唯物辩证法在高中数学教学中的渗透

(南京航空航天大学附属高级中学 210007)

客观世界是相互联系着的充满矛盾斗争的统一体，事物的变化发展遵循着辩证法的规律．作为反映数量关系和空间形式的学科，数学与唯物辩证法之间有着内在的本质联系．恩格斯曾指出：“数学是辩证的辅助工具和表现方式”．[1]这意味着，数学除了自身知识和思想方法外，还体现了丰富的唯物辩证法内涵．

马克思主义哲学中的唯物辩证法以联系观和发展观为总特征，包含三个基本规律，即对立统一规律、质量互变规律和辩证否定规律．这些规律从不同方面揭示了事物内部和事物之间最普遍的本质联系和发展的实质、状态及趋势．因此，唯物辩证法是一切实践的理论指导和行动指南，也是高中数学教学实践的根本性指导方法．在传授数学知识的同时，注意对唯物辩证法基本观点的适时揭示与渗透，有助于帮助学生以科学的思维方式去理解物质世界，有利于培养学生在复杂的问题表象中把握变化规律，捕捉数学本质．[2]

1 对立统一规律

1.1 运用对立统一规律完善学生的数学认知

发展的根本动力是矛盾．在数学内部，在发现和解决矛盾的过程中产生了很多著名的定理和结论．例如，在“数系的扩充与复数的引入”一章中提到，数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程既是客观实际的需要，又是数学内部发展的需要．为解决负数开方的问题而产生的虚数，显然与已有的实数是一对矛盾，但却在复数系下得以统一．数系的发展也是不断地在旧的数系中发现矛盾，再站在统一的全局观下发展形成新的数系．带领学生认识数的产生和发展过程中的辩证关系，明确现有数系是历史发展的产物且仍处于发展过程中的本质，有助于学生形成对数学更为完整的认识．

1.2 运用对立统一规律发展学生的思维能力

数学的概念、性质、命题，都是对立统一规律的载体，如正数与负数、原命题与逆命题、函数与反函数、无限与有限、连续与离散．对此，数列的概念可谓一个很好的解释．数列自身的离散性，似乎表现出它与连续函数的某种对立．然而，数列在项的序号与项之间形成的对应关系又符合函数定义，故我们在解决数列问题时常常将其转化为连续函数的问题加以解决．这一过程体现了连续与间断的对立统一．我们还可以将一些含间断点的函数，通过补充间断点处定义等途径转化为连续函数进行研究．这不仅体现了连续与间断的相互转化，还体现了唯物辩证法对理性思维发展的良好促进作用．

1.3 运用对立统一规律提升学生的解题能力

图1

图2

唯物辨证法认为，运动是物质的根本属性，数学解题教学中也常将对动点或变量规律的探究作为解决运动问题的突破口．事物的联系是多种多样的，事物存在和发展的一切条件以时间、地点、条件为转移．例1中P,M,N三点虽同时运动，却始终保持正三角形的结构不变，此为本题运动规律的特征．如果我们转变动静关系，保持正三角形结构静止，则AP的运动仅与点A的位置有关．再探索点A的运动规律，易知其运动轨迹实为一段优弧(图2)．显然，当点A运动至MN中垂线与优弧的交点处时，AP取得最大值．

动静关系互换、整体局部互化、特殊与一般、抽象与具体、降维与升维，这些常见的数学解题方法都体现了唯物辩证法中的对立统一规律．在数学解题教学中及时运用唯物辩证法的观点，必将使学生思维的深度和宽度得以拓展．

2 质量互变规律

发展的观点是唯物辩证法的一个总特征，自然界、人类社会、人的认知都是不断发展的,数学学科的发展是人的认知发展的一部分．量变和质变是事物发展过程中两种不同状态[3]．事物的发展总是从量变开始，在新的质的基础上又进一步开始新的量变．

2.1 “量变是质变的必要准备”在数学教学中的体现

量变是质变的必要准备，积极做好量的积累，为实现事物的质变创造条件．在质量互变规律的指导下，发展出了极限思想．高中数学教材中的“一尺之棰”“割圆术”等素材，圆面积、球体积、渐近线等知识，都蕴含着从“有限”走向“无限”的思想．通过有限量的无限积累，学生的视野从静止走向运动，突破有限深入到无限，更加明晰有限之中包含着无限、无限是通过有限来表达的辩证关系．

图3 图4

当A,D两点分别沿射线BA,CD向无限远处运动时(图4)，BA,CD,FE趋向汇聚于同一点，同时四边形趋向于三角形，且此过程中线段长度的积累并不改变题设，故由三角形的情形很容易得到结果．量的积累为我们观察、分析、处理问题带来意想不到的收获．

2.2 “质变是量变的必然结果”在数学教学中的体现

质变是量变的必然结果，我们要不失时机地促成质变，实现事物的飞跃和发展．

零点存在定理是高中数学必修1“函数与方程”第一课时的一个重要定理：一般地，若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点．根据该定理，判断函数零点的过程为：先确定函数的单调性，再在每个单调区间内研究是否有异号情况发生．用唯物辩证法的观点来解释这个定理，“f(a)f(b)<0”体现出函数值的变化，不等式所表现出的异号情形，无论是由正到负还是由负到正，都可视作函数值由量变到质变的结果．而“不间断的曲线”保证了发展的连续性，故质变的产生反映出发展过程中必然经历某一时刻函数值恰为0．零点的产生只是发展进程中的一个瞬间，体现了符号变化是函数值发展的必然结果．正是一次次抓住了量变和质变的关系，把握住了量的渐进和质的飞跃之间的契机，我们才能收获这些美妙的数学定理．

3 辩证否定规律

事物发展的过程是环环相扣的，辩证否定是事物发展的根本途径．正是这种寓于发展变化过程中的否定之否定，促进了社会的变革和进步．数学也不例外，很多数量关系和空间形式也充满着否定的观点．如积分与微分、连续与间断、变量与常量、直与曲等，都既有对立的一面又有统一的一面．数学史上著名的三大危机都是源于发展进程中对当时数学基石的“否定”[4]．正因为来自数学内部的辩证否定不断发生，才使数学不断深化发展，形成庞大的数学体系．教学中，我们也可以通过“否定”“否定之否定”来制造认知冲突，推动学生思维发展，提升创新意识．

例3抛物线标准方程教学片段．

教师回顾相关知识后，请学生探索如何建立抛物线的标准方程(图5)．

图5

生1：我想以直线l为y轴，以过点F垂直于l的直线为x轴建系．

师：想法很好，可以猜想所得方程可能含有哪些项吗？

生1：图象将关于x轴对称，所以应该有y2项，没有y项；还有含x的项和常数项，具体是什么我还没想好．

生2：我觉得这样建系不如以F为原点建系．(否定)这样一下子就能看出，根据PF=d转化来的方程含y2项、x项、常数项．

图6

生3：这么说的话，以顶点为原点建系更好．(第二次否定)相当于把刚才两种坐标系中的抛物线沿x轴进行平移．可以想象，当且仅当顶点在坐标原点时，图象过(0, 0)点，此时方程肯定不含常数项，当然更简单啦(图6)！

师：同学们思考得非常到位，而且不断地追求数学的对称美和简洁美，真的很棒．接下来，我们可以通过实际运算证实一下自己的猜想．

生4：老师，我发现，不止生3的建系方法好．(第三次否定)如果我们把x轴和y轴互换，得到的方程也是最简洁的！

生5：改变x轴或者y轴的正负方向也行！四种方程都最简洁！

师：同学们能辩证地看待思维过程中的不足，真好！

尽管事物发展的道路曲折，但发展的方向终是前进的、上升的．数学知识的获得、思维的发展也是如此，必然要经历一个由不完善到比较完善的过程．学生们在探究过程中灵感频现，想法也在个体或群体的否定中不断改进，新的思路就在否定的冲突中不断形成，正是被否定的想法促使思维向更全面更严密的方向发展．因此，教学中应当引导学生善于提出新问题，敢于寻找新思路，提升创新思维能力，体现数学教育价值．

4 几个注意点

恩格斯在《自然辩证法》中从不同方面论证了唯物辩证法的一般规律，解释了数学内容的辩证实质．高中数学学习需要构建宏观的知识体系，以便在分析和解决问题时具有足够的高度．教学中要积极引导学生用联系的观点考虑问题，从发展的角度探索未知．为此，需要注意以下几个方面：

(1)数学性

唯物辩证法从知识上来说属于政治学科教学内容，数学课堂上还是应以数学知识和方法为载体，运用唯物辩证法的规律和观点去发现和揭示数学内在的辩证因素，最终达到的还应是对数学问题的理解深度和思维高度．

(2)科学性

在教学中应注意唯物辩证法渗透过程的自然流畅．灵活、恰当地将辩证唯物法运用于高中数学教学中，教师不能局限于某一章节、某一册书，甚至是数学学科内部，而应该开阔视野、广泛学习，形成更为全面的认知结构, 促进自我成长．

(3)长期性

唯物辩证法与高中数学教学的有机结合是一个长期过程，仅靠时而浮现的零散思考是远远不够的．教师需要在一段较长的时间内注意收集和整理相关的教学片段并反思，及时提炼升华，使其体系化，让唯物辩证法激发教学智慧，贯穿学生的高中数学学习．