高中数学教学中培养学生直观想象素养的策略探究

王雅贞

摘 要：直观想象素养是学生发展自身数学素养的需要，良好的直观想象素养能提高学生学习的兴趣和增强学习的信心与活力。教师在新授课中可以从概念内涵、几何特征、渐近线三个方面强化学生规范准确快速作图的意识，夯实学生直观想象素养发展的基础。教师在解题教学过程中应强化学生运用直观想象素养去解决数学问题，其有效途径有：第一，借助信息技术让学生在欣赏数学外在美的过程中提高学生几何直观想象的能力;第二，鼓励学生用几何直观探寻解决问题的最佳路径，纵深发展自己的直观想象素养;第三，运用不同形式教学案例全面培养学生直观想象素养。

关键词：数学教学 ;直观想象素养; 培养策略

直观想象是2017版新课标的六大数学核心素养之一，它是数学核心素养的重要组成部分，更是发展学生数学综合素养的基础。在数学学习中，任何一个人都不能忽视直观想象的重要性，它为发现问题、提出问题、分析问题和解决问题提供重要的研究手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础[1]。因此，在高中数学课堂教学中，教师应该结合具体的教学内容将直观想象融入教学活动中，还应当采取多种教学策略，让学生在学习知识与技能的同时，逐渐养成自觉运用直观想象去发现问题和解决问题的良好习惯。

一、直观想象素养在高中数学学习中的作用

（一）直观想象是全面发展学生数学素养的需要

认知理论认为人思维的发展是从直观到抽象，先有直观然后才能进行合理抽象，直观想象是数学学习者必须具备的素养。实践证明，一个学生，如果他在数学新知识的学习中能够主动结合图形进行新的探索，那么他会比别人爬得更高，看得更远;如果他在解题的过程中自觉运用几何图形来分析，那么他的解题思路一定更宽阔、更灵活、更深刻;如果他的直观想象有了良好的发展，那么他的数学抽象、数学建模等数学核心素养也在不断地向前发展。

（二）良好的直观想象素养能提高数学学习的活力

直观想象不是几何直观和空间想象的简单叠加，也不是一种知识技能和解题能力，而是一种在数学学习中形成的思想方法和思维习惯，这种思想方法和思维习惯对今后的学习继续发挥着重大的作用[2]。良好的直观想象可以激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心与活力，提高学生解决数学问题的能力。

二、培养学生直观想象素养的路径

（一）强化学生正确规范作图意识，为培养直观想象素养奠定坚实的基础

数学是研究数量关系和空间形式的一门学科，数与形是数学的两大研究对象，它们之间有着十分密切的联系。正如华罗庚所说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微;数形结合百般好，数形隔离万事休。”新课标中的“函数”和“几何与代数”两大主题就是培养学生直观想象素养的沃土，是发展学生直观想象素养的有效载体，教材中的其他主题也渗透着对直观想象素养的要求。因此，直观想象素养的培养贯穿在整个高中数学的学习中，教师在教学中应注意从以下几个方面培养学生规范作图的意识。

1.准确抓住数学概念本质规范作图。比如立体几何中的正三棱锥概念的内涵是：底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心。在教学实践中相当多的学生作圖时没有从正三棱锥概念本质出发，只画出一个没有灵魂的“死图”。因此，教师在课堂教学中应该给学生做好示范引领的作用，严格按下列三个步骤正确规范做出正三棱锥：第一步用斜二测画法画出底面直观图（注意此时底面一定不是平面正三角形），第二步作底面正三角形的中心O（三条中线的交点），第三步过O作底面的垂线，在垂线上任取一点P（异于O点），最后分别连接PA、PB、PC即可得到一个正确规范的正三棱锥（如图1）。在规范作图的过程中，学生明白了PO垂直底面，故PO垂直AC，又BO垂直AC，所以AC垂直面POB，从而得到AC垂直PB。学生在规范作图过程中也就掌握了正三棱锥的对棱互相垂直的性质。

2.利用图形的几何特征正确快速作图。直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的五大曲线，它们各自都有与众不同的几何特征，准确把握它们的几何特征就可以正确快速做出它们的图形。直线的定点与倾斜角、圆的圆心与半径、椭圆的范围、双曲线的两条渐近线、抛物线P的几何意义，这些都给我们作图提供了有力的依据。比如利用3P法则[焦点F到准线L的距离为P，焦点F到通径两端A、B的距离分别为P（如图2）]即可快速准确做出抛物线的图像，利用标准的抛物线图像比较容易直观掌握抛物线的相关结论。

3.关注渐近线提高函数图像作图的准确性。学习函数离不开函数的图像，而利用函数图像来解决函数单调区间、值域等问题时最大的坑就在于渐近线，学生有没有关注渐近线对解题的正误有很大的影响。我们知道大多数函数是有渐近线的，比如反比例函数、指数函数、对数函数及正切函数等，这些渐近线分为水平渐近线和垂直渐近线，当函数图像进行变换之后，它们的渐近线可能依然存在，只不过是位置发生了变化。

例如反比例型的函数 1 2 1 y x = + ？ 图像是由函数y 1x = 的图像经过向右平移两个单位长度再向上平移一个单位长度而得到的，故它的渐近线也从 X 轴和 Y 轴变成了 y=1 和x=2 两条直线，这两条渐近线对求函数 1 2 1 y x = + ？ 的单调区间及值域至关重要（如图 3）。因此，教师在教学过程中应该强化学生关注函数图像的渐近线。

（二）强化学生运用直观想象素养去解决数学问题，这是形成核心素养的有效途径

北京航空航天大学李尚志教授说，学生的核心素养只有在运用这些素养解决问题的过程中才能有效形成。直观想象素养不是某一个具体的知识或技能，而是一种思维一种习惯，只有在解决数学问题的过程中自然而然地运用，才可以认为直观想象素养形成了。因此，教师的教学目标不能止步于实现一个课时的知识技能目标，而是要放眼到整个主题甚至跨主题教学中，引导学生从整体去把握知识结构，自觉建构核心素养达成的三个水平目标的具体行为准则。教师在解题教学过程中可以从下列三个方面去逐渐培养学生的核心素养。

1.在解题过程中借助信息技术做出函数图像，让学生在欣赏数学外在美的过程中提高几何直观能力。几何直观是借助图形将数学的本质用符号外在地展现出来，它是数学学习中重要的一个数学理念和学习技能，利用几何直观可以将复杂的抽象的数学问题简单明了化，同时也可以欣赏到数学的简洁美、内在美、和谐美，正如古希腊数学家普洛科拉斯说，哪里有数学，哪里就有美。

比如在学习均值不等式拓展函数 y ax bx = + 时，教师要利用信息技术手段向学生展示这个函数的外在美，即当a，b同号时其图像是一对“勾号”，当 a， b异号时其图像是双撇或双捺（如图4）。函数图像的美体现在于其结构的对称性，曲线的凹凸美，无限接近但又不相交的距离美，学生在欣赏数学美的过程中就是提高其几何直观能力的过程。

2.在解题过程中鼓励学生用几何直观探寻解决问题的最佳路径，让直观想象素养不断地向前发展。一题多解能发展学生的全面思维能力，也能体现学生优秀的综合思维能力及良好的思维品质。当学生徘徊在岔路口选择解题路径的时候，我们可以让学生用几何直观来探寻多种解决问题的办法，并最终从几何直观中找到解决问题的最佳路径。例如在解决极坐标、参数方程的问题时，我们可以快速画出草图，认真分析题中所求解的问题是与极点有关，还是与直线上的某定点有关，或者是其他的问题，从而在直直联立、参直联立、极极联立中快速做出选择。

3.教师要设计不同形式、不同层次的教学案例来综合提升学生直观想象素养水平。

案例1（教学目的：在图像题中培养学生直观想象 的 一 级 水 平。）[2019全 国1（ 理 ）5] 如 图5， 函 数在[-π，π]的图像大致为（ ）

解析：此题重点考查学生识图用图能力，属于直观想象素养的一级水平。有图就有真想，只需要求出两个特殊值就可以得到答案。，故选D。

案例2（教学目的：在解决几何问题中培养学生直观想象的综合素养。）（2008浙江理10）如图6所示，AB是平面α 的斜线，A为斜足，若点P在平面α 内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）[3]

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

解 析： 由S△ADP=1/2×AB ×dP-AB可 知，P到AB的距离PM为定值，能画出图中三角形ABP的高PM是达到直观想象素养一级水平的表现。如果能描述出到AB距离为定值的点P的轨迹为一个圆柱面则可达到直观想象素养的二级水平，此时一个学生直观想象素养达到三级水平的特征就是可以想象出这个模型是握在手中并斜着放置的透明的水杯，通过观察得出此時的水面呈椭圆的形状，故选B。

拓展研究：用一个平面去截圆柱，所得到的截面图形有哪些形状？先让学生通过直观想象猜想出所有可能，再用手中水杯模型验证自己的猜想，不难得出所得到的截面图形有圆形、椭圆形、矩形、曲边梯形、拱形五种不同图形。

建构理论提出，教师在教授学生知识的过程中不能照本宣科，教学方法不能一成不变，而是要根据自己所学的理论水平和实践经验主动构建出适合学生核心素养发展的教学模式，学生直观想象素养的培养策略也应该在教学实践中不断建构，不断完善和改进。

参考文献

[1]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王亚东.新课标下高中数学课堂中培养学生直观想象素养的研究[D].湖南理工学院，2019.

[3]张杨文，兰师勇.高考数学你真的掌握了吗？圆锥曲线[M].北京：清华出版社，2014.