巧助多元表征，丰富计算认知

杨露

摘  要：为了巧助多元表征，丰富计算认知，在此背景下，文章以苏教版小学数学三年级《两位数除以一位数（首位不能整除）》一课为例，巧助符号表征，将文字转化为符号;巧助动作表征，在操作中理解算理;巧助语言表征，在练习中算法迁移;巧助表征转化，在练习中算法迁移。

关键词：苏教版;计算;多元表征

多元表征是相对单一表征而言的，是指学生在数学学习过程中，结合了动作、听觉和视觉等感觉器官，让学生对数学知识的认知不仅仅停留在记忆层面，而是要进入深度学习中。苏教版三年级上册第四单元的《两位数除以一位数（首位不能整除）》是在学生学习了平均分、表内乘除法、整十整百数除以一位数的基础上的深入学习，这节课教师带领学生经历两位数除以一位数（首位不能整除）除法平均分的过程，熟练掌握除法的算理和算法，能正确计算出除法竖式。

■一、巧助符号表征，将文字转化为符号

心理学家皮亚杰认为符号表征是认知发展的核心，将表征本质随年龄所发生的变化看作是区分发展阶段的主要特征。从根本上看，符号表征是指个体用来代表其他事物的东西。小学生在进行数学阅读或数学解题过程中，新课标强调要把复杂的一段文字转化为简洁的算式或者符号，并且能正确进行语言文字和符号之间的转化。

如在教学《两位数除以一位数（首位不能整除）》一课时，我先出示了一道例题，让学生在读题过程中学会提炼文字信息，将这些文字与已经学过的数学知识建立关系。

师：（出示情境图）同学们，我们一起来看这幅图。你能编一道应用题吗？

生：有53个羽毛球，平均分给2个班，每个班能分到多少个？

师：（出示题目）同学们，我们先一起来读一读题目，边读边想题目告诉我们什么，要我们求什么。

生：题目告诉我们有53个羽毛球，平均分给2个班，要我们计算每个班能分到多少个。

师：我们知道了题目中的条件和问题，试着写出算式吧！

生：53÷2，因为要我们计算每个班能分到多少个，就是求每份数是多少，要用除法计算。

在这个教学片段中，教师抛出了一个数学实际问题，学生借助已有的学习经验，通过分析和提炼这道题目中的文字转化为数字和符号等的数学算式，并且能用简洁的文字解释自己的数学思考过程，让数学表达变得既专业又具有简洁美。

■二、巧助动作表征，在操作中理解算理

心理学家布鲁纳认为儿童最初的认知结构是动作表现，大约5岁以前的儿童都处于这个动作表征阶段，他们的认知多数是通过行动而产生的。三年级的学生经历了动作表征、图像表征和符号表征这三个阶段，他们能把一些复杂的图像和符号表现为直观的动作，再利用直观的动作得出一些共性结论。

如在教学《两位数除以一位数（首位不能整除）》一课时，当学生写出除法算式后，我为每个小组的学生准备了小棒、画有点子图的学习单，引导他们在摆一摆和圈一圈中探索两位数除以一位数除法的算理和算法。

师：同学们，你们会计算53÷2是多少吗？老师为每个小组都准备了一些小棒，你可以按照算式的要求分一分;也为每个同学准备了一张画有点子图的学习单，你可以圈一圈，计算出答案。

生1：我是摆小棒的，2根2根地放在一起，一共要放26次，还多了1根小棒。

生2：我是圈点子图的，2个点子2个点子这样圈，要画26个圈，还多出来1个点子。

师：大家是不是都像生1和生2那样两个两个在分或两个两个在圈，还有其他不同的分法，也能得到结果是26还多1的吗？

生3：我是先分5捆小棒的，想5个十里面有几个2，那么每份先分到2个十、余下1个十和3个一;再把余下的1个十和3个一合起来就是13，然后想13里面有几个2，每份有6根，还多1根小棒。所以2个十加6个一就是26，还多1。

生4：我没有用小棒和点子图，我觉得用竖式计算很方便。先算十位上50除以2等于2个十，在商的十位上写2;20乘2等于40，53减去40等于13，13除以2，在商的个位上写6，二六12，余数是13减去12等于1。

在这个教学片段中，学生为了计算出两位数除以一位数（首位不能整除）的答案，充分利用教师提供的小棒和点子图，在动手和动脑中计算出答案。同时，教师根据学生的回答不断引导，让他们的计算方法从复杂变得简单，从动作操作向抽象竖式过渡。

■三、巧助语言表征，在练习中巩固算法

俗话说：语言是思维的工具。当学生探究出两位数除以一位数（首位不能整除）的竖式后，我又为学生提供了几道练习题，独立完成后让他们说一说竖式计算过程，在说算理和算法的过程中既有利于学生牢记解题思路，又有助于教师真正了解学生的掌握程度。

师：（竖式计算：78÷2和80÷5）同学们，请你试着用竖式计算这两道题目，做好后和同桌说一说你是怎么计算的。

生：第1题，78除以2，先算7个十除以2，商是3个十，在商的十位上写3;再算20×3=60，78-60=18，然后18除以2，商是9，在商的个位上写9，2×9=18，18-18=0，所以余数是0。

师：大家能看懂这个竖式的计算过程吗？你们知道竖式中的6和18分别是怎么来的吗？

生：这里的“6”表示20×3=60，虽然写着6，但是表示60;这里的“18”表示2×9=18。

師：我们再看看第2题竖式计算怎么算。

生：第2题，80除以5，先算8个十除以5，商是1个十，在商的十位上写1;再算10×5=50，80-50=30，然后30除以5，商是6，在商的个位上写6，5×6=30，30-30=0，所以余数是0。

师：谁来说说竖式中的50和30又是什么意思？

生：这里的“50”表示10×5=50，虽然写了5，但表示5个十，0省略了;这里的“30”是5×6=30。

在这个教学片段中，教师利用两道两位数除以一位数（首位不能整除）的竖式计算，在列竖式计算和说计算过程中通过语言表征帮助学生进一步巩固两位数除以一位数（首位不能整除）的竖式计算方法，特别是让学生理解竖式中每一个数的由来和意义。同时，学生在竖式计算过程中，也让他们发现无论是否有余数，两位数除以一位数（首位不能整除）的竖式计算方法和计算算理都是相同的，两者的差异只在于最后一步是否有余数。

■四、巧助表征转化，在练习中算法迁移

数学计算教学中的多元表征包括实物情境、教具模型、图形图表、言语、书写符号等，这五种多元表征有机结合和相互转化，帮助学生掌握了两位数除以一位数（首位不能整除）的计算方法和计算算理。当然，在课末教师也可以进行适当提升，让学有余力的学生去挑战难题，体会成功的快乐，学会计算方法之间的迁移。

师：同学们，刚才我们已经学会了两位数除以一位数（首位不能整除）的竖式计算。（出示题目：738÷2）老师这里有一道三位数除以一位数的题目，请你试着用除法算一算。

师：有同学做好了吗？

生：738除以2，先算7个百除以2，商是3个百，在商的百位上写3;300×2=600，738-600=138，再算13个十除以2，商是6个十，在商的十位上写6;60×2=120，138-120=18，最后算18除以2，商是9，在商的个位上写9。所以738÷2=369。

师：同学们，他做对了吗？（对了。）请你比较一开始做的这几题和剛刚做的这道题目，你发现它们有什么共同点？

生1：一开始做的题目是两位数除以一位数的除法，刚刚做的这道题目是三位数除以一位数的除法。

生2：有的除法竖式有余数，有的除法竖式没有余数。

生3：我发现我们今天做的除法竖式都是首位不能整除的。

师：是的，我们今天都在学习首位不能整除的除法。明天我们继续学习三位数除以一位数（首位不能整除）的除法！

在这个教学片段中，教师巧妙地利用上一阶段学生积累的数学活动经验，调用他们的语言、图像、动作等多种不同的表征方式，带领他们去解决更加复杂又具有挑战性的学习任务，让部分学有余力的学生在新旧知识之间找到连接点，学会把新问题转变为旧知识，用旧知识去解决新问题，探索发现三位数除以一位数（首位不能整除）的计算方法和算理。

总之，小学数学计算教学是循序渐进的，当学生在学习《两位数除以一位数（首位不能整除）》一课时，教师在数学课堂上巧妙利用学生的多元表征，让学生在具体的点子图或摆小棒过程中发现两位数除以一位数的计算方法，并用抽象的竖式表达出来，再建立实物表征与竖式表征之间的对应关系，最后实现两、三位数除以一位数除法竖式的迁移。