线性Fokker-Planck方程柯西问题解的适定性

李浩光，刘静

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

1 相关知识

这篇文章主要研究的是线性Fokker-Planck方程的柯西问题解的适定性. 考虑线性Fokker-Planck方程的柯西问题：

(1)

其中f=f(t,x,v)取决于时间t≥0，位置变量x∈3，速度变量v∈3.

其中：

2 定理1的证明

定理1对于00,满足：

‖f‖L∞([0,T];H(1,0)(6))+‖vf‖L2([0,T];H(1,0)(6))≤

(2)

我们将定理1的证明分为两部分，首先利用Hahn-Banach延拓定理，在Sobolev空间证明命题1，从而证明方程存在唯一弱解，然后在速度变量上对弱解的正则性进行估计.

2.1 解的局部存在唯一性

命题1对于0

满足：

证明我们考虑伴随算子：

P*=-∂t-v·x-Δv-v·v,

Re(ψ(t),P*ψ(t))(1,0)=

Re(ψ,Δvψ)(1,0)-Re(ψ,v·vψ)(1,0)=

Re(v·xψ,ψ)(1,0)-Re(ψ,v·vψ)(1,0).

因为对于0≤t≤T，可知：

Re(v·∂xψ,ψ)(1,0)=0,v·v=3.

利用Cauchy-Schwartz不等式，可以得到：

2‖ψ‖(1,0)‖P*ψ‖(1,0),

2e6t‖ψ‖(1,0)‖P*ψ‖(1,0).

因为ψ(T)=0,我们有：

2e6T‖ψ‖L∞([0,T];H(1,0)(6))‖P*ψ‖L1([0,T];H(1,0)(6)),

所以：

‖ψ‖L∞([0,T];H(1,0)(6))≤

2e6T‖P*ψ‖L1([0,T];H(1,0)(6)).

(3)

接下来，考虑向量子空间：

ψ(T)=0}⊂L1([0,T];H(1,0)(6)),

因为f0∈H(1,0)(6)，我们可以定义线性函数：

Q:→,

u=P*ψ|→(f0,ψ(0))(1,0),

|Q(u)|≤‖f0‖(1,0)‖ψ(0)‖(1,0)≤

‖f0‖(1,0)‖ψ‖L∞([0,T];H(1,0)(6))≤

2e6T‖f0‖(1,0)‖P*ψ‖L1([0,T];H(1,0)(6))=

2e6T‖f0‖(1,0)‖u‖L1([0,T];H(1,0)(6)).

利用Hahn-Banach定理，Q可以在L1([0,T];H(1,0)(6))推广为连续线性形式，且其范数小于根据Riesz表示定理，存在唯一的f∈L∞([0,T];H(1,0)(6))满足：

使得：

∀u∈L1([0,T];H(1,0)(6)),

Q(P*ψ)=

因此f∈L∞([0,T];H(1,0)(6))是柯西问题的唯一弱解.假设是柯西问题的另一个弱解，满足：

2.2 在速度变量上的正则性估计

这部分将估计不等式(2)，从而完成定理1的证明.

利用命题1，可以得到柯西问题(1)有唯一弱解：

我们将证明这个解满足不等式(2). 定义：

fδ=(1+δDv)-1f,0<δ≤1,

利用文献[6]第5.9节中的定理3，可以得到映射：

是绝对连续的，且有：

将上述柯西问题(1)的方程与(1+δDv)-2Dv2f作内积并积分可得：

0=(∂tf+v·xf-Δvf-v·(vf),

Re(v·xDvfδ,Dvfδ)L2-

Re(Δvf,(1+δDv)-2Dv2f)L2-

Re(v·(vDvfδ),Dvfδ)L2.

因为对于所有函数ψ∈S(6),有：

Re(v·xψ,ψ)L2=0,

于是有：

由Gronwall不等式，对于所有0≤t≤T,存在一个正常数c>0，使得：

当δ→0时，可得：

‖f‖L∞([0,T];H(1,0)(6))+‖vf‖L2([0,T];H(1,0)(6))≤

定理1得证.