲 (安徽涉外经济职业学院 230011)

GeoGebra是一款免费的动态交互式数学软件,功能强大,操作简便,交互性强,具有动态处理代数与几何的功能,特别是其3D功能是传统几何画板难以实现的,因此GeoGebra在立体几何中有着广泛的应用.

下面我们用GeoGebra的3D功能来动态解答2018全国理科Ⅰ卷的选择题12题:

已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ).

这是一道关于截面最值的立体几何题,考查了学生的抽象思维能力和空间想象能力,传统教学无法给学生展示动态过程,使得教学不够生动具体,教师讲完这道题以后,学生可能对此题还是一头雾水,不能够理解,也无法想象出具体的情形,教学效果很弱.下面我们采取GeoGebra的3D功能来解这道题,试图解决以上教学效果薄弱问题,同时也激发学生学习数学的热情和好奇心,培养他们的学习兴趣.

(1)使用3D功能中的正六面体工具新建一个正方体ABCD-EFGH.

(2)使用三点平面工具过E,B,D作一个平面.

(3)用多边形工具新建正方形EFGH,再点击对象上的点工具新建正方形EFGH上的一个动点P,过P点用平行平面工具作一个平面与已知的平面平行.

(4)点击相交曲线工具选中正方体和刚作的平面形成截面多边形,并隐藏线段的标签,隐藏多边形的顶点,隐藏两个平面.

(5)拖动改变正方体的视角,单击文本工具输入“S截面=”,再点击空白输入框输入“面积(ploy1)”,单击确定.

(6)隐藏坐标系、网格和xOy平面,连续拖动P点观察面积变化直到看到最大面积时为止.

图1

可以观察到当截面为正六边形时截面面积最大(图1),故此题选A.

下面我们给出此题的严格证明:

由题目可知平面α∥平面ACD1,在线段C1D1上任取一点R,过R作RS∥A1C1交A1D1于S,过R作RN∥CD1交CC1于N,过N作NF∥BC1交BC于F,过F作FE∥AC交AB于E,过E作EM∥A1B交AA1于M,连接MS,此时多边形RNFEMS即为α平面与正方体所形成的截面(图2).

图2

从本题可以看出,使用GeoGebra的3D功能来解答立体几何形象生动具体,不仅激发了学生学习数学的兴趣,感受到数学的无穷魅力，还也让读者感受到GeoGebra和传统数学软件几何画板相比体现的优越性.同时也希望通过本文让更多的人认识并使用GeoGebra,丰富我们的课堂,使我们的教学更加智慧、有趣、形象、生动.