递归方法在行列式计算中的应用

任丹丹

摘 要：行列式是大学基础课程中非常重要的知识点，采用递归方法计算行列式，是具有较强技巧性的计算方法，减少了运算量，能够快速有效地计算出行列式的结果.递归方法是非常具有研究意义的解题方法.本文用经典例题阐述常见的递归方法在行列式计算中的应用.

关键词：递归方法;行列式;递归公式

中图分类号：O151  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2020）01-0018-02

1 引言

行列式是大学基础课程《线性代数》《高等代数》中一个基础的知识点，也是非常重要的知识点，它是研究n元线性方程组的解和性质的重要工具.因此研究它的结构和性质对于研究n元线性方程组的结构性质起到了举足轻重的作用.从《线性代数》教材可知，求解未知量的个数等于方程个数的线性方程组的方法有很多，例如消元法、初等变换、克莱姆法则等方法，其中克莱姆法则是解决n元线性方程组的重要方法.利用克莱姆法则研究方程组的解的情况，不可避免的需要研究系数行列式的非零性，在此基础上进一步研究解的结构和性质.由此可知，求解行列式的值是非常重要的.虽然求解行列式的方法有很多，例如按行（列）展开法则、归纳法、利用范德蒙德行列式计算的方法等等，但是却缺少关于利用递归方法求解行列式值的总结和归纳，鉴于此，在本文中我们将研究利用递归方法求解具有特定性质的行列式.

递归方法是研究数学结构的众多数学方法之一，它是研究数学结构和性质的基本方法.它将复杂的结构简单化、困难的晦涩的结构容易化，它是数学思维方法的重要构成部分.

2 递归方法阐述

具有以下列形式的数列

x1=a，xn=f（xn-1）或x1=a，x2=bxn=f（xn-1，xn-2），（n>2）

被称为递归数列，它的特征是：它的每一项都可由前一项或者是前两项或者是阶数较低的项按照一定的数学结构得到.

这类数列在高中数学和大学数学（包括《高等数学》《线性代数》《高等代数》等等）中都有广泛的用途，它具有较深的近世代数背景，与代数学中的逐次逼近思想和不变量理论也具有紧密的联系.

当行列式Dn、Dn-1或者Dn、Dn-1和Dn-2之间的能够建立形如递归数列的代数关系时，我们可采用递归方法计算行列式.

由于有些行列式的结构性质比较晦涩，构建递归结构比较难以实施，常常使得初学者望而却步.但是作者发现，由于行列式阶数都是正整数，为我们建立递归公式提供了可能性，所以递归方法在求解具有特定性质的行列式方面具有重要的先天优势.

采用递归方法计算行列式的主要步骤是根据行列式的特征和性质找到递归关系式，再根据递归关系式的形式，利用已知的数学理论逐次将阶数降低至低阶行列式，建立Dn与低阶行列式之间的关系，最后利用求解出的低阶行列式的结果，采用“回代”的方法，最终计算出行列式.

当递归公式的形式不同时，递归的过程也各不相同.

如果可以建立行列式Dn、Dn-1之间的递归关系时，只需将阶数降低至一阶行列式，即建立Dn与D1之间的关系，将D1代入到关系式中，即可计算出行列式.下面将采用这种方法计算例1中的行列式.

如果行列式Dn、Dn-1和Dn-2之间能够建立递归关系式，常见的情形是三者之间具有线性关系，形如：Dn=pDn-1+qDn-2，n>2，q≠0.由此关系式变形可得

Dn-aDn-1=b（Dn-1-aDn-2），

Dn-bDn-1=a（Dn-1-bDn-2），

其中a+b=p，-ab=q.当a≠b时，由上述两式可得

Dn-aDn-1=bn-2（D2-aD1），

Dn-bDn-1=an-2（D2-bD1），

显然可得

当a=b时，则有Dn-aDn-1=an-2（D2-aD1），

显然可推导出Dn-1-aDn-2=an-3（D2-aD1），

代入前式可得Dn=a2Dn-2+2an-2（D2-aD1），

重复此操作即可得Dn=an-1D1+（n-1）an-2（D2-aD1）.

针对不同的情形，我们将在下文举例具体说明.

例题

例1 求解n阶行列式的值.

分析：在求解行列式的值之前，我们需要观察行列式所具有的特点，以此为基础，确定求解方法.鉴于此，观察得所求行列式具有如下特点：1）行列式除了第二列之外，其余列都是包含两个非零元素，这决定了我们利用“展开定理”时确定可以按照第一列展开;2）第n行的元素的下标是由左及右是逐次递减的，这是尝试使用递归方法计算行列式的理由.

解 Dn=x

+（-1）n+1an

=xDn-1+（-1）n+1an（-1）n-1=xDn-1+an

=x（xDn-2+an-1）+an=x2Dn-2+an-1x+an

=x2（xDn-3+an-2）+an-1x+an=x3Dn-3+an-2x2+an-1x+an

=…

=xn-1D1+a2xn-2+…+an-1x+an

=xn-1（a1+x）+a2xn-2+an-1x+an

=xn+a1xn-1+…+an-1x+an.

例2 计算n阶行列式

Dn=（a≠b）.

分析：由行列式的元素构成可知：当我们利用行列式“展开定理”对行列式按照第一行展开后发现，第一行中第一个元素a+b对应的n-1阶余子式具有与Dn相同的结构形式，即为Dn-1，而且在计算第二个元素对应的n-1阶余子式时，按照余子式的第一列展开后，会出现D_（n-2）.于是我们建立了Dn、Dn-1和Dn-2之间的代数关系，也就是建立了他们之间的递归公式.

解 将Dn按第一列展开得

Dn=（a+b）Dn-1-abDn-2，即Dn-aDn-1=b（Dn-1-aDn-2），

依次类推可得，

Dn-aDn-1=b2（Dn-2-aDn-3）=…=bn-2（D2-aD1），

又因为D1=a+b，D2=a2+ab+b2，将之带入上式可得：

Dn-aDn-1=bn.

由于a，b所处的位置具有对称性，类似可得Dn-bDn-1=an.由上述两式可解出Dn=

注：注意到例1建立行列式Dn、Dn-1之间的递归关系，而例2是对行列式Dn、Dn-1和Dn-2建立递归关系式，而且三者之间具有线性关系.

3 结束语

采用行列式的性质和定义对行列式进行处理，常常会极大地增加题目的计算量，与此同时，也会增加解题出错的概率.采用递归方法计算行列式，是具有较强技巧性的计算方法，减少了运算量，能够快速有效的计算出行列式的结果.由此可知，递归方法是非常具有研究意义的解题方法.

参考文献：

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